2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【教材分析】
教材率先明确做匀速直线运动物体的位移对应v-t图像的面积，并提出做匀变速直线运动的物体，位移与时间有怎样的关系这一问题，引起学生思考。教材直接用类比的方法得出，匀变速直线运动的位移可以用其v-t图像的面积来表示，得到位移时间关系的表达式，紧接着通过例题从匀加速和匀减速的角度应用位移时间关系，强化学生对公式的理解。接下来教材又利用上节匀变速直线运动速度与时间的关系，消去式子中的时间t，得到速度-位移关系，虽然从数学运算上，仅是消去了时间t，但物理意义上，这个公式有自己全新的意义。、、、、，这五个物理量，只要知道了任意三个，就能求其他两个；教材又用例题，加深同学们对这个公式的理解。最后，教材又利用拓展学习板块，对匀变速直线运动位移公式进行了推导，顺利的提出了微元思想，本节需用2个课时。
【教学目标与核心素养】
[物理观念]清楚匀变速直线运动在v-t图像中的图像形式；
[科学思维]有匀变速直线运动v-t图像面积对应的位移，并进一步用微元思想证明v-t图像的面积和位移确实是对应关系；尝试用数学方法解决物理问题。
[科学态度与责任]用微元思想证明v-t的面积表示位移，培养学生认真严谨的科学分析问题的品质，培养学生建立事物是相互联系的唯物主义思想。
【教学重难点】
教学重点：用微元思想有v-t推导匀变速直线运动的位移公式。
教学难点：用微元思想有v-t推导匀变速直线运动的位移公式。
【课前准备】
多媒体课件。
【课时安排】
2课时
【教学过程】
第2课时
[新课导入]
同学们回忆一下小学时怎么求圆的面积？
可以将圆分成很多很多的小披萨饼（扇形），然后将这些小披萨饼近似看成三角形，求出这些三角形的面积，再累加求和就得到了圆的面积。这里用到了分割、累加的思想。
今天我们需要再次利用这些思想，并明确为微积分思想。
到底该怎么到底该怎么用呢？用在什么位置呢？让我们进入今天的学习。
[新课讲授]
一、推导匀变速直线运动位移的思想
教师活动：指导学生仔细阅读问题和匀变速直线运动的位移部分，同时提出问题：
1．我们能否运用类似“用平均速度来近似地代表瞬时速度”的思想方法，把匀变速直线运动粗略地当成匀速直线运动来处理？
2．由于时间间隔Δt取得比较大，所以误差较大。为了得到更精确的结果，该如何改进？
学生活动：分组讨论，派小组代表分享讨论结果。
1．可以把整个匀变速直线运动的运动过程分成几个比较小的时间段，把每一小段时间内的匀变速运动粗略地看成是匀速直线运动。
2．可以把时间间隔Δt取得很小。
（1）如果时间间隔Δt取得非常非常小，所有小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体发生的位移。（渗透“微分与积分”的思想）
（2）如果时间间隔Δt取得非常非常小，所有小矩形的面积之和刚好等于v-t图象下面的面积。
归纳总结：匀变速直线运动的v-t图象与时间轴所围的面积表示位移。
二、推导匀变速直线运动位移时间公式
教师活动：指导学生回忆梯形面积的求法，同时提出问题：
1．有几种方法，求匀变速直线运动位移的面积。
2．与之对应的几个表达式是什么？
3．是不是每个表达式都需要记忆？
学生活动：分组讨论计算，根据图像进行微小处理，派小组代表分享计算结果。
1．把“面积”看作梯形或割补后的矩形，都得到；
2．把“面积”看作小矩形加上三角形，得到：；
3．把“面积”看作大矩形减去三角形，得到：；
4．不需要，因为由，结合，即可推导出其他两个位移公式。只需记忆。
三、非匀变速直线运动图像面积
教师活动：上面这种分析问题的方法对于非匀变速直线运动成立吗？
学生活动：学生分组讨论，总结。
学生总结：v-t图像的面积都适用。
对于图2.3-5所示的运动物体的位移，可以采用微小处理。用其v-t图像着色部分图形的面积来表示。
教师活动：在处理较复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干个小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。
【例1】汽车由静止出发做匀加速直线运动，用时间通过一座长的大桥，过桥后汽车的速度是，试问：
（1）汽车刚行驶至桥头时的速度是多大？
（2）桥头与出发点间的距离是多少？
解：（1）由得
汽车是刚驶上桥头时初速度v0=12 m/s
（2）由可知，从汽车驶上桥头到汽车过桥的加速度为：
又汽车做初速度为0的匀加速运动，由可知：
【例2】汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为( )
A．vt/3 B．vt/2 C．2vt/3 D．vt/4
【解析】匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间初、末速度的平均值，由题意知，汽车在加速和减速两过程的平均速度均为v/2，故全程的位移x=vt/2，B项正确。
【答案】B
板书设计
推
导
结
果
累加求和，得出面积对应的位移。
取每一段t非常小，求出每一小段对应的位移
分割累加思想，即微积分
推导方法
匀变速直线运动位移与时间公式的推导2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
【教材分析】
教材率先明确做匀速直线运动物体的位移对应v-t图像的面积，并提出做匀变速直线运动的物体，位移与时间有怎样的关系这一问题，引起学生思考。教材直接用类比的方法得出，匀变速直线运动的位移可以用其v-t图像的面积来表示，得到位移时间关系的表达式，紧接着通过例题从匀加速和匀减速的角度应用位移时间关系，强化学生对公式的理解。接下来教材又利用上节匀变速直线运动速度与时间的关系，消去式子中的时间t，得到速度-位移关系，虽然从数学运算上，仅是消去了时间t，但物理意义上，这个公式有自己全新的意义。、、、、，这五个物理量，只要知道了任意三个，就能求其他两个；教材又用例题，加深同学们对这个公式的理解。最后，教材又利用拓展学习板块，对匀变速直线运动位移公式进行了推导，顺利的提出了微元思想，本节需用2个课时。
【教学目标与核心素养】
[物理观念]能建立起匀变速直线运动位移与时间是二次方关系这个概念，并清楚匀变速直线运动在v-t图像和x-t图像中的图像形式。
[科学思维]体会由匀速直线运动v-t图像面积对应位移，类比得到匀变速直线运动v-t图像面积也对应位移，并进一步用微元思想证明v-t图像的面积和位移确实是对应关系；尝试用数学方法解决物理问题。
[科学态度与责任]培养学生认真严谨的科学分析问题的品质，从知识是相互关联，相互补充的思想中，培养学生建立事物是相互联系的唯物主义思想。
【教学重难点】
教学重点：推导和运用匀变速直线运动的位移公式，；对匀变速直线运动位移公式的物理意义的理解。
教学难点：熟练运用匀变速直线运动的位移公式，；用微元法推导位移时间公式。
【课前准备】
多媒体课件。
【课时安排】
2课时
【教学过程】
第1课时
[新课导入]
上节课，同学们研究了速度与时间的关系，下面请大家拿出笔和纸画出匀速直线运动和初速度不为零的匀加速直线运动的v-t图象。
设问：能否用匀速直线运动的v-t图象求物体在时间t内的位移？
引导学生简要回答能求位移的依据。
回答：根据匀速直线运动的位移公式x＝vt中v和t与v-t图象中的纵、横坐标有对应关系，且图像与t轴围城的面积代表位移。
下面我们就用v-t图象来研究位移和时间的关系。
[新课讲授]
一、匀变速直线运动的位移
教师活动：指导学生仔细阅读问题和匀变速直线运动的位移部分，同时提出问题：
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移与它的v-t图象有什么关系？
2．对于匀变速直线运动，它的位移与它的v-t图象是不是也有类似的对应关系呢？
3．如何推导匀变速直线运动位移时间公式？
4．公式中各个量的物理含义是什么呢？使用公式时需要注意什么？
学生活动：学生就老师提出的问题去阅读教材，寻求答案，然后分小组交流讨论，得出求匀变速直线运动位移的方法，并会推导公式，讨论完后找小组展示答案。
归纳总结：
1．如何匀变速直线运动位移的方法？
匀变速直线运动v-t图像的面积对应位移。
2．如何推导匀变速直线运动位移时间公式？
由图可知：
梯形OABC的面积，S梯形=（OC+AB）×OA/2
代入各物理量得：
把上节所学公式代入上式，
有，这就是匀变速直线运动位移与时间的关系式。
如果初速度为0，这个公式可以简化为。
3．公式中位移，初速度，加速度均为矢量，在使用时公式时，务必规定正方向，以确定每个物理量的正负，再代入公式计算。
例题1：汽车以10 s的速度行驶，刹车加速度为5 m/s，求刹车后1 s、2 s、3 s的位移。
解答：已知：v=10 m/s，a=-5 m/s2。
由公式：
可解出：刹车后1 s：
刹车后2 s：
刹车后3 s：
由x3=-7.5 m，学生发现问题：汽车怎么往回走了？结合该问题教师讲解物理知识与实际问题要符合，实际汽车经2 s已经停止运动，不会往回运动，所以3 s的位移应为10 m。事实上汽车在大于2 s的任意时间内位移均为10 m。
具体计算时要考虑到实际情况。
二、速度与位移的关系
教师活动：指导学生仔细阅读“速度与位移的关系”部分，同时提出问题：
1．回想刚学过的速度与时间关系，位移与时间关系，如何找到速度和位移的关系呢？
2．速度与位移关系中各个量的物理含义是什么呢？在使用公式时需要注意什么呢？
学生活动：根据老师提出的问题去阅读教材，寻求答案；然后分小组交流讨论，选出代表发表见解。
归纳总结：1．如何得到速度位移关系？
方法一：，两式联立，利用数学换元法，把时间t消去，
方法二：利用，两式联立，快速得到
2．公式中位移，初速度，末速度，加速度均为矢量，在使用时公式时，务必规定正方向，以确定每个物理量的正负，再代入公式计算。
例题2：已知某物体（质点）做匀变速直线运动，加速度为，初速度为，末速度为。试证明：
（1）在一段时间内的平均速度等于该段时间中点时刻的瞬时速度。
（2）在一段位移内的中点位置处的瞬时速度等于该段位移的始、末速度平方之和的一半的算术平方根。
解答：（1）平均速度
时间中点时刻的瞬时速度，两者相等
（2）将运动从点处分为前半段和后半段，分别对前后两段用速度位移关系有
，
两式相减，得
板书设计
位移中点速度
位移公式：
平均速度
公式：
当v0=0时，公式为
当a=0时，公式为
匀变速直线运动
匀速直线运动的位移对应着v-t图象中的矩形面积
匀速直线运动
匀变速直线运动位移与时间关系
