[原创]2013年《随堂优化训练》数学22．2　降次——解一元二次方程　第3课时一元二次方程的根与系数的关系

(共12张PPT)
第3课时
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一元二次方程的根与系数的关系
1．一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：若 ax2＋bx＋c
＝ 0(a≠0) 的 两 根 分 别 是 x1 ， x2 ， 则 __________________ ，
__________________.
注意：一元二次方程的根与系数的关系的前提是方程是
______________，即二次项系数_______，且_________________．
一元二次方程
a≠0
Δ＝b2－4ac≥0
2．一元二次方程的根与系数的关系的应用
一元二次方程的根与系数的关系在解方程中的应用非常广
泛，这一类问题可归结为四种类型：
(1)不解方程检验方程的解；
(2)已知方程的解构建方程；
(3)求关于方程两根的代数式的值；
(4)已知关于方程两根的代数式的值，求方程中字母的系数．
一元二次方程的根与系数的关系(重点)
例 1：已知方程 x2－4x＋m＝0 的一个根为－2，求方程的另
一根及 m 的值．
思路点拨：根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的
积，将已知的根代入即可求出另一根及 m 的值．
自主解答：设原方程的两根为 x1，x2，
则：x1＋x2＝4，x1x2＝m；
∵x1＝－2，
∴x2＝4－x1＝6，m＝x1x2＝－12.
即方程的另一根是 6，m 的值为－12.
跟踪训练
1．(2011 年江西南昌)已知 x＝1 是方程 x2＋bx－2＝0 的一个
根，则方程的另一个根是(
)
C
A．1
C．－2
B．2
D．－1
2．方程 6x2 －3x＋2＝0 的两根之和是__________，两根之
积是__________．
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例 2：已知方程 x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系
数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的
各根的 2 倍．
思路点拨：如果原方程的两个根为 x1，x2，则新方程的两个
根为 2x1,2x2.则所求方程为 y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0，只要求
出 x1＋x2，x1x2 便可解出．
自主解答：设原方程的两根为 x1，x2，
则新方程的两个根为 2x1,2x2.
又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2，
∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.
∴可设所求作的方程为
y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.
即 y2＋6y－8＝0.
跟踪训练
3 ．请写出一个两实数根符号相反的一元二次方程
_________________________．
x2－x－6＝0(答案不唯一)
4．任写一个一根为－1，另一根大于 0 小于 1 的一元二次方
程_________________________．
跟踪训练
D
A．8
B．7
C．6
D．5
6．已知方程 x2＋3x＋m＝0 的两根为 x1，x2，当 m 为何值时，
3x1－x2＝4.