浙江省宁波市镇海区龙赛中学2013届高三九月份月考数学卷（理）试题

龙赛中学2012年9月月考
高三数学（理）试题卷
（考试时间120分，总分150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合，（ ）
A． B． C． D．
2、下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 (　 )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
3、为了得到函数的图像，只需把函数的图像
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
4、若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 (　 )
A．(－2,2) B．[－2,2]
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
5、E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
6、设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是 (　　)
A. B. C. D.
7、若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)=
（A）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2
8、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
9、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 ( )
A、 B、
C、 D、
10、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)HYPERLINK "http:////" EMBED Equation.DSMT4
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11、在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．
12、已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是
方程的实数解的个数为
14、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为
15、已知，则的值等于 ．
16、已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________
17、若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于________时，Sn取得最大值．
三、解答题：本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、（本小题满分13分）
已知：A、B、C是 的内角， 分别是其对边长，
向量 且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 求b 的长.
19、（本小题满分14分）
设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
20、（本小题满分14分）
已知△ABC的面积为3，且满足0≤·≤6.设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2－cos2θ的最大值与最小值．
21、（本小题满分15分）
已知数列满足，且对任意都有
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设证明：是等差数列；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
22、(本小题满分16分) 设函数.
(1) 求函数的最小值；
(2) 设，讨论函数的单调性；
(3) 斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.
龙赛中学2012年9月月考
高三数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的
1-5 BCBAD 6-10 AAADD
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11、 12 、 或且
13 、 2 14、 15、2008
16、 （0, ] 17、 16
三、解答题：本大题共5小题．共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18、(13分)
已知：A、B、C是的内角， 分别是其对边长，向量， ， 且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若 求b 的长.
(Ⅰ) = ……1分
= ……2分
∵ ……4分
……6分
∵……7分
.
……8分
(Ⅱ)在中，， ，
……10分
由正弦定理知：……12分
……13分
19、（本小题满分14分）
设函数．
（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值．
解： 函数的定义域为，
，
（1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）当时，
所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此 ．
20、(14分) (1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵△ABC的面积为3，∴bcsinθ＝3，
又0≤·≤6，
∴0≤bccosθ≤6，
可得tanθ≥1，∴θ∈.
(2)f(θ)＝2sin2－cos2θ
＝1－cos－cos2θ
＝1＋sin2θ－cos2θ
＝1＋2sin.
∵θ∈，
∴2θ－∈，
∴当θ＝时，即2θ－＝时，f(θ)取到最大值3；
当θ＝时，即2θ－＝时，f(θ)取到最小值2.
21、（本小题满分15分）
已知数列满足，且对任意都有
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设证明：是等差数列；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
解：(1)由题意，令m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………3分
(2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w
即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………8分
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得
an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1
＝－2n＋1
＝2n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.
两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn
＝2·－2nqn
＝2·
所以Sn＝2·
综上所述，Sn＝…………………………15分
22．(本小题满分16分) 设函数.
(1) 求函数的最小值；
(2) 设，讨论函数的单调性；
(3) 斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.
22、 (1) 解：，令，得. …………2分
∵当时，；当时，
∴当时，. …………4分
(2) ，. …………5分
① 当时，恒有，在上是增函数；
② 当时，令，得，解得；
令，得，解得
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
…………9分
(3) 证：.
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由知，故等价于证 (*).
① 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即.
② 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即.
由①②知(*)成立，得证. …………16分
P
A
B
O