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第七章 随机变量及其分布列
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养作业 提技能
素养目标 定方向
课程标准 学法解读
理解离散型随机变量的方差． 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．掌握方差的性质，会利用公式求离散型随机变量的方差．
3．会计算离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
必备知识 探新知
离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示：
知识点
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋
… ＋(xn－E(X))2pn
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越________；方差与标准差越大，随机变量的取值越________．
(3)性质：D(aX＋b)＝____________．
集中
分散
a2D(X)
思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？
提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 定义法求离散型随机变量的方差
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
求X的分布列、均值和方差；
[分析] 已知标数字n的有n个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量X的取值及各个取值对应的概率，进而写出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差．
典例 1
[规律方法] 利用定义法求离散型随机变量的方差和标准差的步骤
(1)明确随机变量的所有取值，并理解随机变量每一个取值的意义．
(2)求出随机变量取各个值的概率．
(3)列出随机变量的分布列．
(4)利用均值公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求出随机变量X的均值E(X)．
【对点训练】 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X表示取出次品个数．
求X的分布列、均值及方差．
题型二 利用方差的性质求随机变量的方差(标准差)
典例 2
[规律方法] 利用方差的性质求随机变量的方差(标准差)的方法
对于有线性关系的两个随机变量，已知一个变量的方差，求另一个变量的方差，注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量aξ＋b的分布列，又避免了复杂的计算，简化了计算过程．
【对点训练】 (2021·江西南昌高二联考)若随机变量X的分布列为
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为 ( )
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
C
X 0 1
P 0.2 m
[解析] 因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16．
因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6．
题型三 方差的实际应用问题
以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：
典例 3
X1(甲得分) 0 1 2
P(X1＝xi) 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P(X2＝xi) 0.3 0.3 0.4
欲从甲、乙两运动员中选一人参加2021年东京夏季奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？
[分析] 从期望和方差两方面去判断．
[解析] 由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，
E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1．所以E(X1)＝E(X2)．
D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，
D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，
所以D(X1)＜D(X2)，
所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．
[规律方法] 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据方差的意义做出结论．
【对点训练】 (福建高考题)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
(ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；
(ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以先寻找期望为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60是面值之和的最大值，所以期望不可能为60；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40.40)，记为方案2．
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额(单位：元)为X1，则X1的分布列为
易错警示
要准确理解随机变量取值的含义
某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．
[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X＝k的含义是前k－1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．
典例 4
课堂检测 固双基
A
[解析] 随机变量ξ服从两点分布，E(ξ)＝m，所以D(ξ)＝(1－m)2·m＋(0－m)2(1－m)＝m(1－m)．
D
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估计 ( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
[解析] 因为D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
B
D
5．已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则p＝______，D(2X－3)＝_____．
4
素养作业 提技能第七章 7.3 7.3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选题)已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．
ξ －1 0 1
P －a a
当a增大时，( AD )
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
[解析] 0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，
∴当a增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝2×＋2×＋2×a＝－a2＋a＋＝
－2＋，
∵0＜a＜，∴当a增大时，D(ξ)增大，故选AD．
2．(2021·浙江宁海中学月考)小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为( B )
A． B．
C． D．3
[解析] 由题意可得ξ＝－3,3，－1,1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝C(0.5)3＝3×0.53
故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ| 1 3
P 6×0.53 2×0.53
故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5
D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75
故选B．
3．(2021·浙江东阳中学月考)已知随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，从而随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a －a
所以E(X)＝0×＋1×a＋2×＝－a，因为E(X)＝1，所以－a＝1，所以a＝，故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，故选B．
4．(2021·浙江省台州中学高三月考)已知某8个数据的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则( B )
A．E(X)＝5，D(X)＞3 B．E(X)＝5，D(X)＜3
C．E(X)＜5，D(X)＞3 D．E(X)＜5，D(X)＜3
[解析] 由题意可知，E(X)＝＝5，D(X)＝＝＜3，故选B．
5．(2021·河南郏县第一高级中学高二月考)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( B )
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
[解析] ξ1的可能取值为0,1,2，ξ2的可能取值为0,1．
P(ξ1＝0)＝，P(ξ1＝2)＝，
P(ξ1＝1)＝1－－＝，
故E(ξ1)＝，D(ξ1)＝2×＋2×＋2×＝．
P(ξ2＝0)＝＝，P(ξ2＝1)＝1－＝，
故E(ξ2)＝，D(ξ2)＝2×＋2×＝，
故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)．故选B．
二、填空题
6．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为__0.5__．
[解析] 事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5．
7．(2021·浙江宁波高三联考)已知随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c＞0．若X的方差D(X)≤对所有a∈(0,1－b)都成立，则b的范围为__≤b＜1__．
[解析] 由X的分布列，可得X的期望为E(X)＝－a＋c，a＋b＋c＝1，
所以X的方差D(X)＝(－1＋a－c)2a＋(a－c)2b＋(1＋a－c)2c＝(a－c)2(a＋b＋c)－2(a－c)2＋a＋c＝－(a－c)2＋a＋c＝－(2a－1＋b)2＋1－b＝－42＋1－b．
因为a∈(0,1－b)，
所以当且仅当a＝时，D(X)取最大值1－b．
又D(X)≤对所有a∈(0,1－b)都成立，
所以只需1－b≤，解得b≥，所以≤b＜1．
8．随机变量ξ的取值为0,1,2．若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝____．
[解析] 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝．
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．
[解析] 由题意，X的可能取值为0,1,2，
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1．所以X的方差为D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝．
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数 5 6 7 8 9 10
次数 1 1 1 1 2 4
乙射击的概率分布如下表：
环数 7 8 9 10
概率 0.2 0.3 p 0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析] (1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4．
设甲，乙击中的环数分别为X1，X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲，乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21．
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84．
因为D(X1)＞D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列式子正确的是( ABC )
A．P(X＝0)＝ B．a＝
C．E(X)＝－ D．D(X)＝
[解析] 由分布列可知，P(X＝0)＝，a＝1－－＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；D(X)＝2×＋2×＋2×＝．
2．(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则( BCD )
A．ξ的所有取值是1,2,3 B．P(ξ＝1)＝
C．E(ξ)＝1 D．D(ξ)＝1
[解析] ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝．所以ξ的分布列为
ξ 0 1 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1．
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．
3．随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P 0.5 x y
若E(X)＝，则D(X)等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知，
∴
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝．
4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2，又已知E(X)＝，D(X)＝，则x1＋x2的值为( C )
A． B．
C．3 D．
[解析] x1，x2满足
解得或
因为x1＜x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3．
二、填空题
5．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为__0.4__0.1__0.5__．
[解析] 由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89．
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5．
6．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝__3.36__．
[解析] 由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12．
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36．
7．变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是____．
[解析] 由条件可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，
∴b＝，a＋c＝．
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，故ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝．
三、解答题
8．(2021·清华附中高三开学考试)设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数．
(1)当a＝1，b＝2，c＝3时，从该盒子中依次任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)当a＝1时，从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数，若E(η)＝，D(η)＝，求b和c．
[解析] (1)由题意，得ξ的可能取值为2,3,4,5,6，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
(2)由题意知η的分布列为
η 1 b c
P
因为E(η)＝，D(η)＝，
所以
解得
9．A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差和，求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
[解析] (1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1 5 10
P 0.8 0.2
Y2 2 8 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12．
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)＝[x2＋3(100－x)2]＝(4x2－600x＋3×1002)．
所以当x＝＝75时，f(x)取最小值3．
