(共21张PPT)
2.3.1确定二次函数的表达式
北师大版 九年级下册
复习旧知
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
新知讲解
如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），
因此设它的关系式为 y=a
又∵图象过点（10，0）
∴
解得a=
∴图象的表达式为
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴或小组交流。
确定二次函数的关系式y=ax +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式.
典例精析
∴
例1、已知二次函数y＝ax2＋c 的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
解得
关于y轴对称
练一练
已知二次函数y=ax2+4x+c，当x=-2时，函数值是-1；当x=1时，函数值是5. 求此二次函数的表达式.
解：根据题意得4a-8+c=-1，a+4+c=5.解得a=2，c=-1.
所以此二次函数的表达式为y＝2x2+4x-1.
想一想
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为 ,
∵经过点(2,5)和(-2,13),
∴
解得：a = 2,b = -2.
∴这个二次函数关系式为.
典例精析
例2.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
二次函数的图象经过点（4，-3），且当x=3时，有最大值-1，求该二次函数的表达式.
解：设二次函数的表达式为y＝a（x-3）2-1.
把点（4，-3）代入，得-3＝a（4-3）2-1.
解得a＝-2.
所以二次函数的表达式为y＝-2（x-3）2-1.
想一想
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式.
2. 用一般式y=ax +bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
课堂练习
1. 若抛物线y=x2-8x+m的顶点在x轴上，则m=（ ）
A. -16 B. 16 C. -4 D. 8
2. 形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A. y=x2+4x+3
B. y=-x2-4x+3
C. y=-x2+4x+3
D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
B
D
课堂练习
3. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
课堂练习
5. 抛物线的顶点为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求该抛物线的函数表达式.
解：设抛物线的表达式为y＝a（x-1）2-4.
将（0，-3）代入y＝a（x-1）2-4，
得-3＝a（0-1）2-4.
解得a＝1.
所以抛物线的表达式为y＝（x-1）2-4＝x2-2x-3.
课堂练习
6. 若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（-3，0），求二次函数的表达式.
解：因为抛物线的对称轴为直线x＝＝-2，
所以抛物线的顶点坐标为（-2，4）.
设抛物线表达式为y＝a（x+2）2+4.
把（-3，0）代入，得a·（-3+2）2+4＝0.
解得a＝-4.
所以抛物线表达式为y＝-4（x+2）2+4.
课堂练习
7. 如图，已知二次函数y=的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
A
B
C
x
y
O
解:∵该图象经过点（2,0）和(0,－6)，
{
-2+2b+c=0
c=-6
{
b=4
c=-6
∴二次函数的表达式为：
课堂练习
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积．
A
B
C
x
y
O
解:∵二次函数对称轴为
∴c点坐标为（4,0）
作业布置
1.课本习题2.6第1、2题
2.一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
课堂小结
②已知顶点坐标或对称轴或最值
已知条件
所选方法
用顶点法：y=a(x-h)2+k
待定系数法
求二次函数解析式
①已知两点坐标
根据情况设函数解析式
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2.3.1确定二次函数解析式教学设计
课题 2.3.1确定二次函数解析式 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1. 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式. 2.经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.
重点 根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
难点 根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式..
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 回顾旧知，回答。 温故知新，通过回顾知识，得出用待定系数法确定二次函数。
讲授新课 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？ 分析：要求y与x之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可． 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？ 确定二次函数的关系式y=ax +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式y=a(x-h)2+k可以确定二次函数的关系式. 例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 想一想： 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 例2.选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式. 总结：顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 想一想 在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。 2. 用一般式y=ax +bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 学生思考，分析确定二次函数的表达式需要的条件。 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法。 同学们讨论、交流，尝试归纳求二次函数的方法。 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 教师要关注学生是否积极参与，激发学生学习的兴趣。 教师要关注学生是否积极参与， 是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决问题的意识。 通过本环节的设计，培养学生开动脑筋, 敢于说出自己的见解和猜想，团结合作、讨论交流、形成共识、领悟开窍、再加上教师的及时鼓励，激励信心，从而使学生学习兴趣更浓。
课堂练习 1. 若抛物线y=x2-8x+m的顶点在x轴上，则m=（ ） A. -16 B. 16 C. -4 D. 8 2. 形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2 ，且过点（0，3）的抛物线是（ ） A. y=x2+4x+3 B. y=-x2-4x+3 C. y=-x2+4x+3 D. y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 3. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 . 5.抛物线的顶点为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求该抛物线的函数表达式. 若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象 过点（-3，0），求二次函数的表达式. 7. 如图，已知二次函数y=的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识。 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺。
板书 §2.5.1确定二次函数解析式例1、例2、 学 生 活 动 区
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