线面平行的判定与性质
图片预览
文档简介
(共42张PPT)
2.2.1直线与平面
平行的判定
直线和平面有哪些位置关系
α
a
直线与平面α相交
a ∩ α= A
有且只有一个交点
α
A
a
a
α
直线与平面α平行
a∥α无交点
直线在平面α内a α
有无数个交点
怎样判定直线与平面平行呢？
引入新课
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．
a
但是，直线无限延长，平面无限延展，用定义判定直线与平面平行的可行性不大。
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
下图中的直线 a 与平面α平行吗？
直线与平面平行
如果平面 内有直线 与平面外直线 平行，那么直线 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 与平面 平行？
直线与平面平行
平面 外有直线 平行于平面 内的直线 ．
（1）这两条直线共面吗？
（2）直线 与平面 相交吗？
直线与平面平行
共面
不可能相交
直线和平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：
简述为：
线线平行，则线面平行
（1）若直线a不在平面α外，即a在平面α内a//α吗？
思考
a
b
缺少条件1，显然不成立。
（2）若直线b不在平面α内，a// 吗？
a
b
缺少条件2，定理也不成立。
（3）若直线a不平行于直线b，a// 吗？
缺少条件3，定理也不成立。
a
b
（1）定义法：证明直线与平面无公共点；
（2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平行．
直线与平面平行判定
怎样判定直线与平面平行？
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的中点。
求证：EF//平面BCD。
证明：连接BD。
因为 AE=EB,AF=FD,
所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为
由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD。
例一
变式：
A
B
C
D
F
O
E
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
变式：
分析:
△ABE的中位线，
所以得到AB//OF.
A
B
C
D
F
O
E
连结OF，
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
1．如图，长方体 中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与 平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 ；
平面
平面
平面
平面
平面
平面
随堂练习:课本P55 1
2．如图，正方体 中，E为 的中点，试判断 与平面AEC的位置关系，并说明理由．
证明：连接BD交AC于点O,
连接OE,
在
中，E，O分别是
的中点．
随堂练习
3. 判断命题的真假
假
练习
(3)如果一直线与平面平行，则它与平面
内的任何直线平行.
(2)过直线外一点，可以作无数个平面与
这条直线平行.
(1)如果一条直线不在平面内，则这条直
线就与这个平面平行.
假
真
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行
来处理.
反思~领悟：
2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位
线、梯形的中位线、平行线的判定等
来完成.
3. 证明的书写三个条件“内”、“外”、
“平行”，缺一不可.
线面平行的判定定理解决了判定线面平行的问题（即所需条件）；反之，在直线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
新课引入：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
b
α
a
α
b
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 a 平行的一条直线？
思考：
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 a 平行的一条直线？
思考：
因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是平行就是异面，所以只要a与b在一个平面内，就能保证a//b。
思考：
线面平行的性质定理：
α
m
β
l
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
作用：
判定直线与直线平行的重要依据。
关键：
寻找平面与平面的交线。
简记为：
“线面平行，则线线平行”
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交；
C 和这个平面内的任意直线都平行；
D 和这个平面内的任意直线都不相交。
D
练习：
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
过点P作直线EF//B'C'，
棱A'B'、C'D'于点E、F，
连结BE、CF，
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
解：
⑴如图，
在平面A'C'内，
下面证明EF、BE、
CF为应画的线．
分别交
⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？
例题讲解：
⑴
则EF、BE、CF为应画的线．
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
EF、BE、CF共面．
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
解：
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应
怎样画线？
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应
怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
⑵
解：
EF//面AC
由⑴，得
BE、CF都与面相交．
EF//BC，
EF//BC
线面平行
线线平行
线面平行
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面 ，
且a//b，
b//
求证：
提示：
过a作辅助平面 ，
且
a
b
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面 ，
且a//b，
b//
求证：
证明：
且
过a作平面 ，
a
b
c
性质定理
判定定理
线面平行
线线平行
线面平行
练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 ．
练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 ．
⑴判定定理．
线线平行
线面平行
⑵性质定理．
线面平行
线线平行
1．直线与平面平行的性质定理
2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：
3．要注意判定定理与性质定理的综合运用
a∥b．
a
b
性质定理的运用．
课堂小结：
2.2.1直线与平面
平行的判定
直线和平面有哪些位置关系
α
a
直线与平面α相交
a ∩ α= A
有且只有一个交点
α
A
a
a
α
直线与平面α平行
a∥α无交点
直线在平面α内a α
有无数个交点
怎样判定直线与平面平行呢？
引入新课
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．
a
但是，直线无限延长，平面无限延展，用定义判定直线与平面平行的可行性不大。
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系．
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
下图中的直线 a 与平面α平行吗？
直线与平面平行
如果平面 内有直线 与平面外直线 平行，那么直线 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 与平面 平行？
直线与平面平行
平面 外有直线 平行于平面 内的直线 ．
（1）这两条直线共面吗？
（2）直线 与平面 相交吗？
直线与平面平行
共面
不可能相交
直线和平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示：
简述为：
线线平行，则线面平行
（1）若直线a不在平面α外，即a在平面α内a//α吗？
思考
a
b
缺少条件1，显然不成立。
（2）若直线b不在平面α内，a// 吗？
a
b
缺少条件2，定理也不成立。
（3）若直线a不平行于直线b，a// 吗？
缺少条件3，定理也不成立。
a
b
（1）定义法：证明直线与平面无公共点；
（2）判定定理：证明平面外直线与平面内直线平行．
直线与平面平行判定
怎样判定直线与平面平行？
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的中点。
求证：EF//平面BCD。
证明：连接BD。
因为 AE=EB,AF=FD,
所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为
由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD。
例一
变式：
A
B
C
D
F
O
E
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
变式：
分析:
△ABE的中位线，
所以得到AB//OF.
A
B
C
D
F
O
E
连结OF，
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
1．如图，长方体 中，
（1）与AB平行的平面是 ；
（2）与 平行的平面是 ；
（3）与AD平行的平面是 ；
平面
平面
平面
平面
平面
平面
随堂练习:课本P55 1
2．如图，正方体 中，E为 的中点，试判断 与平面AEC的位置关系，并说明理由．
证明：连接BD交AC于点O,
连接OE,
在
中，E，O分别是
的中点．
随堂练习
3. 判断命题的真假
假
练习
(3)如果一直线与平面平行，则它与平面
内的任何直线平行.
(2)过直线外一点，可以作无数个平面与
这条直线平行.
(1)如果一条直线不在平面内，则这条直
线就与这个平面平行.
假
真
1. 线面平行，通常可以转化为线线平行
来处理.
反思~领悟：
2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位
线、梯形的中位线、平行线的判定等
来完成.
3. 证明的书写三个条件“内”、“外”、
“平行”，缺一不可.
线面平行的判定定理解决了判定线面平行的问题（即所需条件）；反之，在直线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
新课引入：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
b
α
a
α
b
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 a 平行的一条直线？
思考：
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内找出和直线 a 平行的一条直线？
思考：
因为直线a与平面α内直线b的位置关系不是平行就是异面，所以只要a与b在一个平面内，就能保证a//b。
思考：
线面平行的性质定理：
α
m
β
l
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
作用：
判定直线与直线平行的重要依据。
关键：
寻找平面与平面的交线。
简记为：
“线面平行，则线线平行”
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交；
C 和这个平面内的任意直线都平行；
D 和这个平面内的任意直线都不相交。
D
练习：
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
过点P作直线EF//B'C'，
棱A'B'、C'D'于点E、F，
连结BE、CF，
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
解：
⑴如图，
在平面A'C'内，
下面证明EF、BE、
CF为应画的线．
分别交
⑴要经过面A'C'内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？
例题讲解：
⑴
则EF、BE、CF为应画的线．
BC//B'C'
EF//B'C'
BC//EF
EF、BE、CF共面．
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
解：
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应
怎样画线？
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'．
⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应
怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
⑵
解：
EF//面AC
由⑴，得
BE、CF都与面相交．
EF//BC，
EF//BC
线面平行
线线平行
线面平行
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面 ，
且a//b，
b//
求证：
提示：
过a作辅助平面 ，
且
a
b
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面 ，
且a//b，
b//
求证：
证明：
且
过a作平面 ，
a
b
c
性质定理
判定定理
线面平行
线线平行
线面平行
练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 ．
练习 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为 ．
⑴判定定理．
线线平行
线面平行
⑵性质定理．
线面平行
线线平行
1．直线与平面平行的性质定理
2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：
3．要注意判定定理与性质定理的综合运用
a∥b．
a
b
性质定理的运用．
课堂小结：