2021-2022学年上海市静安区市西初级中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
2．下列命题中错误的是（ ）
A．四条边都对应成比例的两个菱形一定相似
B．四条边都对应成比例的两个矩形一定相似
C．四条边都对应成比例的两个等腰梯形一定相似
D．三条边都对应成比例的两个三角形一定相似
3．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，已知P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm
A． B． C． D．
4．如果向量与单位向量的方向相反，且长度为3，那么用向量表示向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．EA：AC＝DA：AB B．DE：BC＝DA：AB
C．EA：EC＝DA：DB D．AC：EC＝AB：DB
6．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．已知，那么的值等于 ．
8．计算：＝ ．
9．如果两个相似三角形的周长比为1：3，那么它们的面积比为 ．
10．在平面直角坐标系中，O为原点，点P在第一象限内，PO＝5，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα＝，那么点P的坐标为 ．
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ ．
12．如图，已知零件的厚度均匀且外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）去测量零件的内孔直径AB，如果OC：AC＝1：3，测量得CD＝10mm，那么零件的厚度为 mm．
13．在△ABC中，AB＝8，AC＝5，点D为边AB的中点，点E在边AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝ ．
14．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD＝BC＝12，如果矩形PQMN内接于△ABC中，点P、N分别在边AB、AC上，点Q、M在BC上，那么矩形PQMN的周长为 ．
15．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角∠O为120°，点A、B、C都在格点上，那么tan∠ABC的值是 ．
16．在△ABC中，点G是重心，∠BGC＝90°，BC＝8，那么AG的长为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，如果EF＝AD，矩形的面积是S，那么图中阴影部分的面积可以用S表示为 ．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当直线A′E⊥AB时，A'B＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．计算：．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
21．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，AC＝3，点D、E分别在边AB、BC上，且AD：DB＝1：2，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设，，试用、的线性组合表示；
（3）求作在、方向上的分向量．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx+4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．
23．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，AC2＝AD AB，AG与CD相交于点F．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）如果，求证：CG2＝DF BG．
24．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30° ．
发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝ ．
（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．
25．已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）如图，当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值．1为:铖2比
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