2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数表达式同步训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数表达式同步训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 248.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 10:44:08 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数表达式》同步训练（附答案）
1．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（ ）
A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1
2．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝2+3
3．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
4．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+6x+1 B．y＝3x2+6x﹣1
C．y＝3x2﹣6x+1 D．y＝﹣3x2﹣6x+1
5．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣4x+3 C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为（ ）
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27
7．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x﹣5 B．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y＝﹣2x2﹣4x﹣5 D．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
8．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣6或7 C．3 D．3或﹣2
9．把二次函数y＝﹣2x2﹣8x+9利用配方法化为：y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ，其抛物线的顶点是： ．
10．把函数y＝﹣x2﹣4x﹣5配方得 ，它的开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，函数y有最 值为 ．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 ．
12．若二次函数y＝﹣ax2，当x＝2时，y＝；则当x＝﹣2时，y的值是 ．
13．若抛物线y＝ax2经过点A（，﹣9），则其表达式为 ．
14．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此二次函数的解析式为 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c中，2a﹣b＝0，且它的图象经过点（﹣3，25），求当x＝1时y＝ ．
16．请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
17．用配方法研究二次函数y＝3（2x+1）（2﹣x）的性质
函数 y＝3（2x+1）（2﹣x）
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y随x增大的变化情况
18．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
（1）y＝x2+2x﹣3（配方法）；
（2）y＝x2﹣x+3（公式法）．
19．已知抛物线y＝3x2+3x．
（1）通过配方，将抛物线的表达式写成y＝a（x+h）2+k的形式（要求写出配方过程）；
（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
20．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x＝2，求其解析式．
21．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
22．如图所示的是一个二次函数的图象，试求其解析式．
23．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．
24．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
25．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，AB在轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）抛物线y＝ax2+bx+c经过B、C、D三点，求它的解析式；
（3）过点D作DF∥AB交BC于E，若EF＝，判断点F是否在（2）中的抛物线上，说明理由．
26．直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标．
28．如图，抛物线经过点A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，3），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过C点作x轴的平行线交抛物线于点D，请直接写出D的坐标；
（3）在该抛物线是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，抛物线y＝x2+2x﹣c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA＝OC，它的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ＝PO，求点P的坐标．
参考答案
1．解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故选：D．
2．解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4
故选：C．
3．解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．
故选：D．
4．解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入解析式得10＝4a﹣2，
解得a＝3，
则抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2﹣2＝3x2+6x+1．
故选：A．
5．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
把（3，0）代入得a×（3﹣2）2+1＝0，
解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
故选：D．
6．解：由表可知，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴当x＝1和x＝﹣7的函数值相等，
∵当x＝﹣7时，y＝﹣27，
∴x＝1时，y＝﹣27．
故选：D．
7．解：抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．
故选：D．
8．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选：D．
9．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+9＝﹣2（x2+4x+4）+8+9＝﹣2（x+2）2+17，
∴顶点坐标为（﹣2，17）．
故答案为y＝﹣2（x+2）2+17，（﹣2，17）．
10．解：y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x2+4x+5）＝﹣（x+2）2﹣1．
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，顶点坐标（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2．
当x＝﹣2时，函数y有最大值为﹣1，
故答案为：y＝﹣（x+2）2﹣1，下，（﹣2，﹣1），直线x＝﹣2，﹣2，大，﹣1．
11．解：由题意可得：顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，
它的函数表达式是：y＝±（x﹣4）2﹣2．
故答案为：y＝±（x﹣4）2﹣2．
12．解：∵当x＝2时，y＝，
∴﹣4a＝，
解得，a＝﹣．
∴y＝x2
∴当x＝﹣2时，y＝．
13．解：把点A（，﹣9）代入解析式，得：3a＝﹣9，
∵解得a＝﹣3，
∴函数解析式是y＝﹣3x2．
14．解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（﹣7，0）、（1，0）．
故设该抛物线解析式为y＝a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4＝a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a＝﹣．
则该二次函数解析式为：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．
15．解：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣，
∵2a﹣b＝0，b＝2a，
∴对称轴x＝﹣1，
点（﹣3，25）关于x＝﹣1的对称点为（1，25）．
故当x＝1时y＝25．
故答案为：25．
16．解：因为开口向上，所以a＞0
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2
∵y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
答案不唯一，如y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1．
17．解：y＝3（2x+1）（2﹣x）＝3（﹣2x2+3x+2）＝﹣6（x2﹣x）+6＝﹣6（x﹣）2+．是二次函数解析式，图象是抛物线，则该函数的对称轴是直线x＝，顶点坐标为（，）；
因为﹣6＜0，
所以该抛物线开口方向向下，所以最大值为：，当x＜时，y随x增大而增大．
故答案是：抛物线；向下；x＝；（，）；最大值为：；当x≤时，y随x增大而增大．
18．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）﹣＝﹣＝1，＝＝，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，）．
19．解：（1）y＝3x2+2x＝3（x2+x+）﹣3×＝3（x+）2﹣；
（2）对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标（﹣，﹣）．
20．解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A（1，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x﹣3）
把B（0，3）代入得：3＝3a
∴a＝1
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
21．解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a＝﹣，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1．
22．解：∵二次函数图象与x轴交于点（﹣1，0）、（3，0），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）．
又∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∴﹣1＝（1+1）×（1﹣3）a，
∴a＝，
∴二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣．
23．解：
（1）把（0，1），B（2，﹣1）两点代入y＝x2+bx+c，
得
解得b＝﹣3，c＝1；
（2）由（1）知二次函数为y＝x2﹣3x+1 ①
把x＝﹣1代入①，得y＝1+3+1≠2；
∴点P在（﹣1，2）不在此函数图象上．
24．解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
25．解：（1）∵∠A＝60°，OA＝1，OD＝OA＝，所以有D（0，）；
由△ABC是边长为4的等边三角形，所以C（1，2），B（3，0）．
所以B（3，0），C（1，2），D（0，）；
（2）设y＝ax2+bx+c，
把B（3，0），C（1，2），D（0，）分别代入解析式得，
9a+3b+c＝0①，
a+b+c＝2②，
c＝③，
解由①②③组成的方程组得，a＝﹣，b＝，c＝，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+．
（3）点F在（2）中的抛物线上．理由如下：
∵DF∥AB，而D点为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝2，则DF＝，
∴F（，）．
令x＝，则y＝﹣x2+x+＝．
所以点F在（2）中的抛物线上．
26．解：（1）把A（4，0）代入y＝﹣x+c得﹣2+c＝0，解得c＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B（0，2），
把A（4，0）代入y＝﹣+bx+2得﹣8+4b+2＝0，解得b＝，
∴抛物线解析式为y＝﹣+x+2；
（2）设P（x，﹣+x+2），则N（x，﹣x+2），M（x，0），
当x＞4时，MN＝MP，则﹣（﹣x+2）＝﹣x+2﹣（﹣+x+2），
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝4（舍去），
当0＜x＜4时，PN＝MN，则﹣+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x+2，
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4（舍去），此时P（1，3）；
当﹣1＜x＜0时，NP＝PM，﹣x+2﹣（﹣+x+2）＝﹣+x+2
整理得2x2﹣7x﹣4＝0，解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），此时P（﹣，）；
当x＜﹣1时，NM＝PM，﹣x+2＝﹣（﹣+x+2），
整理得x2﹣2x﹣8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4（舍去），此时P（﹣2，﹣3）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．
27．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
∵S△ACB＝AB OC＝×3×2＝3，
∴S△PCB＝S△ACB＝4，
∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2+m+2），
∴直线PC为y＝（﹣m+1）x+2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2，
∴S△PCB＝BM [2﹣（﹣m2+m+2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4，
解得：m＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）．
28．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x+2），
把C（0，3）代入得a×6×2＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+6）（x+2），
即y＝x2+2x+3；
（2）∵CD∥x轴，
∴C点和D点的纵坐标都为3，
当y＝3时，x2+2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣8，
∴D点坐标为（﹣8，3）；
故答案为（﹣8，3）；
（3）存在．
设P（x，x2+2x+3）
∵，
∴×8×|x2+2x+3﹣3|＝××4×3，
整理得|x2+2x|＝4，
解方程x2+2x＝4得 x1＝﹣4﹣4，x2＝﹣4+4，此时P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）；
解方程x2+2x＝﹣4得 x1＝x2＝﹣4，此时P点坐标为（﹣4，﹣1）．
综上所述，P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）或（﹣4，﹣1）．
29．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣c与y轴交于点C，
∴C（0，﹣c），
∵OA＝OC，且A点在x轴负半轴上，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0），代入y＝x2+2x﹣c得，c2﹣3c＝0，
解得c1＝3，c2＝0（舍去），
∴抛物线为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点为（﹣1，﹣4）；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴设点P（﹣1，t），如图，
则OP＝，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入上式得，
，
解得，
∴直线AC得解析式为y＝﹣x﹣3，
取直线AC与对称轴直线x＝1的交点为D，
则D（﹣1，﹣2），
∵P点在直线AC的上方，
∴t＞﹣2，
∴PD＝t+2，
又∵AO＝CO＝3，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
又∵PQ⊥AC，
∴∠QDP＝∠PQD＝45°，
∴PQ＝DQ，
∴，
即t+2＝，
解得t1＝2．t2＝2﹣＞﹣2，
∴点P的坐标为P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．
1．若二次函数y＝x2+bx+5配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（ ）
A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1
2．把二次函数y＝﹣x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝﹣（x+2）2+4 D．y＝2+3
3．与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
4．已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（ ）
A．y＝3x2+6x+1 B．y＝3x2+6x﹣1
C．y＝3x2﹣6x+1 D．y＝﹣3x2﹣6x+1
5．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3 B．y＝﹣x2﹣4x+3 C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x﹣3
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x＝1时，y的值为（ ）
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27
7．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x﹣5 B．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＞0）
C．y＝﹣2x2﹣4x﹣5 D．y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）
8．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣6或7 C．3 D．3或﹣2
9．把二次函数y＝﹣2x2﹣8x+9利用配方法化为：y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ，其抛物线的顶点是： ．
10．把函数y＝﹣x2﹣4x﹣5配方得 ，它的开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，函数y有最 值为 ．
11．一条抛物线，顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，则它的函数表达式是 ．
12．若二次函数y＝﹣ax2，当x＝2时，y＝；则当x＝﹣2时，y的值是 ．
13．若抛物线y＝ax2经过点A（，﹣9），则其表达式为 ．
14．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，此二次函数的解析式为 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c中，2a﹣b＝0，且它的图象经过点（﹣3，25），求当x＝1时y＝ ．
16．请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
17．用配方法研究二次函数y＝3（2x+1）（2﹣x）的性质
函数 y＝3（2x+1）（2﹣x）
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y随x增大的变化情况
18．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
（1）y＝x2+2x﹣3（配方法）；
（2）y＝x2﹣x+3（公式法）．
19．已知抛物线y＝3x2+3x．
（1）通过配方，将抛物线的表达式写成y＝a（x+h）2+k的形式（要求写出配方过程）；
（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
20．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x＝2，求其解析式．
21．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴．
22．如图所示的是一个二次函数的图象，试求其解析式．
23．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b和c的值；
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上．
24．如图，抛物线W：y＝x2+bx+c经过点（﹣3，0）和点（1，8）．
（1）求此抛物线W的表达式；
（2）若过点A（0，﹣6）的直线l与抛物线W有且只有一个交点P，求点P的坐标．
25．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，AB在轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）抛物线y＝ax2+bx+c经过B、C、D三点，求它的解析式；
（3）过点D作DF∥AB交BC于E，若EF＝，判断点F是否在（2）中的抛物线上，说明理由．
26．直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线表达式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（2）连接CA，CB，若点P是x轴下方抛物线上的一点，连接PC，PB，当S△PCB＝S△ACB时，求点P的坐标．
28．如图，抛物线经过点A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，3），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过C点作x轴的平行线交抛物线于点D，请直接写出D的坐标；
（3）在该抛物线是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，抛物线y＝x2+2x﹣c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA＝OC，它的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ＝PO，求点P的坐标．
参考答案
1．解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），
又∵y＝x2+bx+5，
∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+5，
∴b＝﹣4，k＝1．
故选：D．
2．解：y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x2+4x+4）+1+3＝﹣（x+2）2+4
故选：C．
3．解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．
故选：D．
4．解：设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入解析式得10＝4a﹣2，
解得a＝3，
则抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2﹣2＝3x2+6x+1．
故选：A．
5．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
把（3，0）代入得a×（3﹣2）2+1＝0，
解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
故选：D．
6．解：由表可知，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴当x＝1和x＝﹣7的函数值相等，
∵当x＝﹣7时，y＝﹣27，
∴x＝1时，y＝﹣27．
故选：D．
7．解：抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，﹣3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，﹣3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（﹣1，﹣3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，﹣3），故选项正确．
故选：D．
8．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选：D．
9．解：∵y＝﹣2x2﹣8x+9＝﹣2（x2+4x+4）+8+9＝﹣2（x+2）2+17，
∴顶点坐标为（﹣2，17）．
故答案为y＝﹣2（x+2）2+17，（﹣2，17）．
10．解：y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x2+4x+5）＝﹣（x+2）2﹣1．
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，顶点坐标（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2．
当x＝﹣2时，函数y有最大值为﹣1，
故答案为：y＝﹣（x+2）2﹣1，下，（﹣2，﹣1），直线x＝﹣2，﹣2，大，﹣1．
11．解：由题意可得：顶点坐标为（4，﹣2），且形状与抛物线y＝x2+2相同，
它的函数表达式是：y＝±（x﹣4）2﹣2．
故答案为：y＝±（x﹣4）2﹣2．
12．解：∵当x＝2时，y＝，
∴﹣4a＝，
解得，a＝﹣．
∴y＝x2
∴当x＝﹣2时，y＝．
13．解：把点A（，﹣9）代入解析式，得：3a＝﹣9，
∵解得a＝﹣3，
∴函数解析式是y＝﹣3x2．
14．解：∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x＝﹣3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是（﹣7，0）、（1，0）．
故设该抛物线解析式为y＝a（x+7）（x﹣1）（a≠0）．
把顶点（﹣3，4）代入得到：4＝a（﹣3+7）（﹣3﹣1），
解得a＝﹣．
则该二次函数解析式为：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．
故答案是：y＝﹣（x+7）（x﹣1）．
15．解：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣，
∵2a﹣b＝0，b＝2a，
∴对称轴x＝﹣1，
点（﹣3，25）关于x＝﹣1的对称点为（1，25）．
故当x＝1时y＝25．
故答案为：25．
16．解：因为开口向上，所以a＞0
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2
∵y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
答案不唯一，如y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1．
17．解：y＝3（2x+1）（2﹣x）＝3（﹣2x2+3x+2）＝﹣6（x2﹣x）+6＝﹣6（x﹣）2+．是二次函数解析式，图象是抛物线，则该函数的对称轴是直线x＝，顶点坐标为（，）；
因为﹣6＜0，
所以该抛物线开口方向向下，所以最大值为：，当x＜时，y随x增大而增大．
故答案是：抛物线；向下；x＝；（，）；最大值为：；当x≤时，y随x增大而增大．
18．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）﹣＝﹣＝1，＝＝，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，）．
19．解：（1）y＝3x2+2x＝3（x2+x+）﹣3×＝3（x+）2﹣；
（2）对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标（﹣，﹣）．
20．解：∵抛物线对称轴是直线x＝2且经过点A（1，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（3，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x﹣3）
把B（0，3）代入得：3＝3a
∴a＝1
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
21．解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把顶点和点（1，﹣3）代入解析式，得：
a＝﹣，所以抛物线的解析式为：；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x＝﹣1．
22．解：∵二次函数图象与x轴交于点（﹣1，0）、（3，0），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）．
又∵二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∴﹣1＝（1+1）×（1﹣3）a，
∴a＝，
∴二次函数解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣．
23．解：
（1）把（0，1），B（2，﹣1）两点代入y＝x2+bx+c，
得
解得b＝﹣3，c＝1；
（2）由（1）知二次函数为y＝x2﹣3x+1 ①
把x＝﹣1代入①，得y＝1+3+1≠2；
∴点P在（﹣1，2）不在此函数图象上．
24．解：（1）将点（﹣3，0），（1，8）代入抛物线表达式，
得，
解得，
∴抛物线W的表达式为y＝x2+4x+3；
（2）∵直线l与抛物线W有且只有一个交点P，
∴Ⅰ、当l是y轴时，即x＝0时，y＝3，
∴P1（0，3）；
Ⅱ、当l不是y轴时，设l：y＝kx﹣6（k≠0），
联立，
∴kx﹣6＝x2+4x+3，
即x2+（4﹣k）x+9＝0，
∵直线l与抛物线有且只有一个交点，
∴b2﹣4ac＝（4﹣k）2﹣36＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝10，
①当k1＝﹣2时，x2+6x+9＝（x+3）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣3，
当x＝﹣3时，y＝0，
∴P2（﹣3，0）；
②当k2＝10时，x2﹣6x+9＝（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
当x＝3时，y＝24，
∴P3（3，24），
综上所述，点P的坐标为（0，3），（﹣3，0），（3，24）．
25．解：（1）∵∠A＝60°，OA＝1，OD＝OA＝，所以有D（0，）；
由△ABC是边长为4的等边三角形，所以C（1，2），B（3，0）．
所以B（3，0），C（1，2），D（0，）；
（2）设y＝ax2+bx+c，
把B（3，0），C（1，2），D（0，）分别代入解析式得，
9a+3b+c＝0①，
a+b+c＝2②，
c＝③，
解由①②③组成的方程组得，a＝﹣，b＝，c＝，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+．
（3）点F在（2）中的抛物线上．理由如下：
∵DF∥AB，而D点为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝2，则DF＝，
∴F（，）．
令x＝，则y＝﹣x2+x+＝．
所以点F在（2）中的抛物线上．
26．解：（1）把A（4，0）代入y＝﹣x+c得﹣2+c＝0，解得c＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B（0，2），
把A（4，0）代入y＝﹣+bx+2得﹣8+4b+2＝0，解得b＝，
∴抛物线解析式为y＝﹣+x+2；
（2）设P（x，﹣+x+2），则N（x，﹣x+2），M（x，0），
当x＞4时，MN＝MP，则﹣（﹣x+2）＝﹣x+2﹣（﹣+x+2），
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝4（舍去），
当0＜x＜4时，PN＝MN，则﹣+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x+2，
整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4（舍去），此时P（1，3）；
当﹣1＜x＜0时，NP＝PM，﹣x+2﹣（﹣+x+2）＝﹣+x+2
整理得2x2﹣7x﹣4＝0，解得x1＝﹣，x2＝4（舍去），此时P（﹣，）；
当x＜﹣1时，NM＝PM，﹣x+2＝﹣（﹣+x+2），
整理得x2﹣2x﹣8＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4（舍去），此时P（﹣2，﹣3）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣，）或（﹣2，﹣3）或（1，3）．
27．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），OC＝OB＝2OA．
∴B（2，0），C（0，2），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
把点C（0，2）代入，解得：a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x+1）＝﹣x2+x+2；
（2）如图，
∵S△ACB＝AB OC＝×3×2＝3，
∴S△PCB＝S△ACB＝4，
∵点P是x轴下方抛物线上的一点，设P（m，﹣m2+m+2），
∴直线PC为y＝（﹣m+1）x+2，y＝0时，x＝，m＜﹣1或m＞2，
∴S△PCB＝BM [2﹣（﹣m2+m+2）]＝×（2﹣）×（m2﹣m）＝4，
解得：m＝1﹣，
∴点P的坐标为（1+，﹣3﹣）或（1﹣，﹣3）．
28．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x+2），
把C（0，3）代入得a×6×2＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+6）（x+2），
即y＝x2+2x+3；
（2）∵CD∥x轴，
∴C点和D点的纵坐标都为3，
当y＝3时，x2+2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣8，
∴D点坐标为（﹣8，3）；
故答案为（﹣8，3）；
（3）存在．
设P（x，x2+2x+3）
∵，
∴×8×|x2+2x+3﹣3|＝××4×3，
整理得|x2+2x|＝4，
解方程x2+2x＝4得 x1＝﹣4﹣4，x2＝﹣4+4，此时P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）；
解方程x2+2x＝﹣4得 x1＝x2＝﹣4，此时P点坐标为（﹣4，﹣1）．
综上所述，P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）或（﹣4，﹣1）．
29．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x﹣c与y轴交于点C，
∴C（0，﹣c），
∵OA＝OC，且A点在x轴负半轴上，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0），代入y＝x2+2x﹣c得，c2﹣3c＝0，
解得c1＝3，c2＝0（舍去），
∴抛物线为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点为（﹣1，﹣4）；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴设点P（﹣1，t），如图，
则OP＝，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入上式得，
，
解得，
∴直线AC得解析式为y＝﹣x﹣3，
取直线AC与对称轴直线x＝1的交点为D，
则D（﹣1，﹣2），
∵P点在直线AC的上方，
∴t＞﹣2，
∴PD＝t+2，
又∵AO＝CO＝3，∠AOC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
又∵PQ⊥AC，
∴∠QDP＝∠PQD＝45°，
∴PQ＝DQ，
∴，
即t+2＝，
解得t1＝2．t2＝2﹣＞﹣2，
∴点P的坐标为P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．