1．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数) ( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
答案：B
2．某工厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析：设该厂1月份产量为a，这一年中月平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，解得
x＝－1.
答案：D
3．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为 ( )
A．2 B．6
C．8 D．10
解析：依题意有(100－10x)×70×≥112，
∴2≤x≤8.
答案：A
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
答案：C
5．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．
解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．因为原价为a，所以进价为a(1－25%)．
依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，
化简，得b＝a.
∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，
即y＝x(x∈N＋)．
答案：y＝x(x∈N＋)
6．下表是某工厂产品的销售价格表：
一次购买 1～10件 11～50件 51～100件 101～300件 300件以上
每件价格(单位：元/件) 37 32 30 27 25
某人有现金2 900元，则最多可购买这种产品______件．
解析：设件数为x，花费为y元．
则y＝
当y＝2 900时，x＝107.
答案：107
7．一用户到电信局打算上网开户，经询问，有三种月消费方式：①163普通方式：上网资费2元/小时，②163A方式：每月30元(可上网50小时)，超过50小时以上的资费为2元/小时；③ADLSD方式：每月50元，时长不限(其他因素均忽略不计)．(每月以30日计算)
(1)分别写出三种上网方式中所用月资费(y)与时间(x)的函数关系式；
(2)在同一坐标系内画出三种上网方式中所用资费与时间的函数图像；
(3)根据你的研究，给这一用户一个合理化的建议．
解：(1)163普通方式：y＝2x(0≤x≤720)，
163A方式：y＝
ADLSD方式：y＝50(0≤x≤720)；
(2)
(3)每月上网时间0～15小时，选消费方式1；
每月上网时间15～60小时，选消费方式2；
每月上网时间60小时以上，选消费方式3.
8．为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2008年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？
解：(1)裁员x人后，企业员工数为(200－x)人，每人每年创纯利润(1＋0.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y＝(200－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－0.01x2＋0.6x＋200.
∵200－x≥×200 x≤50，
∴x的取值范围为0
(2)y＝－0.01(x－30)2＋209，
∵0∴当x＝30时，y取得最大值209.
∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．1．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )
解析：二分法的理论依据是零点定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而图B零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，A、C、D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
答案：B
2．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，)，(0，)(0，)，则下列说法中正确的是 ( )
A．函数f(x)在区间(0，)内一定有零点
B．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点，或零点是
C．函数f(x)在(，a)内无零点
D．函数f(x)在区间(0，)或(，)内有零点
解析：根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，)或(，)中或f()＝0.
答案：B
3．设函数y＝x3与y＝()x－2的图像交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是 ( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令f(x)＝x3－()x－2，
f(1)＝1－()－1＝－1<0，f(2)＝8－()0＝7>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴x0∈(1,2)．
答案：B
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
解析：由表知f(1.438)>0，f(1.406 5)<0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.
答案：C
5．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0，则f(2)·f(2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
6.已知y＝x(x－1)(x＋1)的图像如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，对于方程式f(x)＝0根的情况，以下说法正确的是________．(填上正确的序号)
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
解析：函数f(x)的图像可由y＝x(x－1)(x＋1)的图像向上平移0.01个单位即可，如图所示．由图像易知方程f(x)＝0有三个实根，当x<－1时，恰好有一根；当－11时，没有实根．所以只有①②正确．
答案：①②
7．求出函数F(x)＝x5－x－1的零点所在的大致区间．
解：函数F(x)＝x5－x－1的零点即方程x5－x－1＝0的根．由方程x5－x－1＝0，
得x5＝x＋1，
令f(x)＝x5，g(x)＝x＋1.
在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显然它们只有1个交点．
两函数图像交点的横坐标就是方程的解．
又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，
∴函数的零点在区间(1,2)内．
8．求函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).
x －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
f(x) －1.25 2 2.25 1 －0.25 0 3.25
由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，
即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间
(－1.5，－1)内有零点．
同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域(－∞，－1.5)和(1，＋∞)内是增函数，所以它共有3个零点．(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是 ( )
A．(1，－4) B．(4，－1)
C．1，－4 D．4，－1
解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
答案：D
2．今有一组实验数据如下表所示：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
u 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D验证易知，C最近似．
答案：C
3．储油30 m3的油桶，每分钟流出 m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为 ( )
A．[0，＋∞) B．[0，]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：由题意知Q＝30－t，又0≤Q≤30，即0≤30－t≤30，∴0≤t≤40.
答案：D
4．由于技术的提高，某产品的成本不断降低，若每隔3年该产品的价格降低，现在价格为8 100元的产品，则9年后价格降为 ( )
A．2 400元 B．900元
C．300元 D．3 600元
解析：由题意得8 100×(1－)3＝2 400.
答案：A
5．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－3＝－<0，
f(0)＝20＋3×0＝1>0.
∵y＝2x，y＝3x均为单调增函数，
∴f(x)在(－1,0)内有一零点．
答案：B
6．若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，且函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有 ( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：根据偶函数的单调性和对称性，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则在(－∞，0)上也仅有一个零点．
答案：B
7．函数f(x)＝的零点个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)＝0，得或
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零点个数为2.
答案：C
8．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费
( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x>0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.
答案：B
9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)
解析：令g(x)＝0，则4x＝－2x＋2.画出函数y1＝4x和函数y2＝－2x＋2的图像如图，可知g(x)的零点在区间(0,0.5)上，选项A的零点为0.25，选项B的零点为1，选项C的零点为0，选项D的零点大于1，故排除B、C、D.
答案：A
10．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图像，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 ( )
解析：A选项中即时价格越来越小时，而平均价格在增加，故不对，而B选项中即时价格在下降，而平均价格不变化，不正确．D选项中平均价格不可能越来越高，排除D.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，
f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，
∵f(2)·f(2.5)<0，
∴下一个有根区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
12．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当m＝0时，
由f(x)＝x－a＝0，
得x＝a，此时a∈R.
(2)当m≠0时，令f(x)＝0，
即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立，
则Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，
即－1≤a≤1.
所以对m∈R，函数f(x)恒有零点，有a∈[－1,1]．
答案：[－1,1]
13．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地，汽车离开A地的距离x随时间t变化的关系式是________．
解析：从A地到B地，以60 km/h匀速行驶，x＝60t，耗时2.5个小时，停留一小时，x不变．从B地返回A地，匀速行驶，速度为50 km/h，耗时3小时，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325.
所以x＝
答案：x＝
14．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．
答案：148.4
三、解答题(本大题共4小题，共50分)
15．(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝x，N＝(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润
y＝M＋N＝(8－x)＋.
令＝t(0≤t≤)，则x＝t2＋1，
∴y＝(7－t2)＋t＝－(t－)2＋.
故当t＝时，可获最大利润万元．
此时，投入乙种商品的资金为万元，
甲种商品的资金为万元．
16．(12分)判断方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内是否存在实数解，若存在，有几个实数解？
解：令f(x)＝2ln x＋x－4.
因为f(1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f(e)＝2ln e＋e－4＝e－2>0，
所以f(1)·f(e)<0.
又函数f(x)在(1，e)内的图像是连续不断的曲线，
所以函数f(x)在(1，e)内存在零点，即方程f(x)＝0在(1，e)内存在实数解．
由于函数f(x)＝2ln x＋x－4在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(1，e)内只存在唯一的一个零点．
故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)内只存在唯一的实数解．
17．(12分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)＝
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是
g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈Z)．
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？
解：依题意，该商品在近100天内日销售额F(t)与时间t(天)的函数关系式为F(t)＝f(t)·g(t)
＝
(1)若0≤t≤40，t∈Z，则
F(t)＝(＋22)(－＋)
＝－(t－12)2＋，
当t＝12时，F(t)max＝(元)．
(2)若40F(t)＝(－＋52)(－＋)
＝(t－108)2－，
∵t＝108>100，
∴F(t)在(40,100]上递减，
∴当t＝41时，F(t)max＝745.5.
∵>745.5，
∴第12天的日销售额最高．
18．(14分)某商场经营一批进价为12元/个的小商品．在4天的试销中，对此商品的单价(x)元与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
x 16 20 24 28
y 42 30 18 6
(1)能否找到一种函数，使它反映y关于x的函数关系？若能，写出函数解析式；
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元)，求P关于x的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润P取最大值？最大值是多少？
解： (1)由已知数据作图如图，
观察x，y的关系，可大体看到y是x的一次函数，令
y＝kx＋b.当x＝16时，y＝42；x＝20时，y＝30.
得
由②－①得－12＝4k，
∴k＝－3，代入②得b＝90.
所以y＝－3x＋90，显然当x＝24时，y＝18；
当x＝28时，y＝6.
对照数据，可以看到y＝－3x＋90即为所求解析式；
(2)利润P＝(x－12)·(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.
∵二次函数开口向下，
∴当x＝21时，P最大为243.
即每件售价为21元时，利润最大，最大值为243元．1．若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是 ( )
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
解析：根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上无法确定，可能有，也可能没有，如下图所示：
答案：C
2．函数f(x)＝的零点有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由f(x)＝＝0得：x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点．
答案：B
3．下列函数不存在零点的是 ( )
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．
答案：D
4．已知方程2x－1＝5－x，则该方程的解会落在哪个区间内 ( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：令f(x)＝2x－1＋x－5，则f(0)＝－<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，f(4)＝7>0，由于f(2)·f(3)<0，故函数f(x)＝2x－1＋x－5在(2,3)上有零点，也即方程2x－1＝5－x在(2,3)上有解．
答案：C
5．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像可知a>1时两函数图像有两个交点，01.
答案：(1，＋∞)
6．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，在(0,2)内无零点，且在(2，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：由于f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0.
∵－2是它的一个零点，
∴2也是它的零点，故一共有3个零点，它们的和为0.
答案：3 0
7．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．
(1)零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1.
解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得
(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
8．已知函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在定义域内为增函数；
(3)求函数f(x)的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．
解：(1)由x＋1>0，得x>－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)；
(2)证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)
＝2x1＋lg(x1＋1)－2－[2x2＋lg(x2＋1)－2]
＝(2x1－2x2)＋[lg(x1＋1)－lg(x2＋1)]．
因为x1所以2x1－2x2<0，lg(x1＋1)－lg(x2＋1)<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在定义域内为增函数；
(3)因为f(0)＝－1，f(1)＝lg2>0，所以f(0)f(1)<0，所以函数f(x)的零点所在的大致区间为(0,1)，又因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以函数f(x)的零点只有一个．