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第七章 随机变量及其分布列
7.2 离散型随机变量及其分布列
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．借助具体实例，了解离散型随机变量及其分布列． 2．体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异． 1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．
2．了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念．
3．会求简单的离散型随机变量的分布列．
必备知识 探新知
离散型随机变量
(1)随机变量：对于随机试验样本空间______中的每一个样本点ω，都有____________________与之对应，我们称X为随机变量．
(2)离散型随机变量：可能取值为__________或可以____________的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
(3)表示：随机变量用大写英文字母表示，如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，如x，y，z．
(4)本质：通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．
Ω
知识点1
唯一的实数X(ω)
有限个
一一列举
离散型随机变量的分布列
(1)定义：设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)表示：表格
知识点2
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
概率分布图(掷骰子试验中掷出的点数X的分布列图)
(3)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
知识点3
X 0 1
P _________ ______
1－p
p
提示：不服从两点分布，X的取值只能是0,1．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 离散型随机变量的概念
有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X．上述问题中的X是离散型随机变量的是 ( )
A．①②③④ B．②③④
C．①③④ D．①②④
典例 1
C
[分析] 判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
[解析] 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．
[规律方法] 判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤
(1)根据题意分析变量是否为随机变量．
(2)求随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．
【对点训练】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)标准大气压下，水沸腾的温度；
(2)王老师在某天内接电话的次数；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[解析] (1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100 ℃，是常量，故不是随机变量．
(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量．
(3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量．
(4)体积是64 cm3的正方体的棱长是4 cm，因此不是随机定量．
题型二 分布列及其性质的应用
典例 2
[规律方法] 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)求参数的取值或范围．
(2)求随机变量在某个范围内取值的概率．
(3)验证分布列是否正确．
D
(3,4]
题型三 离散型随机变量的分布列
袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．
典例 3
[规律方法] 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概型及互斥事件、对立事件的概率等知识．
【对点训练】 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列．
题型四 两个相关离散型随机变量的分布列
已知离散型随机变量X的分布列为
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[分析] 先由分布列的性质求出m的值，然后求出X取每一个值时对应的2X＋1，|X－1|的值，再分别把2X＋1，|X－1|取相同的值时所对应的概率相加，列出分布列．
典例 4
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
[解析] 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3．
由题意列表如下．
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)易得2X＋1的分布列为
(2)易得|X－1|的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
[规律方法] 已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f(ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．
易错警示
离散型随机变量的可能取值搞错致误
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．
典例 5
[错解] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．
X＝0表示一关没过；
X＝1 000表示只过第一关；
X＝3 000表示只过第二关；
X＝6 000表示只过第三关．
[辨析] ①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；
②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．
[正解] X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．
{X＝0}表示“第一关就没有通过”；
{X＝1 000}表示“第一关通过，而第二关没有通过”；
{X＝3 000}表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
{X＝6 000}表示“三关都通过”．
[点评] 理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．
课堂检测 固双基
A
2．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10，表示的试验结果是 ( )
A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标
C．前9次未击中目标 D．第9次击中目标
[解析] 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．
C
D
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m＜n，则P(m≤X≤n)＝ ( )
A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
[解析] P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X＜m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．
C
5．(2021·全国高二课时练)在考试中，需回答三个问题，考试规则规定，每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是__________________________．
[解析] 若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对两个问题得分100；若问题全答对得分300．
－300，－100,100,300
素养作业 提技能第七章 7.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X，那么“X≤－4”表示的随机事件的结果是( BCD )
A．第一枚1点，第二枚4点 B．第一枚2点，第二枚6点
C．第一枚1点，第二枚5点 D．第一枚1点，第二枚6点
[解析] 抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4的只有三种情况，故第一枚为1点、第二枚为6点，第一枚为1点、第二枚为5点，第一枚为2点、第二枚为6点．
2．随机变量ξ的分布列如下．
ξ 0 1 2
P a b c
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知解得b＝．
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝．故选B．
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为( A )
A． B．
C．或 D．－或－
[解析] 由分布列性质可得：9a2－a＋3－8a＝1，
∴9a2－9a＋2＝0，
∴a1＝，a2＝，
当a＝时，3－8a<0不合题意，∴a＝，故选A．
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，…．则P(2A． B．
C． D．
[解析] P(25．(2021·安徽合肥)两名学生参加考试，随机变量X代表通过的学生数，其分布列为
X 0 1 2
P a
那么这两人通过各自考试的概率的最小值分别为( B )
A．； B．；
C．； D．；
[解析] 依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的．设这两人通过各自考试的事件分别是A，B，依题意得，[1－P(A)]·[1－P(B)]＝，P(A)P(B)＝1－－＝，解得P(A)＝，P(B)＝或P(A)＝，P(B)＝．
所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为．故选B．
二、填空题
6．(2021·山西大同)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为
__
X 0 1 2
P
__．
[解析] 由题意可得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2．
P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝2××＝，P(X＝2)＝×＝．
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
7．(2021·天津红桥)已知随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为__0.2__．
[解析] 当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，
所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2．
8．(2021·山东寿光)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝__0.5__．
[解析] 由离散型随机变量分布列的性质可得0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，
则P(Y＝2)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝0.2＋0.3＝0.5．
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．
[解析] (1)由题意知P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝．
所以X的分布列为：
X 0 1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．
所以X的分布列为：
X 0 1
P
10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S．
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解析] (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝．
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)(2021·吉林吉化)设X是一个离散型随机变量，则下列能作为X的分布列的一组概率数据是( AC )
A．0，，0,0， B．0.2,0.2,0.3,0.4
C．p,1－p(0≤p≤1) D．，，…，
[解析] 根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，故B选项不能．而＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选AC．
2．(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为( BC )
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
[解析] 甲赢一局输两局得3分，甲与乙平三局得3分．
3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以P(X≤4)＝＋＋＝．
4．若随机变量X的分布列如表所示，则a2＋b2的最小值为( C )
X 0 1 2 3
P a b
A． B．
C． D．
[解析] 由分布列性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
二、填空题
5．已知随机变量η的分布列如表：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则x＝__0.1__；P(η>3)＝__0.45__；P(1<η≤4)＝__0.45__．
[解析] 由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45．
6．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20
根据该表可知X取奇数值时的概率是__0.60__．
[解析] 因为X取偶数值时的概率为P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.10＋0.10＋0.20＝0.40．
故X取奇数值的概率为1－0.40＝0.60．
7．设随机变量X只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(X>8)＝____；P(6[解析] X有12个值且每个值的概率相同，则取每个值的概率为．于是P(X>8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋…＋P(X＝16)＝8×＝，P(6三、解答题
8．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6．现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列．
[解析] 依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11．则有P(η＝5)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝．
所以η的分布列为
η 5 6 7 8 9 10 11
P
9．唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”“碾”“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5,0.6,0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8,0.5,0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序；且这三道工序之间通过与否没有影响．
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；
(2)设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列．
[解析] (1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过‘炙’这道工序”，
则所求概率P＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.5)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.5＝0.35．
(2)甲制成饼茶的概率为P甲＝0.5×0.8＝0.4，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.5×0.4＝0.2．
随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.3)×(1－0.2)＝0.336，
P(X＝1)＝0.4×(1－0.3)×(1－0.2)＋(1－0.4)×(1－0.3)×0.2＋(1－0.4)×0.3×(1－0.2)＝0.452，
P(X＝2)＝0.4×0.3×(1－0.2)＋0.4×(1－0.3)×0.2＋(1－0.4)×0.3×0.2＝0.188，
P(X＝3)＝0.4×0.3×0.2＝0.024．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.336 0.452 0.188 0.024
