浦城县2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
参考答案
一、单选题(每小题5分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A C C A B
二、多选题(每小题5分，共20分)
题号 9 10 11 12
答案 BCD AD CD ACD
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．1或 14．3 ， 15．, 16．
四、解答题(共70分)
17.（本题10分）
（1）由已知可得kBC=1/2，故由点斜式可得BC：
∴直线BC方程为：x-2y=0, （+2分）————————2分
由BC中点,故由两点式可得AM：即4(y-5)= -9(x+1)
∴直线AM方程为：9x+4y-11=0,（+3分）————————5分
由kBC=1/2，可得kAH= -2，故由点斜式可得AH：y-5= -2(x+1)
∴直线AH：2x+y-3=0,（+3分）————————8分
联立直线AH与BC方程，
解得：H（，） （+2分）————————10分
18．(本题12分)
（1）因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为y-2= (x-0)，即（+3分）——3分
又因为圆心在直线上，
解得，圆心，（+2分）——5分
故圆的方程为. 或标准形式(x-2)2+y2=16（+1分）——6分
（2）因为直线被圆截得弦长最小时CP⊥ （+3分）——9分
由过点，的斜率为，=-1
所以直线的方程为，故直线的方程为.（+3分）——12分
19. (本题12分)
（1）证明：连接，相交于，
因为矩形，
所以是的中点，
又因为为中点，
所以，且，
又因为，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
故，
又因为平面，平面，
因此平面；----4分
另证：（以坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，）
则平面ADEF的一个向量为，而B（1，1，0），F（1,0,1）,C(0,2,0)
故FC中点
（2）因为矩形平面，且矩形平面，又，
所以平面，又因为，所以两两垂直，
故以坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
所以,—————8分
设平面的法向量为，且，
因此，则，取，则，—————8分
而平面ABC的法向量是为
——————10分
（3）由故D到平面BCF的距离———12分
20．(本题12分)
（1）由题意到点的距离等于点到直线的距离，
所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，
抛物线方程即点轨迹方程是．（+4分）——4分
（2）因为直线过的外心，所以，的斜率存在，（+2分）—6分
设方程为，代入抛物线方程得，或，
所以，，即，同理得，（+2分）——8分
直线方程为，整理得，（+2分）——10分
时，，所以直线过定点．（+2分）——12分
21．(本题12分)
（1）因为在中，，分别为，的中点，所以，.
所以，又为的中点，所以.
因为平面平面，且平面，所以平面，
所以.-------------4分
（2）取的中点，连接，所以.
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为.
则 即
令，则，，所以.
设直线和平面所成的角为，
则.
故所求角的正弦值为.----------------8分
（3）线段上存在点适合题意.
设，其中.
设，则有，
所以，，，从而，
所以，又，
所以
令，
整理得.解得.
所以线段上存在点适合题意，且.----------12分
22．(本题12分)
（1）设椭圆的方程为，
依题意可得，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，即，
椭圆方程为；--------4分
（2）设点，2)，直线的斜率为，
则直线的方程为，联立方程组，
整理，得，
解得或.所以.
同理可得，.所以------------------------8分
（3）由（2）
因为所以即
因为点在双曲线上，则
所以
因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以
因为，
所以.
由（2）知，，即.
设，则则.
设，当且仅当，即时取等号，
且函数在上单调递增，在(2，3]上单调递减.
因为，f(2)=1,
所以
所以的取值范围为------------------12分
高二数学期中考试题 第1页（共5页）浦城县2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
考试范围：选择性必修一；考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．给出下列命题
① 空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量；
③ 若满足，且同向，则； ④ 零向量的方向是任意的；
⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
3．已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线、的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．、相交不垂直 D．不能确定
5．过，两点的直线的一个方向向量为 则（ ）
A． B． C． D．1
6. 若直线l的方程为x-ysinθ+2=0,则直线l的倾角α的范围是（ ）
A. [0，π] B. [，] C. [，] D. [，）∪（，）
已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
且，则实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每小题5分，共20分)
9．已知圆心为的圆与点，则（ ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
10．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
11. 过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A. b
C. 离心率 D. b>a
12．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
第II卷（非选择题）
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．，若直线，则m的值为_____________。
14．已知圆C的方程为，点E的坐标为，则_____________；
直线：，则C到直线l的距离为_____________．
15．抛物线C：y2=4，直线绕P(-2，1)旋转，若直线与抛物线C有两个交点. 则直线的斜率k的取值范围是_________________
已知点P在抛物线上，直线PA，PB与圆相切于点
A，B，且PA⊥PB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是___________．
四、解答题(共70分)
17．（本题10分）已知ΔABC的顶点坐标为A（-1，5），B（-2，-1），C（4，2）.
（1）点M是BC边的中点，求直线BC及直线AM的方程；
（2）直线AH垂直BC边于点H，求直线AH的方程及H点坐标。
18．（本题12分）已知圆过两点，，且圆心在直线上.
（1）求该圆的方程；
（2）求过点的直线被圆截得弦长最小时的直线的方程.
19．（本题12分）在如图所示的六面体中，矩形平面，
，，，.
（1）设为中点，证明：平面；
（2）求平面BCF与平面ABC夹角余弦值.
（3) 求D点到平面BCF的距离.
20．（本题12分）已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若，是曲线上的两个点，且直线过的外心，其中为坐标原点，
求证：直线过定点．
21．（本题12分）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，
使得平面平面，如图2.
（1）求证：.
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22. （本题12分）已知双曲线的左 右顶点分别为，曲线是以、为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点在第一象限且在双曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求曲线的方程；
（2）设点的横坐标分别为，证明：；
（3）设与 POB(其中为坐标原点)的面积分别为与，且，
求的取值范围.
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