(共38张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 1．通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义．
2．掌握简单的条件概率的计算问题．
3．能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简单的实际问题．
必备知识 探新知
条件概率
(1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称
__________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)特例：当P(A)＞0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)．
知识点1
思考：P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？
提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同．
概率的乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．
知识点2
知识点3
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用定义求条件概率
一个袋中有2 个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
[分析] 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
典例 1
【对点训练】 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
题型二 利用乘法公式求概率
一批产品中有4%的次品，其余均为合格品，而合格品中一等品占45%．从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．
[分析] 产品为一等品的含义为既是合格品又是一等品，即求P(AB)．
典例 2
[规律方法] 应用乘法公式的关注点
1．功能：已知事件A发生的概率和事件A发生的条件下事件B发生的概率，求事件A与B同时发生的概率．
2．推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)．
【对点训练】 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．
[解析] 记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9．故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72．
0.72
题型三 条件概率的综合应用
盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，取两次．求：
(1)两次都取得一等品的概率；
(2)第二次取得一等品的概率；
(3)已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
[分析] 因为是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解即可．
典例 3
【对点训练】 在某次考试中，要从20道题中随机的抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[解析] 设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知
易错警示
误认为条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)相同
袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．
典例 4
[辨析] 应注意P(AB)是事件A和B同时发生的概率，而P(B|A)是在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率．
课堂检测 固双基
A
B
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于 ( )
C
C
5．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_______．
[解析] 记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5．
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4．
0.4
素养作业 提技能第七章 7.1 7.1.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列说法不正确的是( ACD )
A．P(B|A)
C．0[解析] 由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选ACD．
2．(2021·山东临沂高二期末)气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB．
由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝．
3．一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 有一个是女孩记为事件A，另一个是女孩记为事件B，Ω表示基本事件空间，而Ω＝{(男，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}，则P(A)＝，P(AB)＝P(A∩B)＝，则所求概率为P(B|A)＝＝．
4．在5道题中有3道数学题和2道物理题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设第一次抽到数学题为事件A，第二次抽到数学题为事件B，
由已知P(AB)＝，P(A)＝，
所以P(B|A)＝＝．
5．(2021·黑龙江哈三中高二期末)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设事件A：甲获得冠军，事件 B：比赛进行了三局．∵甲在每局比赛中获胜的概率均为，失败的概率为，且各局比赛结果相互独立且没有平局，
∴P(A)＝×＋××＋××＝，
P(AB)＝××＋××＝，故在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为P(B|A)＝＝÷＝．
二、填空题
6.100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为____．
[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝．
7．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，则ξ≤6的概率为____．
[解析] 解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，共12种，∴所求概率P＝．
解法二：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“ξ≤6”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝．
8．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝____．
[解析] ∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝，∴P(B|A)＝＝＝．
三、解答题
9．(2021·广西南宁)袋子中放有大小、形状均相同的小球若干．其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个．从袋子中任取两个小球，取到的标号都是2的概率是．
(1)求n的值；
(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球的标号是1，求另一个小球的标号也是1的概率．
[解析] (1)由题意得＝＝，解得n＝2．
(2)记“其中一个小球的标号是1”为事件A，“另一个小球的标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝．
10．(2021·北京顺义)已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
[解析] 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．
(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝．
(2)由题可得所求概率为P(A|C)＝＝＝．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( A )
A． B．
C． D．0.19
[解析] 设事件A为“连续熬夜48小时诱发心脏病”，事件B为“连续熬夜72小时诱发心脏病”，由题意可知P(A)＝0.055，P(B)＝0.19，则P()＝0.945，P()＝0.81，
由条件概率公式可得
P(|)＝＝＝＝．
2．(2021·湖南)袋中有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A，“摸出的两球同色”为事件B，则P(B|A)为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题可得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
则P(B|A)＝＝＝，故选A．
3．(2021·广东惠州)甲、乙、丙、丁、戊5名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人、环境监测、教育咨询、交通宣传、文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件A为“5名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则P(A|B)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知得，事件B的基本事件个数为44，事件AB的基本事件个数为A，
所以P(A|B)＝＝．故选A．
4．(2021·江西南昌)吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计，一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继续吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( A )
A． B．
C． D．不确定
[解析] 记事件A：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，记事件B：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，则由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝＝＝＝，故选A．
二、填空题
5.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是____．
[解析] 记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(AB)＝A，P(B|A)＝＝．
6．一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如表：
厂别数量等级 甲厂 乙厂 合计
合格品 475 644 1 119
次品 25 56 81
合计 500 700 1 200
从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是____；已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是____．
[解析] 从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝．
方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝．
方法二：设A：“取出的产品是甲厂生产的”，B：“取出的产品为次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝．
三、解答题
7．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
[解析] 设事件A表示“选到第一组学生”，
事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，P(A)＝＝．
(2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝．
解法二：P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(A|B)＝＝．
8．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
[解析] (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3．
∴这2个产品都是次品的概率为．
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝．