第七章 7.4 7.4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)关于超几何分布，下列说法正确的是( ACD )
A．超几何分布的模型是不放回抽样
B．超几何分布的总体里可以有两类或三类物品
C．超几何分布中的参数是N，M，n
D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
[解析] 由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体里只有两类物品，故选项B错误．故选ACD．
2．(2021·湖南岳阳高二月考)一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( D )
A．1－ B．
C． D．
[解析] 由超几何分布概率公式可知，所求概率为．
3．(2021·江苏省启东中学高二期中)某地15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便，现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是( A )
A．P(X＝4) B．P(X≤4)
C．P(X＝6) D．P(x≤6)
4．(2021·江西新余高二期末)有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( B )
A． B．
C． D．7
[解析] 根据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝．故选B．
5．(2021·山东省滨州市)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是( B )
A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村
[解析] 用X表示选到的3个村中深度贫困村的个数，则X～H(7,3,3)，所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个深度贫困村的概率为．
二、填空题
6.10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a＝__2或8__．
[解析] 根据题意，得＝，解得a＝2或a＝8．
7．(2021·吉林长春市朝鲜族中学高三月考)有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为____(用式子表示)．
[解析] 设抽取的4台产品中二级品的台数为X，
由题意，知随机变量X服从超几何分布，
则P(X＝1)＝，P(X＝0)＝，
故P(X≤1)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝．
8．(2021·河北邢台)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为____．
[解析] 因为此时盒中旧球个数X＝4，即旧球增加一个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P(X＝4)＝＝．
三、解答题
9．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
[解析] (1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有C＝84种情况，所选3人中恰有一名男生的情况有CC＝40种，
故所选3人中恰有一名男生的概率为＝．
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
10．某中学统计了该校100名学生在放假期间参加社会实践活动(简称活动)的情况：有20人参加1次活动，有50人参加2次活动，有30人参加3次活动．
(1)从这些学生中任选两名，求恰好有一名参加1次活动的概率；
(2)从这些学生中任选两名，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．
[解析] (1)由题意知，若设X为任选两名学生中参加1次活动的人数，则X服从参数为N＝100，M＝20，n＝2的超几何分布，
故P(X＝1)＝＝．
(2)ξ的可能取值为0,1,2．
从这些学生中任选两名，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C，易知P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，P(ξ＝2)＝P(C)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是( ABD )
A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)
B．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)
C．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B
D．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X～H(10,4,7)
[解析] A，B显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．D显然满足超几何分布的条件．
2．(多选题)(2021·上海市浦东新区)某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( AD )
A．1－ B．
C．1－ D．
[解析] 任意抽取4个产品有C种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有CC种，故所求事件的概率为．“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也对．
3．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有( C )
A．2本 B．3本
C．4本 D．5本
[解析] 设语文课本n本，则数学课本有7－n本(n≥2)．则2本都是语文课本的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(负值舍去)．
4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为( C )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
[解析] “X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C．
二、填空题
5．某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为____．
[解析] 成员有11＋4＋5＝20人，从中任选2人的不同选法有C种，其中不属于同一国家的有C·C＋C·C＋C·C种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝＝．
6．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率为____．
[解析] 取到已过保质期饮料的瓶数服从超几何分布，其中参数为N＝20，M＝2，n＝2，
则所求事件的概率为1－＝1－＝．
7．(2021·辽宁大连高三模拟)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)的值是____．(结果用分数表示)
[解析] 由题意，知ξ可取0,1,2，
当ξ＝0时，表示没有选到女生；
当ξ＝1时，表示选到一名女生；
当ξ＝2时，表示选到2名女生．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
三、解答题
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布．
[解析] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝，
因此X的概率分布为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝．
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝．
因此随机变量Y的概率分布为
Y 0 10 20 50 60
P
9．某高校通过自主招生方式招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪名被录取的可能性更大？
[解析] (1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
P＝×C××2＋×C×0×3＝．
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝．
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0,1,2,3，
由题意知Y～B，E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝，
E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，∴甲被录取的可能性更大．(共51张PPT)
第七章 随机变量及其分布列
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.2 超几何分布
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．结合生活中的实例，了解超几何分布． 2．了解超几何分布的均值及其意义． 1．结合教材实例，了解超几何分布的概念．
2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．
3．了解超几何分布与二项分布的关系，能利用超几何分布概率模型解决实际问题．
必备知识 探新知
知识点
思考：不放回抽取和有放回抽取有何不同？
提示：抽取次数不同，不放回抽取只抽取一次，一次抽取n个，有放回抽取要抽取n次，每次抽取一个；概率模型不同，不放回抽取服从超几何分布，有放回抽取服从二项分布．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 超几何分布的概率及其分布列
袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
典例 1
↓
↓
【对点训练】 微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，已知“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3∶2．
使用微信时间/时 频数 频率
(0,0.5] 5 0.05
(0.5,1] 15 0.15
(1,1.5] 15 0.15
(1.5,2] x p
(2,2.5] 30 0.30
(2.5,3] y q
合计 100 1.00
(1)确定x，y，p，q的值；
(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”100人中用分层抽样的方法抽取10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为ξ，求ξ的分布列；
(3)根据(2)求选取的3人中“微信依赖”至少有2人的概率．
题型二 二项分布与超几何分布
设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个零件，共取3次，用X表示取出的3个零件中次品的个数．
(1)若每次取出后不放回，求X的分布列；
(2)若每次取出后重新放回，求X的分布列．
[分析] (1)每次取出后不放回为超几何分布；
(2)每次取出后重新放回，可看作n重伯努利试验，即为二项分布．
典例 2
[规律方法] 区别二项分布与超几何分布的方法
一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样．当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆．
【对点训练】 瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某地区为了对12岁儿童的瞬时记忆能力进行调查，随机抽取了该地区40名12岁的儿童，其调查结果如下表所示，例如表中听觉记忆能力为中等且视觉记忆能力偏高的人数为3．
视觉 听觉 视觉记忆能力
偏低 中等 偏高 超常
听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
题型三 超几何分布的综合应用
(2021·北京八中高三月考)目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%．
典例 3
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量(吨) 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量(吨) 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
[规律方法] 超几何分布的应用
1．超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等．
2．这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等．
3．在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值．
4． 注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序．如产品问题中，H(n，M，N)的意义是“超几何分布(取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”．
【对点训练】 某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表：
(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；
(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为自行车的概率．
摸出的5个球中带“奖”字球的个数 奖品
0 无
1 无
2 肥皂一块
3 洗衣粉一袋
4 雨伞一把
5 自行车一辆
易错警示
对超几何分布的概念理解不透致错
盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列．
典例 4
课堂检测 固双基
1．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为 ( )
A．N＝10，M＝4，n＝6 B．N＝10，M＝6，n＝4
C．N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10
[解析] 根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6．
A
D
B
4．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为______．
5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝
1)＝______．
素养作业 提技能
