新疆昌吉州2021-2022学年高一上学期期中质量检测数学试题（PDF版含答案）

2021-2022学年第一学期新疆昌吉教育体系高一年级期中质量检测
数学试卷
考试时间：120 分钟 分值：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．M {4,5}，N {5,4} B．M (x, y) x y 1 ， N y x y 1
C．M {(3,2)}， N {(2,3)} D．M {1,2}， N {(1,2)}
2．如图，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． (M P) S B． (M P) S
C. M P CUS D（. M P） CUS
3 2．命题“ x R， x x 1”的否定是（ ）
A． x R x x2， 1 B． x R 2， x x 1
C． x0 R x 2， 0 x0 1 D． x0 R， x0 x 20 1
4．“ 2x2 5x 3 0”的一个必要不充分条件是（ ）
1 1 1
A． x 3 B． 1 x 6 C． 3 x D． x 0
2 2 2
5 f x x
2 5x 6
．函数 的定义域（ ）
x 1
A． , 1 6, B． , 1 6, C． 1,6 D． 2,3
6．设偶函数 f x 的定义域为R，当 x 0, 时，f x 是增函数，则 f 2 ，f ，
f 3 的大小关系是（ ）
A． f f 3 f 2 B． f f 2 f 3
C． f f 3 f 2 D． f f 2 f 3
7 f x x2．函数 2 1 m x 3在区间 3,4 上单调递增，则m的取值范围是有
（ ）
A．[ 3, ) B．[3, ) C． ( ,5] D． ( , 3]
8 2．已知函数 f x x 2x 3，则 f x 在区间 0,3 的值域为（ ）
A． 3,6 B． 2,6 C． 2,3 D． 3,6
9．已知 f x 是定义在 2，2 上的单调递减函数，且 f 2a 3 f a 2 ，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． 0 4 B 1 1 5C 5 ， ． ， ． ，2 2 D． 1，2
(3a 1)x 4a, x 1
10．已知 f (x) 是定义在R 上的减函数，那么 a的取值范围是
x 1, x 1
（ ）
1 1A , B ,
1 1 1 1
． ． C． , D． ,

,


3 7 7 3 7 3
11．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． f x x2 2x 1 g s s2与 2s 1 B． f x x3 与 g x x x
C． f x x 1与 g x 0 D． f x xx 与 g x x
2
x
12．（多选）下列命题正确的是（ ）
A 1．“a>1”是“ a <1”的充分不必要条件
B．命题“ x<1，x2<1”的否定是“ x<1，x2≥1”
C．设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D．设 a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．已知幂函数 y m2 3m 3 x m 在 0, 上单调递减，则m ___________.
14．设 a,b,c为常数，且 a 0，若不等式 ax2 bx c 0的解集是 2,3 ，则不等式
ax2 bx c 0的解集是__________.
1
15．若 a 1，则 a 的最小值为_________，此时 a _______．
a 1
16．若函数 f x 的定义域为 1,1 ，则 f 2x 1 的定义域为_________．
三、解答题
17（10分）．已知全集U R， A {x | x2 px 12 0}，B {x | x2 5x q 0}
（1）若 A ，求 p的取值范围；
（2）若（CUA） B 2 ，（CUB） A 4 ，求A B
18.(12分）设命题 P：实数 x满足 x2 4mx 3m2 0；命题 q：实数 x满足 x 3 1.
（1）若m 1，且 p，q都为真，求实数 x 的取值范围；
（2）若m 0，且 q 是 p的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.
19．(12 分）求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数 f x 满足 f 0 1，且 f x 1 f x 2x ；
（2）已知函数 f x 满足： f x 1 x 2 x ；
20．(12 分）某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有
的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
21．(12 分）已知 y f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) x2 2x．
（1）求 x 0时，函数 f (x)的解析式；
（2）解不等式 f (x) x 2．
22．已知函数 f (x)
x
.
x2 1
（1）判断并证明函数 f (x)的奇偶性；
（2）用定义证明当 x ( 1,1)时函数 f (x)单调递增
（3）若 f (x)定义域为 ( 1,1)，解不等式 f (2x 1) f (x) 0
答案
一、选择题
1．A
【分析】
根据集合相等的定义判断．
【详解】
A 中两个集合中元素都是 4 和 5，A 是同一集合；
B 中集合M 是点集， N是数集，不是同一集合；
C 中，由于 (2,3) (3, 2)，因此不是同一个集合；
D中，M 是数集， N是点集，不是同一集合．
故选：A．
2．C
【分析】
利用阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合，即可求解．
【详解】
由图知，阴影部分在集合 M 中，在集合 P 中，但不在集合 S 中，
故阴影部分所表示的集合是 (M P) US .
故选：C．
3．C
【分析】
利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】
由全称命题的否定可知，命题“ x R， x x2 1”的否定是“ x R x x20 ， 0 0 1 ”.
故选：C.
4．B
【分析】
1
先解不等式得其解集为 x x 32
，而求出“ 2x2 5x 3 0”的一个必要不充分条件，就

1
是要求出一个集合，使 x x 3 为其真子集即可
2
【详解】
1 1
由 2x2 5x 3 0，得 x 3，所以其解集为 x x 3 ，
2 2
2 1 因为“2x 5x 3 0”的一个必要不充分条件，就是要求出一个集合，使 x x 3 为其
2
x 1 真子集， x 3 是 x 1 x 6 真子集，
2
故选：B
5．C
【分析】
x2 5x 6 0
解不等式组 得出定义域.
x 1 0
【详解】
x2 5x 6 0
，解得 1 x 6
x 1 0
即函数 f x 的定义域 1,6
故选：C
6．A
【分析】
由题得 f 3 f (3), f ( 2) f (2),再由函数的单调性得解.
【详解】
因为函数 f x 是偶函数，
所以 f 3 f (3), f ( 2) f (2),
因为 x 0, 时， f x 是增函数，
所以 f f 3 f 2 ，
所以 f f 3 f 2 .
故选：A
7．D
【分析】
首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为函数 f x x2 2 1 m x 3，开口向下，对称轴为 x 1 m，依题意1 m 4，
解得m 3，即m , 3
故选：D
8．B
【分析】
根据二次函数的单调性可求得最大值和最小值，由此可得值域.
【详解】
f x x2 2x 3 x 1 2 2的对称轴为 x 1，
f x 在区间 0,1 单调递减，在 1,3 单调递增，
当 x 1时， f x f 1 2min ；当 x 3， f x f 3max 6，
f x 的值域为 2,6 .
故选：B．
9．D
【分析】
根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出 a的取值范围.
【详解】
∵ f x 是定义在 2，2 上的单调递减函数，且 f 2a 3 f a 2 ，
2a 3 a 2

则 2 a 2 2
5
，解得1 a
2 2a 3 2 2
故选：D..
10．C
【分析】
分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值
的大小关系.
【详解】
(3a 1)x 4a, x 1
因为函数 f (x) 是定义在Rx 1, x 1 上的减函数，
3a 1 0,
所以
3a 1 4a 1 1
，
1
解得 a
1
7 3 .
所以实数 a
1 , 1 的取值范围为 . 7 3
故选：C.
11．AC
【分析】
分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.
【详解】
对于选项 A： f x x2 2x 1的定义域为 R，g s s2 2s 1的定义域为R，定义域相同，
对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项 B： f x x3 x x的定义域为 x | x 0 ， g x x x的定义域为
x | x 0 ，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项 C： f x x 1的定义域为 x | x 0 ， g x 1 0 1的定义域 x | x 0 ，定义域x x
相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项 D： f x x的定义域为 R，g x x2 x 的定义域为 R，对应关系不同，不是
同一个函数.
故选：AC
12．ABD
【分析】
由充分必要条件可判断 ACD，由全称命题的否定可判断 B.
【详解】
对于选项 A：“a>1”
1
可推出“ a <1”
1 1
，但是当 a <1 时，a 有可能是负数，所以“ a <1”推不出“a>1”，
“a>1” “ 1所以 是 a <1”的充分不必要条件，故 A 正确；
对于选项 B：命题“ x<1，x2<1”的否定是“ x<1，x2≥1”，故 B 正确；
对于选项 C：当 x=-3，y=3 时，x2+y2≥4，但是“x≥2 且 y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2
且 y≥2”，所以“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故 C 错误；
对于选项 D： “a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充
分条件，故 D 正确.
故选：ABD.
二、填空题
13． 1
【分析】
由系数为 1 解出m的值，再由单调性确定结论．
【详解】
由题意m2 3m 3 1，解得m 1或m 4，
若m 4，则函数为 y x4，在 (0, )上递增，不合题意．
若m 1，则函数为 y
1

x，满足题意．
故答案为： 1．
14． , 3 U 2,
【分析】
把不等式 ax2 bx c 0化为 a( x)2 b( x) c 0 ，求得 x 2或 x 3，即可求得不等式
的解集.
【详解】
因为 不等式 ax2 bx c 0的解集是 2,3 ，
所以不等式 ax2 bx c 0的解是 x 2或 x 3，
又不等式 ax2 bx c 0，可化为 a( x)2 b( x) c 0 ，
可得 x 2或 x 3，即 x 2或 x 3，
所以不等式 ax2 bx c 0的解集是 , 3 2, .
故答案为： , 3 2, .
15．3 2
【分析】
构造积为定值，利用基本不等式求和的最小值.
【详解】
因为 a 1，所以 a 1 0
a 1
1
a 1 1 1 2 a 1 1 1 3，当且仅当 a 1 ，即 a 2取等号.
a 1 a 1 a 1 a 1
故答案为：3；2
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则
必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定
值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
16． 1,0
【分析】
根据函数 f (x)的定义域即 y 2x 1的值域，求出函数 2x 1的定义域即可．
【详解】
解：由题可知 1 2x 1 1，
1 x 0，
所以函数定义域为 1,0 ，
故答案为： 1,0 ．
三、解答题
17.（1） 4 3 p 4 3；（2） 2,3,4 .
【分析】
（1）由集合为空集，转化为方程无根，从而求得参数取值范围.
（2）由交并补集的运算，分别求得 p，q 的值，从而求得 A B .
【详解】
（1）若 A ，则方程 x2 px 12 0无实数解，
p2 4 12 0，则 4 3 p 4 3 .
（2）∵ ( UB) A 4 ，
∴方程 x2 px 12 0的一个根为 4，则 p 7，方程另一个根为 3.
∴ A 3,4 .
∵ ( U A) B 2 ，
∴方程 x2 5x q 0的一个根为 2，则 q 6，方程另一个根为 3.
∴ B 2,3
∴ A B 2,3,4
【点睛】
关键点点睛：由交并补集的运算求得相关参数值.
[2,3) 4 ,2 18．（1） ；（2） .
3
【分析】
（1）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题 p,q，再结合命题 p,q都
为真时，即可求解实数的取值范围；
（2）根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法，分别求得命题 p,q，由q是 p的充分不
必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解.
【详解】
（1）由不等式 x2 4mx 3m2 0，可得 x m x 3m 0，
当m 1时，解得1 x 3，即 p 为真时，1 x 3，
由 x 3 1，可得 1 x 3 1，解得2 x 4，即 q 为真时， 2 x 4，
若 p,q都为真时，实数 x的取值范围是[2,3) .
（2）由不等式 x2 4mx 3m2 0，可得 x m x 3m 0，
因为m 0，所以m x 3m，即 p为真时，不等式的解集为 (m,3m)，
又由不等式 x 3 1，可得 2 x 4，即 q 为真时，不等式的解集为 [2,4]，
设 A (m,3m),B [2, 4]，
m 2 4
因为q是 p的充分不必要条件，可得集合 B是 A的真子集，则 3m 4，解得 m 2， 3
4
所以实数 m的取值范围是 ( ,2) .
3
【点睛】
本题主要考查了根据复数命题的真假，以及必要不充分条件求解参数的取值范围，以及一元
二次不等式和绝对值不等式的求解，其中解答中熟记不等式的解法，求得命题 p,q是解答的
关键，着重考查推理与运算能力.
19 2．（1） f x x x 1；（2） f x x2 4x 3 x 1 ；
【分析】
（1）设 f x ax2 bx c a 0 ，由 f 0 1可求得 c的值，由 f x 1 f x 2x 可得出
关于 a、b的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数 f x 的解析式；
（2）设 t x 1 1，代入 f x 1 x 2 x 化简可得函数 f x 的解析式；
【详解】
（1）设 f x ax2 bx c a 0 ，
f 0 c 1，因为
f x 1 f x a x 1
2 b x 1 1 ax
2 bx 1 2ax a b 2x，
2a 2 a 1
所以， ，解得 ，因此， f x x 2 x 1
a b 0 b 1
；
（2 2）令 t x 1，则 t 1， x t 1 ，
代入 f x 1 x 2 x 有 f t t 1 2 2 t 1 t 2 4t 3，
2
因此， f x x 4x 3 x 1 ；
20．宽为16m，长为32m .
【分析】
512
作出图形，设场地一边长为 xm，则另一边长为 m，求出新墙的总长度，利用基本不等
x
式可求得新墙的总长度的最小值，利用等号成立的条件可求得 x的值，即可得出结论.
【详解】
512
如图，设场地一边长为 xm，则另一边长为 m．
x
512
因此新墙总长度 L 2x x 0 ．
x
512
由基本不等式可得 L 2x 2 2x 512 64 m ，
x x
512
当且仅当 2x 时，即当 x 16时，等号成立，
x
故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．
21．（1） f (x) x 2 2x；（2） , 2
【分析】
（1）设 x 0，计算 f ( x)，再根据奇函数的性质 f (x) f ( x)，即可得对应解析式；
（2）由（1）知分段函数 f (x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.
【详解】
（1）设 x 0，则 x 0，所以 f ( x) ( x)2 2( x) x2 2x
又 f (x)为奇函数，所以 f (x) f ( x)，
所以当 x 0时， f (x) x 2 2x，
x2 2x, x 0
（2）由（1）知 f (x) 2 ，解不等式 f (x) x 2，
x 2x, x 0
x 0 x 0
等价于 2 或 ，解得： 或 x≤ 2
x 2x x 2
2
x 2x x 2
综上可知，不等式的解集为 , 2
【点睛】
易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解
参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属
于基础题.
22．（1） f (x)为奇函数，证明见解析；（2） f (x)为增函数，证明见解析；
（3）{x | 0
1
x } .
3
【分析】
（1）根据函数的奇偶性的定义，即可得到函数 f (x)的奇偶性；
（2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求得函数 f (x)的单调性；
（3）由（1）、（2）把不等式转化为 f (x) f (1 2x)，结合单调性，得出不等式组，即可求
解.
【详解】
（1）函数 f (x)为奇函数.
证明如下：
x
由函数 f (x) ，可得 f (x)2 定义域为 R，x 1
又由 f ( x)
x x
f x f (x) x
( x)2 1 x2 ，所以 为奇函数. 1 x2 1
（2）函数 f (x)在 ( 1,1)为单调函数.
证明如下：
x x x x 2 x 2
任取 1 x x 1，则 f (x ) f (x ) 1 2 1 2 1
x2x1 x2
1 2 1 2 x21 1 x
2
2 1 (x
2
1 1)(x
2
2 1)
x
1
x2 (x2 x1) (x2 x1) (x1x2 1)(x2 x1)
(x2

1)(x2 1) (x2 1)(x21 2 1 2 1)
，
(x x 1)(x x )
因为 1 x1 x2 1，所以 x2 x1 0, x1x2 1 0
1 2 2 1
，可得 2 0(x1 1)(x
2
2 1)
，
即 f (x1) f (x2)，故 f (x)
x
2 在 ( 1,1)上为增函数.x 1
（3）因为 f (2x 1) f (x) 0，即 f (x) f (2x 1)，
由（1）、（2）可得 f (x) f (2x 1) f (1 2x)，
x 1 2x
1 x 1 0 x 1 1可得 ，解得 ，所以原不等式的解集为{x | 0 x } .
3 3
1 2x 1 1
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判定与证明，以及利用函数的性质求解不等式，其中
解答中熟记函数的单调性和奇偶性的定义，以及熟练应用函数的单调性转化为不等式组是解
答的关键，着重考查推理与运算能力.