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第七章 随机变量及其分布列
7.5 正态分布
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例、借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 2．了解正态分布的均值、标准差、方差及其含义． 1．了解正态分布与标准正态分布的概念．
2．了解概率密度函数，理解正态曲线的性质．
3．会利用正态曲线的性质解决简单的求概率或面积问题．
4．会求正态分布在给定区间的概率，能利用正态分布知识解决实际问题．
必备知识 探新知
知识点1
(2)正态密度曲线：正态密度函数的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(3)正态分布：①定义：若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布；
②记作：X～N(μ，σ2)；
③特例：当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
思考1：若X～N(μ，σ2)，怎样表示下图中阴影A，B的面积？
提示：阴影A的面积P(X≤x)；阴影B的面积P(a≤X≤b)．
知识点2
思考2：μ，σ取值不同对正态曲线有何影响？
提示：当参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移；当μ取定值时，当σ
较小时，峰值高，曲线“瘦小”，表示随机变量x的分布比较集中，当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量x分布比较分散．
X～N(μ，σ2)在区间[μ－kσ，μ＋kσ](k∈N*)上的概率
(1)概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
(2)3σ原则：通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．
知识点3
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用正态分布的对称性求概率
设X～N(10,1)．
(1)求证：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)；
(2)若P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18)．
[解析] (1)证明：∵X～N(10,1)，
∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．
典例 1
[规律方法] 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1．
(2)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
【对点训练】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2＜ξ＜2)＝ ( )
A．0.477 B．0.625
C．0.954 D．0.977
(2)(2021·临沂高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ＞c)＝a，则P(ξ＞4－c)等于 ( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
C
B
[解析] (1)P(－2＜ξ＜2)＝1－2P(ξ＞2)＝1－2×0.023＝0.954．
(2)对称轴x＝2，
∴P(ξ＞4－c)＝1－P(ξ＞c)＝1－a．
题型二 实际问题中的正态分布
角度1 求给定区间的概率
数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似服从正态分布，且均值为110，标准差为20．求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率．
典例 2
[解析] 由题意可知，分数X～N(110,202)，μ＝110，σ＝20，
P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，
因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)
＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，
所以P(X≤μ－σ)＝0.158 5，
所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5．
角度2 实际应用问题
某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
[分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．
典例 3
[解析] 由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4，0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002 7．而5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
[规律方法] 解答正态分布的实际应用题的关注点
(1)方法：转化法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
(2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与x轴之间的面积为1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．
【对点训练】 在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人．
[解析] ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝10．
(1)在该正态分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110，
∵P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5，
∴考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率为0.954 5．
(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，
∵P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，
∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.682 7．
由共有2 000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000× 0.682 7≈1 365(人)．
题型三 标准正态分布及其应用
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)
典例 4
x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.89077 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9316
1.9 0.97713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
【对点训练】 设随机变量X～N(0,1)，
(1)求Φ(－3)的值；
(2)若Φ(0.42)＝0.662 8，求Φ(－0.42)．
易错警示
对正态曲线的性质理解不准确致错
设ξ～N(1,4)，那么P(5＜ξ＜7)＝____________．
[错解] 因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，
P(5＜ξ＜7)＝P(－5＜ξ＜－3)．
0.021 5
典例 5
则P(5＜ξ＜7)＝P(－5＜ξ＜7)－P(－3≤ξ≤5)
＝P(1－6＜ξ＜1＋6)－P(1－4≤ξ≤1＋4)
＝P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)
≈0.997－0.954
＝0.043．
课堂检测 固双基
[解析] 正态曲线函数的图象关于直线x＝μ＞0对称，故选D．
D
B
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤a)＝P(X＞a)，则a的值为 ( )
A．0 B．μ
C．－μ D．σ
[解析] 随机变量X～N(μ，σ2)，
∵P(X≤a)＝P(X＞a)，P(X≤a)＋P(X＞a)＝1，
∴x＝a为相应正态曲线的对称轴．
∴a＝μ．
B
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(1＜ξ≤3)＝ ( )
(参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997 4)
A．0.682 6 B．0.341 3
C．0.954 4 D．0.477 2
B
5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为_______．
[解析] ∵X～N(1，σ2)，且P(0＜X≤1)＝0.4，
∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1)＝0.8．
0.8
素养作业 提技能第七章 7.5
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2021·山西运城)某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为( B )
A．上午生产情况异常，下午生产情况正常
B．上午生产情况正常，下午生产情况异常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
[解析] ∵零件外直径X～N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2,10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异常．∵9.4＜9.75＜10.6,9.35＜9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B．
2．已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，若X落在区间(－2，－1)和(1,2)的概率分别为p1，p2，则( C )
A．p1＞p2 B．p1＜p2
C．p1＝p2 D．不确定
[解析] 易知标准正态分布密度曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2．
3．(2021·湖北省沙市)设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞m－1)＝P(X＜2m＋1)，则m＝( B )
A． B．
C． D．2
[解析] ∵P(X＞m－1)＝P(X＜2m＋1)，∴m－1＋2m＋1＝4，解得m＝，故选B．
4．(多选题)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是( ABD )
A．P(|X|＜a)＝P(|X|＜a)＋P(|X|＝a)(a＞0)
B．P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)
C．P(|X|＜a)＝1－2P(X＜a)(a＞0)
D．P(|X|＜a)＝1－P(|X|＞a)(a＞0)
[解析] 服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确．X～N(0,1)，μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，P(|X|＜a)＋2P(X＞a)＝1．又P(X＞a)＋P(X＜a)＝1，所以P(|X|＜a)＋2[1－P(X＜a)]＝1，即P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)，所以B正确，C错误．P(|X|＜a)＋P(|X|＞a)＝1(a＞0)，D正确，故选ABD．
5．(2021·湖北省黄冈市模拟)某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ( 单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80＜ξ≤100)＝0.45，若用分层抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( B )
A．5份 B．10份
C．15份 D．20份
[解析] 由题意易知P(ξ＞100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80＜ξ≤100)＝0.45．∴P(ξ＞120)＝P(ξ＞100)－P(100＜ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10．
二、填空题
6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝__0.2__时达到最高点．
[解析] 由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2．
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__1__．
[解析] 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1．
8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在__505__分(已知Φ(0.25)＝0.6)．
[解析] ∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X＜f)＝1－Φ．
又Φ(0.25)＝0.6，∴＝0.25，
∴f＝505分．
三、解答题
9．(2021·山西陵川高三月考)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)≈0.682 7．
(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64＜X≤72)．
[解析] (1)因为正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，
所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80．
又P(72≤X≤88)≈0.682 7，
结合P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7可知σ＝8．
(2)因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
且P(X＜64)＝P(X＞96)．
所以P(X＜64)≈×(1－0.954 5)＝×0.045 5＝0.022 75，
所以P(X≥64)＝0.977 25．
又P(X≤72)＝[1－P(72≤X≤88)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，
所以P(64＜X≤72)＝P(X≥64)－P(X＞72)＝0.977 25－(1－0.158 65)＝0.135 9．
10．已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其概率密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度函数的表达式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．
[解析] 设农民工年均收入X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500．
(1)此地农民工年均收入的正态分布的概率密度函数表达式为φμ，σ(x)
＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500＜X＜8 500)＝P(8 000－500＜X＜8 000＋500)≈0.683．
所以P(8 000＜X＜8 500)＝P(7 500＜X＜8 500)≈0.341 5＝34.15%．
即农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比约为34.15%．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)(2021·黑龙江省)如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下列式子中，表示图中阴影部分面积的为(注：Φ(a)＝P(X＜a))( AC )
A．－Φ(－a)
B．Φ(1－a)
C．Φ(a)－
D．Φ(0)
[解析] ∵Φ(－a)＝P(X＜－a)，
∴图中阴影部分的面积为－P(X＜－a)＝－
Φ(－a)，又根据性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1，可得－
Φ(－a)＝－[1－Φ(a)]＝Φ(a)－，∴A，C正确．
2．(多选题)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，则下列正确的是( ACD )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10
[解析] ∵其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，
∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10．
从图形上看，它关于直线x＝80对称，
且50与110也关于直线x＝80对称，
故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．故选ACD．
3．用Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则概率P(|ξ－10|＜0.1)等于( C )
A．Φ(－9.9) B．Φ(10.1)－Φ(9.9)
C．Φ(1)－Φ(－1) D．2Φ(10.1)
[解析] 若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则Z＝～N(0,1)．
又Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，所以P(|ξ－10|＜0.1)＝P
＝P(－1＜Z＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)，故选C．
4．(2021·河南省模拟)某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走的步数(单位：千步)的频率分布直方图如图所示．该单位员工日均健步走的步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为(附：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954．)( D )
A．103 B．105
C．107 D．108
[解析] 由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值μ＝1×0.04＋3×0.08＋5×0.16＋7×0.44＋9×0.16＋11×0.1＋13×0.02＝6.96≈7．
设随机变量日均健步走的步数为X，则X～N(7，6.25)，∴μ＝7，σ＝2.5，则μ－σ＝4.5，μ－2σ＝2，∴P(2≤X≤4.5)＝×(0.954－0.683)＝0.135 5．
∵800×0.135 5≈108，
∴日均健步走的步数在2千步至4.5千步的人数约为108．故选D．
二、填空题
5．(一题两空)已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b(a＞0)服从标准正态分布N(0,1)，则a＝____，b＝__－1__．
[解析] ∵随机变量X～N(2,22)，∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4．
∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，
D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1．
∴a＝，b＝－1．
6．(2021·福建厦门)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设每个电子元件的使用寿命Z(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,1002)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 100 小时的概率约为____．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈．
[解析] ∵每个电子元件的使用寿命Z均服从正态分布N(1 000,1002)，且P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈，
∴每个电子元件的使用寿命超过1 100小时的概率P(Z＞1 100)≈，
故该部件的使用寿命超过1 100小时的概率约为×＝．
7．(2021·河南驻马店)某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位：分)X服从正态分布N(110,102)，记X∈(90,110]为事件A，X∈ (80,100]为事件B，则P(B|A)＝____．(结果用分数表示)
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%．
[解析] 由题意得，P(A)≈47.7%，P(AB)≈×(95.4%－68.3%)＝13.55%，∴P(B|A)≈ ＝．
三、解答题
8.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：μm)．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
内径 97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ；
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)．该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86,95,103,109,118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
[解析] (1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝×[(－8)2＋
(－8)2＋(－7)2＋(－3)2＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36，所以σ＝6．
(2)需要进一步调试． 理由如下：
如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝P(87＜Z＜123)≈0.997，零件内径在(87,123)之外的概率只有0． 003，
而86 (87,123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．
9．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图．
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
①利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：≈12.2．若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)≈0.683，
P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)≈0.954．
[解析] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200．
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150．
(2)①由(1)知，Z服从正态分布N(200,150)，从而P(187.8＜Z＜212． 2)＝P(200－12.2＜Z＜ 200＋12.2)≈0.683．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212． 2)的概率为0.683，依题意知X～B(100,0.683)，所以E(X)＝100×0.683＝68.3．
