5.2 任意角与三角函数的定义同步学案（解析版）

25 任意角与三角函数的定义
例题1．（2021春 中原区校级期中）给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①是第三象限角，①不正确，
②是第三象限角，②正确，
③是第四象限角，③正确，
④是第一象限角．正确，
故选：．
例题2．如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么与之间的关系是　　
A． B．
C．， D．，
【解答】解：
，整数
故选：．
例题3．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的正半轴，终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合．
【解答】解：图①中终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为：，；
图②中终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为：；
图③中终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为：，．
例题4．已知点在第一象限，则在，内的取值范围是　　
A．，， B．，
C．， D．
【解答】解：点在第一象限，
，且，
，，
由，得，，
由，得或，
在，内的取值范围是，．
故选：．
例题5．（2021 罗湖区期末）如图，一个质点在半径为1的圆上以点为起始点，沿逆时针方向旋转，每转一圈，由该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：一个质点在半径为1的圆上以点为起始点，沿逆时针方向旋转，每转一圈，
而点在角的终边上，，．
由该质点到轴的距离关于时间的函数解析式．
例题6．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【详解】（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；（2）扇形周长，
，．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
例题7．（1）时间经过（时，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次，你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针会重合次，建立关于的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．
【解答】解：（1）经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度；
（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：
；
，；
最后一次相遇经过了；
此时，即时针和分针相遇22次；
重合24次的说法不正确
练习
1．给出下列四个结论：
①﹣15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④﹣350°角是第一象限角．
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵﹣15°终边位于第四象限，∴﹣15°为第四象限角，故选项①正确；
∵185°终边位于第三象限，∴185°为第三象限角，故选项②正确；
∵475°＝360°+115°，终边位于第二象限，∴475°为第二象限角，故选项③正确；
∵﹣350°＝﹣360°+10°，终边位于第一象限，∴﹣350°为第一象限角，故选项④正确．
故选：D．
2．（2021 柯城区校级一模）本场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于时针是顺时针转动，形成的角是负角，
又由于时针转动1小时，转动的弧度数为，因此时针转过2小时所形成的弧度数为，
故选：．
3．（2021 山东模拟）已知为第二象限角，则所在的象限是　　
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
【解答】解：是第二象限角，
，，
则，，
令，
有，；在一象限；
，，
有，；在三象限；
4．若角与角的终边关于轴对称，则必有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：角与角的终边关于轴对称，
，，
即，，故选：．
5．（2021 西湖区校级模拟）下列终边相同的角是　　
A．与， B．与，
C．与， D．与，
【解答】解：与都表示奇数，
与，表示终边相同的角．
故选：．
6．（2021 浦东新区校级期末）设是第三象限的角，且，，则是　　
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解答】解：由，得出是第三或第四象限或终边在负半轴上的角，
由，得出是第一或第四象限或在正半轴上的角，
综上，是第四象限角．
故选：．
7．（2012 阳谷县校级模拟）若是第二象限角，那么和都不是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：是第二象限角
，
，，
是第一，三象限角，是第四象限角，
故选：．
8．（2021春 运城期末）点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，
所以，，所以．
故选：．
9．（2021春 衡阳校级期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则　　
A．8 B． C． D．
【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，，，
，，
故选：．
10．（2021春 大同期末）若且，则角是　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：
和异号
在第三象限或第二象限
，
和异号
在第三象限或第四象限
综上在第三象限
故选：．
11．（2021春 德州期末）已知角的终边经过点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：角的终边经过点，
，，，
．
故选：．
12．（2021春 丽水期末）已知角的终边经过点，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为角的终边经过点，所以
因为，所以：；
所以．（正值舍）
故；
故选：．
13．（2021 衢州期末）2021年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：内接正边形的边长为，故其周长为，
外切正边形的边长为，故其周长为，
两个周长的算术平均数为，
故．
故选：．
14．（2021 西湖区校级模拟）弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形所在圆的半径为　　，此扇形的面积为　　．
【解答】解：设圆的半径为，扇形面积为，
由弧长，扇形的圆心角为，得，则；
．
故答案为：12；．
15．（2021 柯城区校级一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是　　，弧田的面积是　　．
【解答】解：如图，弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，
，可得，，
，
弧田的面积．
故答案为：，．
16．（2011 顺庆区校级模拟）已知点在第三象限，则角的终边在第 　象限．
【解答】解：因为点在第三象限，所以，，，则角的终边在第二象限，
故答案为：二．
17．已知，，则、、大小关系为　 　．
【解答】解：由于，，
则，，，
在，递减，则，
在，递增，则，
则有．
18．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．
【解答】解：图1所表示的角的集合：，．
图2终边落在阴影部分的角的集合．，或．
19．如图所示，分别写出适合下列条件的角组成的集合：
（1）终边落在射线上；（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
【解答】解：（1）终边落在射线上的角组成的集合为，．
（2）因为终边落在射线上的角组成的集合为，，
终边落在射线的反向延长线上的角组成的集合为，，
所以终边落在直线上的角组成的集合为
，，
，，
，．
（3）因为终边落在直线上的角组成的集合为，，
所以终边落在阴影区域内（含边界）的角组成的集合为，．
20．已知扇形的圆心角是，半径为．
（1）若，，求扇形的弧长．
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【解答】解：（1）若，，求扇形的弧长；
（2）由题意得，
则，
根据二次函数的性质可知，当时，扇形面积取得最大值25，
又，．