2021-2022学年人教版九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用题型分类训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用题型分类训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 12:33:38 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》
题型分类训练（附答案）
一．解直角三角形
1．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于 ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
8．已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝，则∠BAC＝ ．
9．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为 ．
10．△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝4，则BC＝ ．
11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
14．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是 ．
二．解直角三角形的应用
16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
17．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
18．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
20．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（ ）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）
A．15m B．30m C．35m D．40m
21．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L cosα，阻力臂L2＝l cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
22．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
23．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
24．智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
25．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
26．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
27．如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）
（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
28．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800m，求直线l上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
29．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．
（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
30．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52.5°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）
A．7.6米 B．27.5米 C．30.5米 D．58.5米
31．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
32．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度＝1：，AB＝6m，则BC的长是（ ）
A．m B．3m C．m D．6m
33．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
34．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
35．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
36．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 m．
37．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
38．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
39．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
40．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
41．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m
42．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ高度为（ ）m．
A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8
43．如图是自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD＝ m．（结果保留根号）
44．如图航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物高度BC约为 米．
45．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m（结果保留根号）；
46．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）
47．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度BC＝1.6米，则此建筑物的高度DE约为（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（ ）
A．23.0米 B．23.6米 C．26.7米 D．28.9米
五．解直角三角形的应用-方向角问题
48．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向的A处，已知PA＝6海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是（ ）
A．6海里 B．6cos55°海里
C．6sin55°海里 D．6tan55°海里
49．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
50．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是 海里（结果保留根号）．
51．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
52．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求B到C的距离；
（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（≈1.732）．
53．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
54．如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．≈1.414，≈1.732）．
55．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
56．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
参考答案
一．解直角三角形
1．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴cos∠ACB＝＝，
故选：C．
2．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
3．解：连接AD，如图，
∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，
∴sin∠DMN＝，
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
故选：D．
5．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
6．解：作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵，
∴，
解得AE＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故答案为：．
7．解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
8．解：如图所示：
①tan∠BAD＝＝1，∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°；
②tan∠BAD＝＝1，∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°．
故∠BAC＝75°或15°．
9．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．
在Rt△ABH中，tanB＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，
∴k＝2，
∴AH＝6，BH＝8，
∵BC＝12，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，
∵CD＝5，
∴DE＝3，CE＝4，
∴AE＝＝＝6，
∴AD＝AE+DE＝9．
故答案为：9．
10．解：①当∠ACB为锐角时，如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，
在Rt△ADC中，DC＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝6+2＝8；
②当∠ACB为钝角时，如图2，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，
在Rt△ADC中，DC＝＝2，
∴BC＝BD﹣DC＝6﹣2＝4；
因此BC的长为8或4，
故答案为：8或4．
11．解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
12．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
解法二：过点D作DG平行AC，构造三角形BDG相似于三角形BCG，同理AEF相似于AGD，再由题目条件，可得cos角ACB的值，遇到分点问题想平行，构造A或8字型相似．
故选：D．
13．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
14．解：（1）如图，
由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝3，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，
BC2＝（）2＝26，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
tan∠ACB＝＝＝；
（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，
∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，
∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴CD＝．
15．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，故答案为．
二．解直角三角形的应用
16．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝20米，
∴BC＝BD sin60°＝10（米），故选：C．
17．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°，
故选：A．
18．解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．故选：C．
19．解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
20．解：设AB＝xm，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，
∴AB＝BD＝xm，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，
∴BC＝＝≈x，
由BC+CD＝BD得x+10＝x，
解得x＝30，
∴AB的长约为30m，
故选：B．
21．解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，而β的度数越来越大，cosβ的值越来越小，
∴阻力臂越来越小，而阻力不变，
∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
22．解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A＝，
∴＝＝AB，
∴S△ABC＝×AB×CD＝，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．
23．解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
24．解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
25．解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝64°，AC＝5m，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，
∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
26．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1.3×＝1.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝（米），
∴EM＝EG+GM＝+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
27．解：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，
在Rt△PCE中，tan32.3°＝，
∴PE＝x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，
∴PF＝x tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝35，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°＝35，
解得：x＝42．
∴楼间距AB的长度约为42m．
28．解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠D＝45°，
∴CB＝CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，
2CD2＝8002，
CD＝400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
29．解：（1）当∠ANB＝45°时，
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝45°，
∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．
在Rt△NMB中，sin∠B＝，
∴BN＝＝＝12cm．
∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．
（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝30°
在Rt△BEM中，cos∠B＝，
∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM） cos∠B＝6cm．
∵MB＝MN，ME⊥CB，
∴BN＝2BE＝12cm．
∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，
∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．
随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，
∴倾斜角不可以小于30°．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
30．解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF＝BC＝5（米），
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35（米），
∴k＝7（米），
∴DF＝21米，BG＝CF＝28米，
∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45（米），
∵∠AED＝52°，
∴AG＝EG tan52.5°≈45×1.30＝58.5（米），
∴AB＝30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
31．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
32．解：Rt△ABC中，tan∠BAC＝斜坡AB的坡度＝1：＝，
∴∠BAC＝30°，
∵BC⊥AC，
∴BC＝AB＝3m，
故选：B．
33．解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵sinα＝＝，
∴BC＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
34．解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
35．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4×＝4，
∵坡度i＝1：，
∴，
则DC＝4，
故AC＝＝8（m）．
故选：A．
36．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
37．解：（1）如图，
在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4（米）．
即新传送带AC的长度约为4米；
（2）结论：货物DEFG不用挪走．
解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，CM＝AM＝2（米）．
∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2.08（米）．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92（米）＞2（米），
∴货物DEFG不应挪走．
38．解：（1）由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．
∴CD＝CH＝12.2（cm）．
（2）如图2中，过点E作EK⊥PC于K．
在Rt△ECK中，EK＝EC sin53°≈4（cm），CK＝EC cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.2﹣3﹣4.48﹣2＝2.72＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
39．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC tanα＝2tanα，
故选：B．
40．解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：
则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，
∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，
∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x（m），
由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，
∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，
∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），
∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），
解得：x＝，
∴DF＝BG＝3x＝（m），
EF＝0.40（40+4x）＝（m），
∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；
故选：B．
41．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE＝9m，AB＝1.5m，
∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝9m，
∴CD＝AD tan30°＝9×＝3，
∴CE＝CD+DE＝3+1.5
故选：C．
42．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2（米）．
故选：A．
43．解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝6m，
在Rt△BDC中，
∵BD＝BC sin∠BCD＝6×＝3（m），
故答案为：3．
44．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝20（米），
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝60（米），
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝80（米）
故答案为80．
45．解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，CD＝45m．
tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，
解得：AD＝45（m），
∴AB＝45m．
故答案为：45．
46．解：如图，过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK＝CH，CK＝DH，
在直角三角形AHD中，＝，AD＝2米，
∴DH＝2米，AH＝4米，
∴CK＝DH＝2米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝x米，
∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，
在直角三角形BDK中，∵BK＝DK tan30°，
∴x﹣2＝（4+x）×，
解得：x＝5+3，
∴BC＝（5+3 ）米．
答：大树的高度为（3+5）米．
故答案是：2；（3+5）．
47．解：如图所示：过点B作BN⊥AE，CM⊥DE垂足分别为：N，M，
∵i＝1：2.4，AB＝26m，
∴设BN＝x，则AN＝2.4x，
∴AB＝2.6x，
则2.6x＝26，
解得：x＝10，
故BN＝10，
∴CN＝ME＝11.6，
则tan30°＝＝＝，
解得：CM＝11.6，
则tan37°＝＝＝0.75，
解得：DM≈15.1（m），
故DE＝DM+EM＝15.1+11.6＝26.7（m）．
故选：C．
五．解直角三角形的应用-方向角问题
48．解：如图所示：
由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cos∠A＝6cos55°海里．
故选：B．
49．解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：B．
50．解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，
∴CD＝BC sin45°＝18×＝9（海里），
则在Rt△ACD中，
AC＝＝9×2＝18（海里）．
故我渔政船航行了18海里．
故答案为：18．
51．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．
52．解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝60°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝60°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD．
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝6．
∴CD＝6．
∵6＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
53．解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD＝PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
54．解：过P作PC⊥AB于点C，
∴∠ACP＝90°．
由题意可知，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°．
∴∠BPC＝45°．
∴BC＝PC．
在Rt△ACP中，．
∵AB＝20，
∴．
∴≈27.3．
答：河流宽度约为27.3米．
55．解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
56．解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°＝0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈59，
∵59＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
题型分类训练（附答案）
一．解直角三角形
1．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于 ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
8．已知AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝，则∠BAC＝ ．
9．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为 ．
10．△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，AC＝4，则BC＝ ．
11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，延长边BA至点D，使AD＝AC，联结CD．
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求的值．
14．如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的格点上，使∠CBD＝45°，连接CD，直接写出线段CD的长．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是 ．
二．解直角三角形的应用
16．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（ ）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
17．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
18．小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮筐底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为∠α，已知tanα＝，则点D到地面的距离CD是（ ）
A．2.7米 B．3.0米 C．3.2米 D．3.4米
19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（ ）
A． B． C． D．
20．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（ ）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）
A．15m B．30m C．35m D．40m
21．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L cosα，阻力臂L2＝l cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
22．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB＝45°，则折叠后重叠部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
23．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
24．智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等，如图，打开软件后将手机摄像头对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．测量者AB用其数学原理如图②所示，测量一棵大树CD，手机显示AC＝20m，AD＝25m，∠CAD＝53°，求此时CD的高．（结果保留根号）（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
25．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
26．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝米，HF＝米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）
27．如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）
（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
28．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过点C作直线AB的垂线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与l相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800m，求直线l上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）
29．图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上．不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②．其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN＝CB＝20cm，AM＝8cm，MB＝MN．我们把∠ANB叫做倾斜角．
（1）当倾斜角为45°时，求CN的长；
（2）按设计要求，倾斜角能小于30°吗？请说明理由．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
30．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52.5°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30）（ ）
A．7.6米 B．27.5米 C．30.5米 D．58.5米
31．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
32．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度＝1：，AB＝6m，则BC的长是（ ）
A．m B．3m C．m D．6m
33．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．7米
34．如图是拦水坝的横断面，堤高BC为6米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．24米
35．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
36．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 m．
37．如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为4米．
（1）求新传送带AC的长度；（结果保留根号）
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物DEFG是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0.1米数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
38．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．
（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
39．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
40．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
A．18.3米 B．19.3米 C．20米 D．21.2米
41．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m
42．如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ高度为（ ）m．
A．6+2 B．6 C．10﹣ D．8
43．如图是自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD＝ m．（结果保留根号）
44．如图航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米，那么该建筑物高度BC约为 米．
45．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是 m（结果保留根号）；
46．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为 米；大树BC的高度为 米（结果保留根号）
47．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度BC＝1.6米，则此建筑物的高度DE约为（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（ ）
A．23.0米 B．23.6米 C．26.7米 D．28.9米
五．解直角三角形的应用-方向角问题
48．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向的A处，已知PA＝6海里，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是（ ）
A．6海里 B．6cos55°海里
C．6sin55°海里 D．6tan55°海里
49．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
50．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是 海里（结果保留根号）．
51．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
52．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求B到C的距离；
（2）如果在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由（≈1.732）．
53．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
54．如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．≈1.414，≈1.732）．
55．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
56．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
参考答案
一．解直角三角形
1．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴cos∠ACB＝＝，
故选：C．
2．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
3．解：连接AD，如图，
∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，
∴sin∠DMN＝，
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
故选：D．
5．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
6．解：作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵，
∴，
解得AE＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故答案为：．
7．解：连接EB，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵＝＝，
设EC＝3k，则AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，
在Rt△BCE中，BC＝＝4k，
在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，
故答案为：．
8．解：如图所示：
①tan∠BAD＝＝1，∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°；
②tan∠BAD＝＝1，∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°．
故∠BAC＝75°或15°．
9．解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．
在Rt△ABH中，tanB＝＝，
∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，
∴k＝2，
∴AH＝6，BH＝8，
∵BC＝12，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，
∵CD＝5，
∴DE＝3，CE＝4，
∴AE＝＝＝6，
∴AD＝AE+DE＝9．
故答案为：9．
10．解：①当∠ACB为锐角时，如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，
在Rt△ADC中，DC＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝6+2＝8；
②当∠ACB为钝角时，如图2，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ABD中，∵∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，BD＝cos30°×AB＝6，
在Rt△ADC中，DC＝＝2，
∴BC＝BD﹣DC＝6﹣2＝4；
因此BC的长为8或4，
故答案为：8或4．
11．解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
12．解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴AC＝＝＝15，
∴cos∠ACB＝＝＝，
解法二：过点D作DG平行AC，构造三角形BDG相似于三角形BCG，同理AEF相似于AGD，再由题目条件，可得cos角ACB的值，遇到分点问题想平行，构造A或8字型相似．
故选：D．
13．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sinB＝，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin∠ACG＝＝＝sinB，
∴AG＝x，CG＝x，
∴DG＝DA+AG＝3x+x＝x，
在Rt△DCG中，tan∠D＝＝；
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，
∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得：＝＝＝．
14．解：（1）如图，
由勾股定理得：AB＝＝2，
AC＝＝3，BC＝＝，
∴AB2+AC2＝（2）2+（3）2＝26，
BC2＝（）2＝26，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
tan∠ACB＝＝＝；
（2）如图，∵S△DEF＝×2×3＝3，
∵BC＝，CD＝＝，BD＝＝，
∴BC2+CD2＝52，BD2＝52，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴CD＝．
15．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，故答案为．
二．解直角三角形的应用
16．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝20米，
∴BC＝BD sin60°＝10（米），故选：C．
17．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5 sin29°，
故选：A．
18．解：在直角△ADE中，∠DAE＝α，AE＝5米，tan，
∴tanα＝＝＝，
∴DE＝1.5米．
又CE＝AB＝1.7米，
∴CD＝CE+DE＝3.2米．故选：C．
19．解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：B．
20．解：设AB＝xm，
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，
∴AB＝BD＝xm，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB＝，
∴BC＝＝≈x，
由BC+CD＝BD得x+10＝x，
解得x＝30，
∴AB的长约为30m，
故选：B．
21．解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，而β的度数越来越大，cosβ的值越来越小，
∴阻力臂越来越小，而阻力不变，
∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
22．解：如图，∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∵∠ECB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD＝1．
∵sin∠A＝，
∴＝＝AB，
∴S△ABC＝×AB×CD＝，
∴折叠后重叠部分的面积为cm2．
故选：D．
23．解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
24．解：如图②中，过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，
∴AH＝AD cos53°≈25×＝15（m），DH＝AD sin53°≈25×＝20（m），
∵AC＝20m，
∴CH＝AC﹣AH＝5（m），
∴CD＝＝＝5（m）．
25．解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝64°，AC＝5m，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，
∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
26．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝＝，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1.3×＝1.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝（米），
∴EM＝EG+GM＝+1.3≈2.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
27．解：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，
在Rt△PCE中，tan32.3°＝，
∴PE＝x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，
∴PF＝x tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝35，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°＝35，
解得：x＝42．
∴楼间距AB的长度约为42m．
28．解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠D＝45°，
∴CB＝CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，
2CD2＝8002，
CD＝400≈566（米），
答：直线L上距离D点566米的C处开挖．
29．解：（1）当∠ANB＝45°时，
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝45°，
∴∠NMB＝180°﹣∠ANB﹣∠B＝90°．
在Rt△NMB中，sin∠B＝，
∴BN＝＝＝12cm．
∴CN＝CB﹣BN＝AN﹣BN＝（20﹣12）cm．
（2）当∠ANB＝30°时，作ME⊥CB，垂足为E．
∵MB＝MN，
∴∠B＝∠ANB＝30°
在Rt△BEM中，cos∠B＝，
∴BE＝MB cos∠B＝（AN﹣AM） cos∠B＝6cm．
∵MB＝MN，ME⊥CB，
∴BN＝2BE＝12cm．
∵CB＝AN＝20cm，且12＞20，
∴此时N不在CB边上，与题目条件不符．
随着∠ANB度数的减小，BN长度在增加，
∴倾斜角不可以小于30°．
三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
30．解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF＝BC＝5（米），
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35（米），
∴k＝7（米），
∴DF＝21米，BG＝CF＝28米，
∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45（米），
∵∠AED＝52°，
∴AG＝EG tan52.5°≈45×1.30＝58.5（米），
∴AB＝30.5米，
答：铁塔AB的高度约为30.5米．
故选：C．
31．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
32．解：Rt△ABC中，tan∠BAC＝斜坡AB的坡度＝1：＝，
∴∠BAC＝30°，
∵BC⊥AC，
∴BC＝AB＝3m，
故选：B．
33．解：如图AC＝13，作CB⊥AB，
∵sinα＝＝，
∴BC＝5，
∴小车上升的高度是5m．
故选：A．
34．解：∵斜面坡度为1：2，BC＝6m，
∴AC＝12m，
则AB＝（m）．
故选：B．
35．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝ABsin45°＝4×＝4，
∵坡度i＝1：，
∴，
则DC＝4，
故AC＝＝8（m）．
故选：A．
36．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
37．解：（1）如图，
在Rt△ABM中，AM＝ABsin45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝30°，
∴AC＝2AM＝4（米）．
即新传送带AC的长度约为4米；
（2）结论：货物DEFG不用挪走．
解：在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2（米）．
在Rt△ACM中，CM＝AM＝2（米）．
∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2.08（米）．
∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92（米）＞2（米），
∴货物DEFG不应挪走．
38．解：（1）由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．
∴CD＝CH＝12.2（cm）．
（2）如图2中，过点E作EK⊥PC于K．
在Rt△ECK中，EK＝EC sin53°≈4（cm），CK＝EC cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.2﹣3﹣4.48﹣2＝2.72＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．
四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
39．解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC tanα＝2tanα，
故选：B．
40．解：连接DE，作BF⊥DE于F，BG⊥DA于G，如图：
则DF＝BG，BF＝DG＝AD+AG，
∵AB＝斜坡AB的坡度i＝0.75＝，
∴设BG＝3xm，则AG＝4xm，BF＝DG＝20+4x（m），CF＝BF+BC＝20+4x+20＝40+4x（m），
由题意得：∠EBF＝37°，∠ECF＝22°，
∵tan∠BEF＝＝，tan∠ECF＝＝，
∴EF＝tan37°（20+4x），EF＝tan22°（40+4x），
∴0.75（20+4x）＝0.40（40+4x），
解得：x＝，
∴DF＝BG＝3x＝（m），
EF＝0.40（40+4x）＝（m），
∴DE＝DF+EF＝+≈19.3（m）；
故选：B．
41．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE＝9m，AB＝1.5m，
∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝9m，
∴CD＝AD tan30°＝9×＝3，
∴CE＝CD+DE＝3+1.5
故选：C．
42．解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2（米）．
故选：A．
43．解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴BC＝AC＝6m，
在Rt△BDC中，
∵BD＝BC sin∠BCD＝6×＝3（m），
故答案为：3．
44．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝20（米），
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝60（米），
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝80（米）
故答案为80．
45．解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，CD＝45m．
tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，
解得：AD＝45（m），
∴AB＝45m．
故答案为：45．
46．解：如图，过点D作DK⊥BC于K，DH⊥CE于H，
则四边形DHCK为矩形．
故DK＝CH，CK＝DH，
在直角三角形AHD中，＝，AD＝2米，
∴DH＝2米，AH＝4米，
∴CK＝DH＝2米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝x米，
∴DK＝（4+x）米，BK＝（x﹣2）米，
在直角三角形BDK中，∵BK＝DK tan30°，
∴x﹣2＝（4+x）×，
解得：x＝5+3，
∴BC＝（5+3 ）米．
答：大树的高度为（3+5）米．
故答案是：2；（3+5）．
47．解：如图所示：过点B作BN⊥AE，CM⊥DE垂足分别为：N，M，
∵i＝1：2.4，AB＝26m，
∴设BN＝x，则AN＝2.4x，
∴AB＝2.6x，
则2.6x＝26，
解得：x＝10，
故BN＝10，
∴CN＝ME＝11.6，
则tan30°＝＝＝，
解得：CM＝11.6，
则tan37°＝＝＝0.75，
解得：DM≈15.1（m），
故DE＝DM+EM＝15.1+11.6＝26.7（m）．
故选：C．
五．解直角三角形的应用-方向角问题
48．解：如图所示：
由题意可知∠NPA＝55°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，PA＝6海里，
∴AB＝AP cos∠A＝6cos55°海里．
故选：B．
49．解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：B．
50．解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，
在Rt△BCD中，
∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，
∴CD＝BC sin45°＝18×＝9（海里），
则在Rt△ACD中，
AC＝＝9×2＝18（海里）．
故我渔政船航行了18海里．
故答案为：18．
51．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cos∠ACD＝＝cos30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．
52．解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12（海里）；
（2）该货船无触礁危险，理由如下：
过点C作CD⊥AD于点D，如图所示：
∵∠EAC＝60°，∠FBC＝30°，
∴∠CAB＝30°，∠CBD＝60°．
∴在Rt△CBD中，CD＝BD．
在Rt△CAD中，AD＝CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD，
∴BD＝6．
∴CD＝6．
∵6＞9，
∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
53．解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC＝30°，
∴∠PAB＝15°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴PB＝AB＝20×2＝40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD＝PB＝20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
54．解：过P作PC⊥AB于点C，
∴∠ACP＝90°．
由题意可知，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°．
∴∠BPC＝45°．
∴BC＝PC．
在Rt△ACP中，．
∵AB＝20，
∴．
∴≈27.3．
答：河流宽度约为27.3米．
55．解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．
56．解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°＝0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈59，
∵59＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．