第六章 6.3 6.3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．若n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( C )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
[解析] 令x＝1，得出n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；
∴8的展开式通项公式为：
Tr＋1＝C·(3)8－r·r＝(－1)r·38－r·C·x4－r，
令4－r＝0，解得r＝4．
∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．
2．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( A )
A．奇数 B．偶数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
[解析] 9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C
＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－
＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，
∴n＋1为偶数，∴n为奇数．
3．若a为正实数，且2 020的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2 020项为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析]由条件知，(a－1)2 020＝1，∴a－1＝±1，
∵a为正实数，∴a＝2．
∴展开式的第2 020项为：
T2 020＝C·(2x)·2 019
＝－2C·x－2 018＝－4 040x－2 018，故选D．
4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝( C )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] 二项式7的通项公式为Tr＋1＝
C(2x)7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5．故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1．
5．(多选题)(2021·济南高二检测)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是( ACD )
A．a2＝－144
B．a0＝1
C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1
D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
[解析] 对任意实数x，
有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9
＝[－1＋2(x－1)]9，
所以a2＝－C×22＝－144，故A正确；
故令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；
令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得a0－a1＋a2＋…－a9＝－39，故D正确．
二、填空题
6．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答)．
[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2．故常数项为T3＝10．
7．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__．
[解析] Tr＋1＝Cx8－rr
＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C＝1 120，∴a＝±2，
令x＝1得展开式各项系数的和为1或38．
8．(2021·浙江高考)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝__5__；a2＋a3＋a4＝__10__．
[解析] (x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0．所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10．
三、解答题
9．设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．
[解析] (1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1．①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021②
①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021)＝－1－32 021，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－．
(3)∵Tr＋1＝C·12 021－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 020－a2 021
＝32 021．
10．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11．
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
[解析] (1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)
＝＋(11－m)·＝2＋．
因为m∈N*，
所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3．
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．
B 组·素养提升
一、选择题
1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图“0－1三角”．在“0－1三角”中，从第1行起，设第n(n∈N＋)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于( D )
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
… … … …
A．26 B．27
C．7 D．8
[解析] 第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行原来的数是C，而C＝6为偶数，不合题意；第7行原来的数是C，即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情况．
2．设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021x2 021，则＋＋…＋的值为( C )
A．2 B．0
C．－1 D．1
[解析] 令x＝0，可得a0＝1，
令x＝，可得0＝1＋＋＋…＋，
∴＋＋…＋＝－1，故选C．
3．(多选题)关于下列(a－b)10的说法，正确的是( ABD )
A．展开式中的二项式系数之和是1 024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
[解析] 由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确．二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确．由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，故D正确．
4．(多选)(2021·辽宁鞍山高二期末)在(1－x)2 021的展开式中，有下列四个命题，其中为真命题的是( CD )
A．非常数项系数的绝对值的和是1
B．系数最大的项是第1 010项
C．偶数项的系数和是－22 020
D．当x＝2 022时，(1－x)2 021除以2 022的余数为1
[解析] 对于A，(1－x)2 021的展开式中，常数项为1，令x＝－1，得所有项系数的绝对值的和为(1＋1)2 021＝22 021，所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为22 021－1，所以A中命题是假命题；对于B，展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rCxr(r＝0,1, 2，…，2 021)，所以系数最大的项是第1 011项，所以B中命题是假命题；对于C，令x＝1，得(1－1)2 021＝0，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故展开式中偶数项的系数和是－22 020，所以C中命题是真命题；对于D，当x＝2 022时，(1－2 022)2 021＝1－C×2 022＋C×2 0222－…－2 0222 021，展开式中不含2 022的项是1，所以当x＝2 022时，(1－x)2 021除以2 022的余数为1，所以D中命题是真命题．故选D．
二、填空题
5．观察下列等式：
(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，
……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝____．
[解析] 观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝．
6．记f(m，n)为(1＋x)6(1＋y)4展开式中xm·yn项的系数，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝__120__．
[解析] f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝CC＝60，f(1,2)＝CC＝36，f(0,3)＝C＝4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝20＋60＋36＋4＝120．
7．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝____．
[解析] 设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n
＝＝．
三、解答题
8．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
[解析] 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数和为
C＋C＋…＋C＝210．
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝．
9．在n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[解析] (1)由题意知：Tr＋1＝C2rx2n－r，则第4项的系数为C23，倒数第4项的系数为C2n－3，则有＝，即＝，所以n＝7．
(2)由(1)可得Tr＋1＝C2rx14－r(r＝0,1，…，7)，
当r＝0,2,4,6时，所有的有理项为T1，T3，T5，T7，
即T1＝C20x14＝x14，T3＝C22x9＝84x9，
T5＝C24x4＝560x4，T7＝C26x－1＝448x－1．
(3)设展开式中第r＋1项的系数最大，则
≤r≤，所以r＝5，故系数最大项为T6＝C25x＝672x．(共45张PPT)
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．掌握二项式系数的性质及其应用． 2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明． 3．掌握二项式定理的应用. 1．了解杨辉三角，并探索其中的规律．
2．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．
3．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”．
必备知识 探新知
知识点1
等距离
知识点2
增大
减小
知识点3
知识点4
1
相等
和
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 二项式系数的性质及应用
[分析] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
典例 1
[解析] 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992．
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，
∴n＝5．
[规律方法] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
题型二 有关二项式系数和、展开式的系数和的问题
[分析] 用赋值法求各系数的和．
典例 2
【对点训练】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．
[解析] 令x＝1，则
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1 ①
令x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37 ②
(4)解法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093＋1 094＝2 187．
解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187．
题型三 与“杨辉三角”有关的问题
如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…．记其前n项和为Sn，求S19的值．
典例 3
[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【对点训练】 在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．则在“杨辉三角”中第______行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5．
62
易错警示
错用二项式系数的性质致误
(1＋2x)20的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和之比为____________________．
[错解一] ∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219．∴所求比为1∶1．
(320－1)∶(320＋1)
典例 4
[辨析] 错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值，其原因在于没有把握住求系数和的根本方法．对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决．奇、偶次项是针对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言．
课堂检测 固双基
1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于 ( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] 二项式(a＋b)n的展开式中，
奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n－1＝64，∴n＝7．故选C．
C
2．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是 ( )
A．56 B．160
C．80 D．180
B
3．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是 ( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
[解析] 该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
C
B
5．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝_______．
364
素养作业 提技能
