第六章 6.3 6.3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．16的二项展开式中，第4项是( C )
A．Cx12 B．Cx10
C．－Cx10 D．Cx8
[解析] 展开式的通项为Tr＋1＝C·x16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r，所以第4项为T4＝(－1)3×Cx10＝－Cx10．故选C．
2．二项式5的展开式中含x4项的系数为( A )
A．160 B．－160
C．80 D．－800
[解析] 5展开式的通项为Tk＋1＝Cx2(5－k)(－4)kx－k＝C(－4)kx10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，
所以含x4项的系数为C(－4)2＝160．故选A．
3．若n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于( D )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 由二项展开式的通项公式可得n展开式的通项为Tr＋1＝C(3x3)n－rr＝3n－rCx3n－r，展开式中含有常数项，则3n－r＝0有正整数解，满足题意的最小的正整数为r＝6，n＝7，故选D．
4．(2021·河南名校高二联考)(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为( C )
A．45 B．30
C．75 D．60
[解析] (1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，则T3＝Cx2＝15x2，T5＝Cx4＝15x4，因此(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75．故选C．
5．(多选项)若二项式6展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为( AB )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] 二项式6展开式的通项Tr＋1＝C·x6－rr＝Cx6－rmr．
令6－r＝0，得r＝4，常数项Cm4＝15，则m4＝1，得m＝±1．故选AB．
二、填空题
6．6的展开式中常数项是__240__．(用数字作答)
[解析] 6展开式的通项Tr＋1＝Cx2(6－r)x－r·2r＝2r·Cx12－3r．令12－3r＝0，得r＝4．故展开式中的常数项为C·24＝240．
7．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为__5__．
[解析] 由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5．
8．(2021·河北衡水)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝__24__．
[解析] 由(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4知，其展开式通项为Tk＋1＝C·24－k·(x－1)4－k，所以a2为当k＝2时项的系数．又T2＋1＝C·22·(x－1)2＝24(x－1)2，所以a2＝24．
三、解答题
9．在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
[解析] (1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，
∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120．
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，
T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2．
10．(1)求9192被100除所得的余数；
(2)用二项式定理证明：1110－1能被100整除．
[解析] (1)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项均能被100整除，后两项和为－919，又余数为正，∴可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除所得的余数为81．
(2)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1
＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1
＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102
＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，
∴1110－1能被100整除．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C1n－r·(3x)r＝C·3r·xr．依题意得
C·35＝C·36，
即
＝3×(n≥6)，
得n＝7．
2．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( A )
A．＜x＜ B．＜x＜
C．＜x＜ D．＜x＜
[解析] 由得∴＜x＜．
3．(2021·昆明高二检测)4的展开式中，常数项为( D )
A．1 B．3
C．4 D．13
[解析] 由于4表示4个因式的乘积，
故展开式中的常数项可能有以下几种情况：①所有的因式都取1；②有2个因式取，一个因式取1，一个因式取；
故展开式中的常数项为1＋C×C＝13．
4．(多选题)对于6的展开式，下列说法正确的有( BC )
A．有理项有3项 B．第4项的系数为－160
C．常数项为－160 D．各项系数之和为36
[解析] ∵Tr＋1＝C·26－r·(－1)r·x3－r
∴展开式共有7项全部为有理项，A错误；第4项的系数为－C·8＝－160，B正确；令3－r＝0，得r＝3．∴常数项为－160，C正确；令x＝1，得各项系数和为1，D错误．故选BC．
注：排除A选项后，再排除D选项，可得B、C正确．
二、填空题
5．(2021·天津高二检测)将(3＋x)n的展开式按照x的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n的值是__5__．
[解析] 将(3＋x)n的展开式按照x的升幂排列，则倒数第三项的系数是C·32＝90，
求得n＝5(负值舍去)．
6．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是__16__，系数为有理数的项的个数是__5__．
[解析] 展开式通项是：Tr＋1＝C()9－rxr，所以常数项是T1＝C()9＝16，若系数为有理数，则9－r为偶数，所以r为奇数，所以r可取1,3,5,7,9．
7．若x>0，设5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为____．
[解析] T3＝C·32＝x，
T4＝C·2·3＝，
∴M＋N＝＋≥2＝．
当且仅当＝时等号成立，即x＝．
三、解答题
8．在二项式n的展开式中，第1项和第3项的系数和等于第2项系数绝对值的2倍．
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)C＋C＝2·C，∴n2－9n＋8＝0，
∵n≥2，∴n＝8．
(2)∵n＝8，∴展开式共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，即
T5＝C()4·4＝．
(3)研究系数绝对值即可，
解得2≤r≤3，
∵r∈N，∴r＝2或3．
∵r＝3时，系数为负．
∴系数最大的项为T3＝7x．
9．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知a＝2a2a4．
(1)求n的值；
(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a，b的值．
[解析] (1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，
所以a2＝C＝
a3＝C＝，
a4＝C＝，
因为a＝2a2a4，
所以2＝2××
，
解得n＝5．
(2)由(1)知n＝5，
即(1＋)n＝(1＋)5，
所以C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋
C()5＝a＋b．
因为a，b∈N，
所以a＝C＋3C＋9C＝76，b＝C＋3C＋9C＝44．(共40张PPT)
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题． 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养．
必备知识 探新知
二项式定理
知识点1
二项展开式的特点
(1)展开式共有n＋1项．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n．
(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n．
知识点2
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 二项式定理的正用、逆用
典例 1
[规律方法] 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
题型二 二项式系数与项的系数问题
[分析] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
典例 2
【对点训练】 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝ ( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)(1－2x)5(2＋x)的展开式中x3项的系数是_________．
D
－120
题型三 展开式中的特定项
[分析] (1)先由通项公式求出第二项与第三项的系数，列式求出n的值．
(2)利用通项公式求出r的值．
典例 3
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
易错警示
典例 4
课堂检测 固双基
1．(x＋2)8的展开式中x6的系数是 ( )
A．28 B．56
C．112 D．224
C
2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为 ( )
A．－210 B．210
C．－120i D．－210i
A
D
4．在(x＋a)5(其中a≠0)的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为 ( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C
5．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a0＝______．
[解析] x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，
令x－2＝0，即x＝2，可得a0＝25＝32．
32
素养作业 提技能
