[原创]2013年《随堂优化训练》数学24.1圆第2课时　弧、弦、圆心角和圆周角

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第 2 课时
弧、弦、圆心角和圆周角
1．圆心角的定义
圆心
(1)定义：我们把________在________的角叫做圆心角．
(2)特征：顶点在圆心．
相等
相等
相等
2．弧、弦、圆心角之间的相等关系
(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________，
所对的弦________．
相等
相等
相等
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆
心角________，所对的弦也________．
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
心角________，所对的弧也________．
顶点
3．圆周角的定义
顶点在________上，并且两边都______________的角叫做圆
周角．
圆周
和圆相交
4．圆周角定理及推论
定理：在同圆或等圆中，________________ 所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的______的一半．
推论 1：在同圆或等圆中，如果两个________相等，它们所
对的弧一定相等．
同弧或等弧
圆心角
圆周角
直角
推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是________，90°的圆周
角所对的弦是直径．
5．圆内接多边形
同一个圆
外接圆
互补
如果一个多边形的所有顶点都在________上，这个多边形叫
做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的________．
6．圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角________．
弧、弦、圆心角的关系
例 1：如图 24－1－15，已知⊙O 的弦 AB 与半径 OE，OF
分别交于点 C，D，且 AC＝BD.
求证：(1)OC＝OD；
图 24－1－15
思路点拨：作 OH⊥AB 交 AB 于点 H，构造垂径定理．
跟踪训练
1．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、
两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它
们所对应的其他量也相等．如图 24－1－16，AB，
CD 是⊙O 的两条弦．
图 24－1－16
∠COD
CD
∠COD
∠AOB
AB
CD
∠AOB
AB
2．游乐园的大观览车半径为 26 米，如图 24－1－17 所示，
已知观览车绕圆心 O 顺时针作匀速运动，旋转一周用 12 分钟．
小丽从观览车的最低处(底面 A 处)乘车，问经过 4 分钟后，
(1)试求小丽随观览车绕圆心 O 顺时针旋转的度数；
(2)此时，小丽距地面 CD 的高度是多少米？
图 24－1－17
(1)∵观览车绕圆心 O 顺时针作匀速运动，旋转一周用 12 分
钟，
∴经过 4 分钟后，旋转了
4
12
×360°＝120°.
(2)如图 D25，连接 OA，在⊙O 上取点 B，使∠AOB＝120°，
图 D25
分别过点 B，O 作 BF⊥CD 于点 F，作 OE⊥BF 于点 E.
∵OB＝26，
∴∠BOE＝120°－∠EOA＝30°，
∴BE＝13 米．
则 BF＝13＋26＝39(米)．
答：小丽距地面 CD 的高度是 39 米．
圆周角定理及推论的应用
例 2：如图 24－1－18，将三角板的直角顶点放在⊙O 的圆
心上，两条直角边分别交⊙O 于 A，B 两点，点 P 在优弧 AB 上，
且与点 A，B 不重合，连接 PA ，PB.则∠APB＝______.
图 24－1－18
思路点拨：本题考查了圆周角定理的运用．关键是确定同弧
所对的圆心角和圆周角，利用圆周角定理即可．
答案：45°
跟踪训练
3．如图 24－1－19 是中国共产主义青年团团旗上的图案，
点 A，B，C，D，E 五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
＝(
)
A
图 24－1－19
A．180°
B．150°
C．135°
D．120°
4．如图 24－1－20，已知 BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC
)
⊥BD 于点 E，若∠AOD＝60°，则∠DBC 的度数为(
图 24－1－20
A．30°
C．50°
B．40°
D．60°
A
圆内接四边形的性质
例 3：如图 24－1－21，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，
∠ BOD＝80°，求∠BAD 和∠BCD 的度数．
图 24－1－21
思路点拨：根据圆周角定理可求出∠BAD 的度数．再根据
圆内接四边形的对角互补可求出∠BCD 的度数．
自主解答：∵∠BOD＝80°，∴∠BAD＝40°.
又∵ABCD 是圆的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∴∠BCD＝140°.
跟踪训练
B
5．如图 24－1－22，四边形 ABCD 是圆内接四边形，点 E
)
是 BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是(
图 24－1－22
A．115°
C．100°
B．105°
D．95°
6．如图 24－1－23，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BCD
100°
＝130°，则∠BOD 的度数是__________．
图 24－1－23