广东省普宁华侨中学2013届高三数学（文科）月考试题

普宁华侨中学2013届高三数学（文科）月考试题
2012年10月4日
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 集合，，则等于 （ ）
A、 B、 C、 D、
2．设复数满足，为虚数单位，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数
方差
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 （ ）
A．甲 B． 乙 C． 丙 D．丁
4．下列判断正确的是（ ）
A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
C. “”是“ ”的充分不必要条件
D. 命题“”的否定是“ ”
5．在中，分别为角所对边，若，则此三角形一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
6．已知函数则满足不等式的的取值范围为( )
A. B. (-3,0) C. [-3,0) D. (-3,1)
7．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
8．阅读右图1所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是（　　　）．
A． B．　 　C． 　D．
9.设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．对实数和，定义运算“”：。设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )．
A．　　B． C．　　D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）
11．若向量，，则等于_____________．
12．已知函数则= ．
13．设、满足条件，则的最小值是 .
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
．（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的参数方程为 (为参数)，圆 的参数方程为 (为参数),则圆心到直线的距离为 .
．（几何证明选讲选做题）如图3，在中，
//， //，若，
则的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知向量，，函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
17．（本小题满分12分）
某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级： 1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为，价格满意度为）.
人数 yx 价格满意度
1 2 3 4 5
服务满意度 1 1 1 2 2 0
2 2 1 3 4 1
3 3 7 8 8 4
4 1 4 6 4 1
5 0 1 2 3 1
（1）求高二年级共抽取学生人数；
（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；
（3）为提高食堂服务质量，现从且的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.
18．(本题满分14分)
如图：、是以为直径的圆上两点，，， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．
19.（本小题满分14分）
已知等差数列满足又数列中,且
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;
(3) 若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的右顶点为抛物线的焦点，上顶点为，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若线段的中点横坐标是，求直线的方程
21．（本题满分14分）
已知函数，其中为常数，且.
（1）当时，求在（）上的值域；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
2013届普宁市华侨中学高三月考
(文科)数学 答题卷
2012-10-4
题号 一 二 三 总分
16 17 18 19 20 21
得分
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）
11. 12. 13.
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
普宁华侨中学2013届高三数学（文科）月考试题
参考答案及评分标准 2012年10月4日
第Ⅰ卷选择题（满分50分）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D C B C B D B
1．【解析】由交集的定义选D
2．【解析】选D
4．【解析】A项中，因为真假，所以为假命题.故A项错误；B项中，“若，则”的否命题为“若，则”， 故B项错误；C项中，是的必要不充分条件，故C项错误；D选项正确.
6．【解析】当时，满足,无解；当时，满足，解得；当时，满足，解得.综上可知，的范围为.
7．【解析】因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为 故选
8．【解析】第一步：，第二步：，输出．故选B
9．【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。故选D
10．【解析】由题设
画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为， ，，． 从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11. ； 12. ； 13. 1； 14. .； 15. 4
11．【解析】．
12．【解析】因函数所有
13．【解析】由题意知当直线经过点时，取的最小值1
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1） ……2分
………4分
∴函数的最小周期 ………5分
（2）
是三角形内角，∴ 即： ………7分
∴ 即：． ………9分
将代入可得：，解之得：
∴, ………11分
,∴，． ………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为（人）…………2分
（2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为，……………3分
所以方差………………6分
（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为
“服务满意度为1”的3人记为. ……………………7分
在这7人中抽取2人有如下情况：
共21种情况. ……………………10分
其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………11分
所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为……………………12分
18．(本题满分14分)
解：（1）证明：依题意：
平面 ∴ --------------------2分
∴平面．--------------------5分
（2）证明：中，， ∴ --------------------6分
中，， ∴． --------------------7分
∴ ．--------------------8分
∴ 在平面外 ∴平面．--------------------10分
（3）解：由（2）知，，且
∴到的距离等于到的距离为1．--------------------11分
∴．--------------------12分
平面 ∴ ．-----------14分19. （本小题满分14分）
（本小题主要考查数列通项、错位求和与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）
解: ( 1)设等差数列的公差为,则由题设得:
即,解得 …………1分
…………2分
数列是以为首项,公比为的等比数列. …………3分
…………4分
(2)由(1)可得 …………5分
…………6分
…………7分
…………8分
得: …………9分
…………10分(3)
当时, 取最小值,, …………11分
即
当时，恒成立； …………12分
当时，由 ，得 ，
…………13分
实数的取值范围是. …………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）抛物线的焦点为，依题意可知 …………2分
因为离心率，所以 …………3分
故 …………5分
所以椭圆的方程为： …………6分
（2）设直线
由， 消去可得 ……8分
因为直线与椭圆相交于两点，所以
解得 …………9分
又 ……10分
设，中点
因为线段的中点横坐标是
所以 ……12分
解得或 ……13分
因为，所以
因此所求直线 …………14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）
解：（1）当时，
得 …………1分
令解得
所以函数上为增函数， …………2分
据此，函数上为增函数， …………3分
而 …………4分
所以函数上的值域为 …………5分
（2）由 …………6分
当函数上单调递减； …………7分
当函数上单调递增； …………8分
若即易得函数上为增函数，此时，
要使恒成立，只需即可，
所以有 …………9分
而
即所以此时无解 …………10分
若
易知函数上为减函数，在上为增函数，
要使恒成立，
只需 …………11分
由和
得 …………12分
若，易得函数上为减函数，
此时，恒成立，只需即可
所以有 …………13分
综合上述，实数的取值范围是 …………14分
开始
输出
结束
是
否
图1
3
2
3
正视图
侧视图
俯视图
图2
图3
16. (本小题满分12分)
17. (本小题满分12分)
18. (本小题满分14分)
19. (本小题满分14分)
20. (本小题满分14分)
21. (本小题满分14分)
P
Q
M
x
y