24.1.4 圆周角 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
24.1.4 圆周角
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
情景导入
第二十四章 圆
课堂小结
情景导入
思考： 图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
C
A
E
D
B
知识回顾
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
B
A
o
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
B
A
o
C
获取新知
C
A
O
B
（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，测量它们的度数，你能发现什么？
︵
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
B
C
O
A
圆心在∠BAC的一边上
B
C
O
A
圆心在∠BAC的内部
B
C
O
A
圆心在∠BAC的外部.
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
O
A
C
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
结论1：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等；
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了--为什么？
相等的圆周角所对弧相等
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,②两个圆周角，
③两条弧, ④两条弦,
⑤两条弦心距
中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
注意：同弦所对的弧有优弧和劣弧，所对的角相等或互补
归纳：
思考1
如图，线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB（或半圆AB）所对的圆周角.
想想看，∠ACB会是怎么样的角？
如图，我们可以看到，OA＝OB＝OC，
所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，
因而∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.
又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ ＝90°.
结论2：
半圆(或直径)所对的圆周角等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即
90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
理由：
1.直径所对的半圆所对的圆心角是180°；
2.圆心角是180°所对应的弦是直径；
3.圆周角等于所对弧上的圆心角的一半
例题讲解
例1 如图，⊙O直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴AD=BD，
⌒
⌒
获取新知
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边
形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系呢？
探究：用量角器量一量∠D， ∠B的度数， ∠A，∠C的度数发现∠D+∠B= ， ∠A+∠C= ，由此发现圆内接四边形的对角______
证明猜想
圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补．
符号语言表达式：
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
例2 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴ x=22.5°.
∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
例题讲解
角度比值类型的题目适合运用方程思想来解决，高频题型！
随堂演练
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°，则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°
A
O
C
B
A
2. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是(　　)
A．75°　　　
B．60°　　　
C. 45°　　　
D．30°
D
3. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　)
A．20° B．40°
C．80° D．100°
C
4.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= ，理由
是 ;
(2)∠BDC= ，理由是 .
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
(3).如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
(4)如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F=_____.
40°
5.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
6.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．
证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°－∠B＝130°.
又∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°，
∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°，
∴AB是⊙O的直径．
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与
直径的关系
1.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
2..90°的圆周角所对的弦是直径；
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