第七章 7.3 7.3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)下列说法不正确的是( ABD )
A．随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化
B．随机变量的均值反映样本的平均水平
C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4
D．随机变量X的均值E(X)＝
[解析] A错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．C正确，由均值的性质可知．D错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( A )
A． B．
C． D．2
[解析] ∵P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)，
∴E(X)＝(1＋2＋3＋4)×＝，故选A．
3．(2021·江苏徐州高二检测)已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若E(X)＝7.5，则a等于( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] ∵0.3＋0.1＋b＋0.2＝1得b＝0.4，
∴E(X)＝4×0.3＋a×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5，
∴a＝7，故选C．
4．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
η 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定( A )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
[解析] E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7．
因为E(η)＞E(ξ)，故甲比乙质量好．
5．如果a1，a2，a3，a4，a5，a6的期望为3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是( A )
A．0 B．3
C．6 D．12
[解析] 由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0．
二、填空题
6．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的期望E(X)＝8.9，则x的值为__0.4__．
[解析] ∵x＋y＝0.6,7x＋10y＝8.9－0.8－2.7，
解得
7．一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝____．
[解析] 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3．
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
8．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X 0 1 2
P －p p
则E(X)的最大值为____．
[解析] 由表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝．
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
[解析] (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝．
(2)X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
综上知，X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
10．(2021·陕西师大附中高三检测)共享单车是一种绿色、环保、健康的出行方式．最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”．
(1)从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；
(2)从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X，求X的分布列与数学期望．
[解析] (1)记事件A：从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”，
则P(A)＝×＋×＋×＝．
(2)X的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＋×＝，
P(X＝3)＝×＝，
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则( BC )
A．a＝10 B．a＝
C．b＝0 D．b＝1
[解析] 易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3．①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0．
2．(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表：
品牌 甲 乙
首次出现故障的时间x(年) 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
轿车数量(辆) 2 3 45 5 45
每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，则下列说法正确的是( BD )
A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为
B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则E(X1)＝2.86(万元)
C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则E(X2)＝2.99(万元)
D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车
[解析] 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝．
依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴－＜0，即＞0，∴a与b同号．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
4．(多选题)(2021·浙江丽水高二月考)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有( BC )
ξ 0 1 2
p p－p2 p2 1－p
A．E(ξ)随着p的增大而增大 B．E(ξ)随着p的增大而减小
C．P(ξ＝0)＜P(ξ＝2) D．P(ξ＝2)的值最大
[解析] 由题意E(ξ)＝p2＋2(1－p)＝(p－1)2＋1，由于0＜p＜1．所以E(ξ)随着p的增大而减小，A错，B正确．又p－p2＝p(1－p)＜1－p，所以C正确，p＝时P(ξ＝2)＝，而P(ξ＝1)＝2＝＞，D错，故选BC．
二、填空题
5．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为____．
ξ 1 2 3 4
P m n
[解析] η＝4ξ－2 E(η)＝4E(ξ)－2 7＝4·E(ξ)－2 E(ξ)＝ ＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得n＝．
6．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表：
t 1 2 3
P(ξ＝t) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝__2__．
[解析] 设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2．
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为____．
[解析] 依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则第一轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝．若第一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，
故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝．
三、解答题
8．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．
(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．
[解析] (1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
∴由频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.025．
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，
其中属于高消费人群的有(a＋b)×10×10＝6人，属于潜在消费人群的有10－6＝4人．
从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X，
则X的所有可能取值为：150,200,250,300．
P(X＝150)＝＝，P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，P(X＝300)＝＝，
∴X的分布列为：
X 150 200 250 300
P
E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210元．
9．某届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园．
(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？
(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，
记ξ＝|X－Y|，求随机变量的分布列和数学期望E(ξ)．
[解析] (1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有22种，故共有2×22＝8种不同的分配方案．
(2)设5名学生中恰有i名被分到王城公园的事件为Ai(i＝0,1,2,3,4,5)，ξ的所有可能取值是1,3,5．
P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝＋＝，
P(ξ＝5)＝P(A0＋A5)＝P(A0)＋P(A5)＝＋＝，
则随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3 5
P
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝．(共43张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
理解离散型随机变量的均值． 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．
2．掌握两点分布的均值．
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．
必备知识 探新知
离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示：
则称E(X)＝________________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．
知识点1
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的____________．
(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝________________．
平均水平
aE(X)＋b
思考：离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？
提示：不相同．离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．
两点分布的数学期望
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝______．
p
知识点2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 离散型随机变量的均值公式及性质
典例 1
[规律方法] 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．
1
15
题型二 简单随机变量的均值
已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望E(X)．
[分析] (1)列出X的可能取值，并求出相应的概率，列出分布列．
(2)利用公式求出X的数学期望．
典例 2
[规律方法] 关于离散型随机变量的均值
(1)如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算．
(2)一般地，先求出随机变量的分布列，再通过分布列计算随机变量的均值．
【对点训练】 (2021·河北唐山高二检测)为了预防流感，某市有关部门提供了编号为1,2,3,4的四种疫苗供市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种，现有甲，乙，丙三人接种疫苗．
(1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率．
(2)设三人中选择的疫苗编号最大的数为X，求X的分布列及数学期望．
题型三 均值的实际应用
(全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图(如图)：
典例 3
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[解析] 由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8,9,10,11，相应的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22．
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04．
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19．
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040．
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080．
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19．
[规律方法] 解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
【对点训练】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2) ×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x．
由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．
易错警示
易错易混问题——对离散型随机变量均值的性质理解不清致误
若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝ ( )
A．0 B．1
C．2E(X) D．不确定
[错解] ∵E(E(X)－X)＝E(E(X))－E(X)
由于E(E(X))不确定，故选D．
A
典例 4
[辨析] 离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
[正解] 由离散型随机变量均值的性质知，当Y＝aX＋b，其中a，b为常数时，有E(Y)＝aE(X)＋b．又E(X)是常数，∴E(E(X)－X)＝E(X)＋E(－X)＝E(X)－E(X)＝0．
课堂检测 固双基
1．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是 ( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
[解析] 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
B
2．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是 ( )
A．6元 B．7.8元
C．9元 D．12元
B
4．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝
______．
5．(2021·安徽六安高二检测)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正
方体抛掷2次，则向上的数字之积的均值是______．
素养作业 提技能
