3.3 垂径定理 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 09:56:23 | ||
图片预览
文档简介
(共21张PPT)
§3.3 垂径定理
北师版九年级下册 圆
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.
2.运用探索、推理，充分了解圆中的垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.并着重培养学生的数学语言表达能力.
温故知新
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的
●O
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,
它有无数条对称轴.
圆的相关概念
新知讲解
大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
经过圆心的弦叫做直径.
直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧.
注意：
如图：优弧ADB 记作
一、劣弧、优弧
D
二、弦、直径
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
新知讲解
垂径定理
③AM=BM,
小明发现图中有:
①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理 由：
●O
A
B
C
D
└
M
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
AC= BC
⌒
⌒
AD= BD
垂径定理三种语言
新知讲解
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
小贴士
（不是直径）
并且平分弦所对的弧
平分
的直径
垂直于弦，
逆定理：
逆定理再思考
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC= BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
D
河南中考弱化了关于“垂径定理”及相关推论的学习和考察！所以这项内容，老师们酌情使用.
参考
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
河南中考弱化了关于“垂径定理”及相关推论的学习和考察！所以这项内容，老师们酌情使用.
如图3-13，—条公路的转弯处是—段圆弧（即图中的弧CD）.点O是弧CD所
在圆的圆心，其中CD=600m;E为弧CD上点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.
求这段弯路的半径.
解：如图，连接OC.
设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m. 因为OE⊥CD.
根据勾股定理，得OC =CF2十OF2，即R =3002＋（R-90） ，解得R=545. 所以这段弯路的半径为545 m.
典例精讲
【规律方法】 运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
归纳小结
口诀“连半径，做垂直”
1、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问经几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”依题意，CD长为( )
A．22.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
D
跟踪练习
口诀“连半径，做垂直”
2、如图,已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm.则点O到AB的距离是 ，及 ∠OAB的余弦值= .
C
24cm
口诀“连半径，做垂直”
跟踪练习
1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，
CM = 4，求AB.
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
根据勾股定理，得：AO2=OM2+AM2
∴ AB=2AM=2×8=16.
课堂练习
2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.
你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
课堂练习
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．(2020·甘孜州)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H.若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
B
3
课堂练习
5．如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为 m.
C
0.8
课堂练习
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在AB的延长线上，AB＝2BC，连接OA，OC，若∠OAC＝45°，则tanC的值为( )
A． 1 B. C. D．2
B
D
课堂练习
8.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
D
课堂练习
1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.
3、通过对“垂径定理”及9条逆定理的探究，发展学生的思维和表达能力
2.垂径定理及推论、圆的对称性.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
§3.3 垂径定理
北师版九年级下册 圆
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.
2.运用探索、推理，充分了解圆中的垂径定理及其逆定理.
3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.并着重培养学生的数学语言表达能力.
温故知新
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的
●O
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,
它有无数条对称轴.
圆的相关概念
新知讲解
大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
经过圆心的弦叫做直径.
直径是弦，但弦不一定是直径；
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧.
注意：
如图：优弧ADB 记作
一、劣弧、优弧
D
二、弦、直径
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
新知讲解
垂径定理
③AM=BM,
小明发现图中有:
①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理 由：
●O
A
B
C
D
└
M
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
AC= BC
⌒
⌒
AD= BD
垂径定理三种语言
新知讲解
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
小贴士
（不是直径）
并且平分弦所对的弧
平分
的直径
垂直于弦，
逆定理：
逆定理再思考
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC= BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
D
河南中考弱化了关于“垂径定理”及相关推论的学习和考察！所以这项内容，老师们酌情使用.
参考
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤
③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
河南中考弱化了关于“垂径定理”及相关推论的学习和考察！所以这项内容，老师们酌情使用.
如图3-13，—条公路的转弯处是—段圆弧（即图中的弧CD）.点O是弧CD所
在圆的圆心，其中CD=600m;E为弧CD上点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.
求这段弯路的半径.
解：如图，连接OC.
设弯路的半径为Rm，则OF=（R-90）m. 因为OE⊥CD.
根据勾股定理，得OC =CF2十OF2，即R =3002＋（R-90） ，解得R=545. 所以这段弯路的半径为545 m.
典例精讲
【规律方法】 运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
归纳小结
口诀“连半径，做垂直”
1、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问经几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”依题意，CD长为( )
A．22.5寸 B．13寸
C．25寸 D．26寸
D
跟踪练习
口诀“连半径，做垂直”
2、如图,已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm.则点O到AB的距离是 ，及 ∠OAB的余弦值= .
C
24cm
口诀“连半径，做垂直”
跟踪练习
1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，
CM = 4，求AB.
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
∵ CD = 20，
∴ AO = CO = 10.
∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6.
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
根据勾股定理，得：AO2=OM2+AM2
∴ AB=2AM=2×8=16.
课堂练习
2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.
你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
课堂练习
G
└
解:作OG⊥AB，
∵AG=BG,CG=DG，
∴AC=BD.
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是AB上一个动点，则OP的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．(2020·甘孜州)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H.若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
B
3
课堂练习
5．如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为 m.
C
0.8
课堂练习
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在AB的延长线上，AB＝2BC，连接OA，OC，若∠OAC＝45°，则tanC的值为( )
A． 1 B. C. D．2
B
D
课堂练习
8.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
图(1) 图(2)
D
课堂练习
1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.
3、通过对“垂径定理”及9条逆定理的探究，发展学生的思维和表达能力
2.垂径定理及推论、圆的对称性.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.