(共33张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.2 全概率公式
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 2．了解贝叶斯公式． 1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．
2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养．
必备知识 探新知
全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B
Ω，有P(B)＝______________．
知识点1
贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)＞0，
有P(Ai|B)＝____________＝________________，i＝1,2，…，n．
思考：全概率公式体现了哪种数学思想？
提示：全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．
知识点2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 全概率公式的应用
世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3 名第二代传播者，2名第三代传播者．若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，求小明被感染的概率_________．
典例 1
0.915
[分析] 根据题意，设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则有P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)，据此计算可得答案．
[解析] 设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C) ＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85，
则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9× 0.3＋0.85×0.2＝0.915．
∴小明被感染的概率为0.915．
[规律方法] 全部概率P(D)被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于：在较复杂的情况下，直接计算P(D)不易，但D总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai，往往可以简化计算．
【对点训练】 某电子设备制备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
[解析] 设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03
＝0.012 5，
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5．
题型二 贝叶斯公式的应用
若一位朋友从外地来看望小文，已知该朋友坐火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，且他坐火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别是0.25，0.3,0.1,0．若该朋友迟到了，推测他坐哪种交通工具的可能性大．
[解析] 设A1＝“坐火车来”，A2＝“坐轮船来”，A3＝“坐汽车来”，A4＝“坐飞机来”，B＝“该朋友迟到了”，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，P(A4)＝0.4，P(B|A1)＝0.25，P(B|A2)＝0.3，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0．
典例 2
[规律方法] 贝叶斯公式的应用
把事件B看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An…看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率即P(An)已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(B|An))已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用贝叶斯公式(即求P(Ai|B))．
【对点训练】 用血清诊断肝癌，临床实践表明，患肝癌的病人中有95%试验呈阳性，也有2%的非肝癌患者化验呈阳性．若将此法用于人群肝癌普查，设人群中肝癌患病率0.2%，现某人在普查中化验结果呈阳性，求此人确患肝癌的概率．
易错警示
概率计算公式理解不清而致误
(多选题)若0＜P(A)＜1,0＜P(B)＜1，则下列式子中成立的为__________．
典例 3
BCD
[错解] BC 由条件概率的计算公式知A、D错误，B、C显然正确．
[辨析] 记忆公式时要抓住公式的结构特性，同时还要正确理解各个随机事件的含义．
[正解] 由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)，故D正确．
课堂检测 固双基
2．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为 ( )
A．0.6 B．0.85
C．0.868 D．0.88
C
3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为 ( )
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.3
A
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．随机取一个袋子，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为______．
5．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为_____________．
0.048 35
素养作业 提技能第七章 7.1 7.1.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为( A )
A．0.08 B．0.1
C．0.15 D．0.2
[解析] 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝；
则由全概率公式，所求概率为
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝0.08．
2．如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为( C )
A．0.085 B．0.226
C．0.625 D．0.815
[解析] 以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，
所以P(B)＝0.08，P(A1|B)＝＝＝＝0.625．
3．设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 设Ai：取到第i号袋子，i＝1,2,3,4,5．
B：取到白球，
由贝叶斯公式得
P(A1|B)＝＝＝．
4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：
一批产品中的次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为( A )
A．0.814 B．0.809
C．0.727 D．0.652
[解析] 以Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0,1,2,3,4，B表示通过检验，则由题意得，P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2，P(B|A1)＝＝0.9，P(A2)＝0.4，P(B|A2)＝≈0.809，
P(A3)＝0.2，P(B|A3)＝≈0.727，
P(A4)＝0.1，
P(B|A4)＝≈0.652．由全概率公式，
得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈ 0.814．
5．某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取100人、60人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占．求从中抽取一人恰好是女生的概率为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 用A和分别表示取一人是来自甲学院与乙学院，B表示抽取一人恰好是女生，则根据已知有P(A)＝＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝＋＝．
二、填空题
6.5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为____，第三个人摸到中奖彩票的概率为____．
[解析] 记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai，显然P(A1)＝，则P(A2)＝P[A2∩(A1∪1)]＝P(A2∩A1)＋P(A2∩1)
＝P(A2A1)＋P(A21)
＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×0＋×＝，
P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A12＋1A2＋12)]
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＋P(12A3)
＝0＋0＋0＋P(A312)
＝P(1)P(2|1)P(A3|(12))
＝××＝．
7．(2021·山东聊城)某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是__0.175__．
[解析] 设B1＝“他是谨慎的”，B2＝“他是一般的”，B3＝“他是冒失的”，则B1，B2，B3构成了Ω的一个样本空间，设事件A＝“出事故”，由全概率公式得，
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)(i＝1,2,3)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175．
8．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件，则P(B)＝____．
[解析] 由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，
所以P(B)＝P[B∩(A1∪A2∪A3)]
＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝．
三、解答题
9．(2021·山东青岛)三个罐子分别编号为1,2,3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
[解析] 记Bi＝{球取自i号罐}(i＝1,2,3，)，A＝{取得红球}，显然A的发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝AB1＋AB2＋AB3，且AB1，AB2，AB3两两互斥，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝P(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝．
10．某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：
品牌 甲 乙 丙
数量(瓶) 240 120 40
优质率 95% 90% 85%
现从该药店任意买一瓶消毒液，求买到优质品的概率．
[解析] 设事件A1，A2，A3分别表示买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌；事件B表示买到优质品．
由题意得P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.3，P(A3)＝＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.85．
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925．
故从该药店任意买一瓶消毒液，买到优质品的概率为0.925．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知A学校有15名数学老师，其中9名男老师，6名女老师，B学校有10名数学老师，其中3名男老师，7名女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一名数学老师到B学校，然后从B学校任意抽取一名数学老师到县里上公开课，则两次都抽到男老师的概率是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 从A学校任意抽取一名数学老师到B学校，抽到男老师的概率是＝，然后从B学校任意抽取一名数学老师，抽到男老师的概率是＝，两个事件同时发生的概率是×＝．
2．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱， 其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝·＋·＋·＝．
P(B1|A)＝＝＝÷＝．故选B．
3．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 设事件A＝{第一次抽出的是黑球}，事件B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．由题意P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋
＝．
4．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%．则( ABC )
A．任意一位病人有症状S的概率为0.02
B．病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C．病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D．病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
[解析] P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，
由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)
＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02．
由贝叶斯公式得：
P(D1|S)＝＝＝0.4，
P(D2|S)＝＝＝0.45，
P(D3|S)＝＝＝0.15．
二、填空题
5．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%,35%,20%，且各车间的次品率分别为4%,2%,5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由__甲__车间生产的可能性最大．
[解析] 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为次品的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω中的事件，且有P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.05．
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.45×0.04＋0.35×0.02＋0.2×0.05＝0.035．
由贝叶斯公式得P(A1|B)＝≈0.514，
P(A2|B)＝≈0.200，
P(A2|B)＝≈0.286，
所以，该次品由甲车间生产的可能性最大．
6．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲超市购物的概率为__0.5__．
[解析] 设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0,4，P(A2|B1)＝0.6．
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5．
∴老王第二次去甲超市购物的概率为0.5．
7．设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球．若在盒中连取四次，则第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率为__···__．
[解析] 设Ri(i＝1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件，i(i＝1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件．则有
P(R1R234)＝P(R1)P(R2|R1)P(3|(R1R2))P(4|(R1R23))
＝···．
三、解答题
8．学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．
(1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是；
(2)学生知道正确答案的概率是0.2．
[解析] 记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，则按题意有P(A|B)＝1，P(A|)＝0.25．
(1)此时有P(B)＝P()＝0.5，所以由贝叶斯公式得
P(B|A)＝
＝＝0.8．
(2)此时有P(B)＝0.2，P()＝0.8，所以由贝叶斯公式得P(B|A)＝
＝＝0.5．
9．有3箱同种型号的零件，里面分别装有50件、30件、40件，且其中一等品分别有20件、12件、24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件．求：
(1)先取出的零件是一等品的概率．
(2)两次取出的零件都是一等品的概率．
[解析] 设Ai＝“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1,2,3，Bj＝“第j次取到的是一等品”，j＝1,2．
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3，两两互斥，且由题意知
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝．
(1)P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，P(B1|A3)＝＝0.6．由全概率公式得P(B1)＝(Ai)P(B1|Ai)＝(0.4＋0.4＋0.6)＝．
(2)因为P(B1B2|A1)＝≈0.155 1，P(B1B2|A2)＝≈0.151 7，P(B1B2|A3)＝≈0.353 8，
所以由全概率公式得P(B1B2)＝(Ai)P(B1B2|Ai)
＝×(0.155 1＋0.151 7＋0.353 8)＝0.220 2．
