2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）
A．1：200 B．1：2000 C．200：1 D．2000：1
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（ ）
A．a B．2a C．a D．a
3．已知△ABC与△A'B'C'相似，点A与A'，点B与B'对应，若，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A'D'的长为（ ）
A．10 B．20 C．80 D．
4．若＝2，向量和向量的方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（ ）
A．||＝2 B．||＝4 C．＝4 D．＝﹣
5．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
6．如果点D、E、F分别在，△ABC的边AB、BC、AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法不正确的是（ ）
A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：AB
B．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥AB
C．如果△EFC∽△BAC，那么EF∥AB
D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE
二、填空题（每题4分，共48分）
7．已知，那么的值为 ．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝ ．
9．计算：（）﹣4＝ ．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝ ．
11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于 ．
12．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC长为8厘米，若正方形DEFG的边长为5厘米，则△ABC的高AH为 厘米．
13．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝ 米．（结果保留根号）
14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，则△ACD与△ABC的周长比是 ．
15．如图，在 ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A，若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC面积为 ．
18．如图1，是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置，木条BC上的点P处安装一面平面镜（下称平面镜P），BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E，已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，则ED的长为 ，
如图2，将木条BC由图1的位置绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC'，点P的对应点为P'，BC'与MN的交点为D'，从A点发出的光束经平面镜P'反射后，在MN上的光点为E'，若DD'＝5，则EE'的长为 ．
三、解答题（第19-22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78分）
19．计算：．
20．如图，在△ABC中，D是AC上点，DE∥BC，交AB于点E，联结BD，∠ABD＝∠C，DE＝4，BC＝9．
（1）求：BD的长；
（2）若＝，＝，用、表示．
21．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．
22．我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'＝40cm，B为AD'中点，当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求：AB的长；
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB中点，联结CE、DE，AC与DE相交于点F，BE2＝EF ED．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）求证：AB2＝2CD BC．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．
（1）设BC与AO相交于点D，
①若BA＝BO，求证：CD＝CO；
②求：点A到直线l的距离；
（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，点E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转一定大小的角度，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠E4F＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②联结BD、EF，若，求：的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，联结AC、MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．（直接写出答案）8高:比例
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