(共29张PPT)
1.2
集合之间的关系与运算
1. 2 . 2
集
合
的
运
算
应用创新演练
第一章
集合
考点一
考点二
考点三
第二课时集合的补集运算
把握热点考向
[例1] 设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，则a的值为________．
[思路点拨] 涉及补集运算时，若集合是用列举法表示的，常用补集的定义求解．A∪ UA＝U是解本题的关键．
[一点通] 在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪ UA＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．
1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则
MN＝ ( )
A． B．{1,3,5}
C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：由题意知 MN＝{1,3,5}．
答案：B
2．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则
UA＝________.
解析：借助数轴得 UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
答案：{x|x＝－3，或x>4}
3．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝
{1,4,6}，求集合B.
解：法一：A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二：借助Venn图，如图所示.
由图可知B＝{2,3,5,7}.
[例2] 已知全集U＝同{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B， UA∪B，A∩ UB， U(A∪B)．
[思路点拨] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出 UA及 UB，然后求解．
[精解详析] 如图所示.
∵A＝{x|－2
∴ UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2A∪B＝{x|－3≤x＜3}.
∴A∩B＝{x|－2 UA∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩ UB＝{x|2 U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}.
[一点通]
(1)如果所给集合是有限集，则可先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解．这样处理，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题．
4．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩ UB＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析： UB＝{x|x≤1}，
∴A∩ UB＝{x|0答案：B
5．(2011·湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩ UN
＝{2,4}，则N＝ ( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析：由M∩ UN＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
答案：B
解：如图所示.
[例3] (12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[思路点拨] 可先求出 RA，再结合B RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
[一点通]
(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题，一般利用数轴求解.涉及集合间的关系时，不要忘掉空集的情形．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
7．已知集合A＝{x|x则实数a的取值范围是________．
答案：{a|a≥2}
解析： RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
A＝{x|x可知当a≥2时，A∪ RB＝R.
8．已知集合A＝{x|x0}.若A∩ RB
＝ ，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}，
∴ RB＝{x|－1≤x≤0}.
要使A∩ RB＝ ，结合数轴分析(如图)，
可得a≤－1.
(1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的．
(2)当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往需要进行分类讨论.为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集．(共44张PPT)
1.2
集合之间的关系与运算
1.2.1
集
合
之
间
的
关
系
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
给出下面两个集合：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：不全是．
定义 符号
语言 图形语言(Venn图)
子集 如果集合A中的 元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集. A B
(或B A)
真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集 A B
(或B?A)
任意一个
至少有一个元素
1.子集与真子集
2．子集的性质
(1)规定：空集是 的子集.也就是说，对任意集合A，都有 A.
(2)任何一个集合A都是它本身的 ，即 .
(3)如果A B，B C，则 .
(4)如果A?B，B?C，则 .
任何集合
子集
A A
A C
A?C
给定两个集合:A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：完全相同．
定义 符号
语言 图形语言(Venn图)
集合相等 如果集合A的 都是集合B的元素，反过来，集合B的 也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B A＝B
1.集合相等
每一个元素
每一个元素
2．集合相等的性质
若A B，B A，则A＝B；反之， .
若A＝B，则A B，且B A
已知A＝{北京四中高一(2)班的学生}，B＝{北京四中高一的学生}．
问题1：A和B有何关系？
问题2：若李胜男是北京四中高一(2)班的学生，则李胜男是北京四中高一的学生对吗？你能得出什么结论？
提示：对，利用元素特征性质之间的关系可判断集合之间的关系．
提示：A B.
(1)一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A B，则 .于是，x具有性质p(x) x具有性质q(x)，即 ．
反之，如果p(x) q(x)，则A一定是B的 ，其中符号“ ”是“推出”的意思．
x∈A x∈B
p(x) q(x)
子集
(2) 如果命题“p(x) q(x)”和命题“q(x) p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“ ”表示.于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x) q(x).显然，如果p(x) q(x)，则A＝B；反之，如果 ，则 ．
A＝B
p(x) q(x)
对子集、真子集概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ 时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，且x A.
[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)A＝{－1,1}，B＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(5)A＝{x|－1[思路点拨] 首先明确元素的特性，再利用子集与真子集的概念进行判断．
[精解详析] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示由图可发现A?B.
[一点通] 判断集合之间的关系本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A.中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A B，否则A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B A，否则B A.最后下结论：若A B，B A，则A＝B;若A B，B A，则A?B;若A B，B A，则B?A，若上述三种情况均不成立，则A B，B A.
1．已知集合P＝{2 010,2 011}，Q＝{2 010,2 011，2 012 }，则有 ( )
A．P＝Q B．Q P
C．P?Q D．Q?P
答案：C
解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则P Q，但是2 012∈Q,2 012 P，所以P?Q.
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜1}，则有( )
A．A>B B．A?B
C．B?A D．A B
答案：C
解析：借助数轴，可得B?A.
3．已知集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}，
试判断集合M，N的关系．
解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x的取值为－1,0,1,2.
∴M＝{－1,0,1,2}．
又∵y∈M，∴|y|的值分别是0,1,2.
∴N＝{0,1,2}．∴N? M.
[例2] 已知集合A＝{2，a，b}，集合B＝{2a,2，b2}.若A＝B，求a，b的值．
[思路点拨] 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，还要注意集合中元素的互异性．
[一点通]
(1) 若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关.要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均为无限多个，要看两个集合的代表元素是否一致.且看代表元素满足的条件是否一致.若均一致，则两个集合相等．
(3)证明两个集合相等的常用思路是证A B且B A.
4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a
＝ ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：C
5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实
数b的值为________．
解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)，
∴b＝1.
答案：1
6．已知集合A＝{x|x＝3n－2，n∈Z}，B＝{y|y＝3k＋1，
k∈Z}，证明A＝B.
证明：(1)设任意x0∈A，则x0＝3n0－2，且n0∈Z.
3n0－2＝3(n0－1)＋1，因为n0∈Z，所以n0－1∈Z.
所以x0∈B.故A B.
(2)设任意y0∈B，则有y0＝3k0＋1，且k0∈Z.
3k0＋1＝3(k0＋1)－2，
因为k0∈Z，所以k0＋1∈Z.
所以y0∈A.故B A.
综上可得A＝B.
[例3] (12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1[思路点拨] 就B是否为空集进行讨论，利用B A列出关于m的不等式(组)求解．
[一点通]
(1) 分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3) 解此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
7．若集合A＝{x|1a}，满足A?B，则实数a
的取值范围是 ( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案：B
解析：如图所示，因为A?B，所以a≤1.
8．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|x－a＝0}.若B A，
则实数a的值为________．
解析：A＝{3,5}，B＝{a}．∵B A，∴a＝3或a＝5.
答案：3或5
(1)子集和真子集
①A B包含两种情况：A＝B和A?B.当A是B的子集时，不要漏掉A＝B的情况．
②集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )、真包含于(?)、真包含(?)等、用这些符号时要注意方向，如A B与B A是相同的，但A B，B A是不同的．
(2)空集
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
②利用“A B”或“A?B”解题时，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．(共12张PPT)
第
一
章
集合
章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
1．集合的基本概念
(1)集合的含义：
把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合．
常用数集：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
(2)元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号∈表示)和不属于(用符号 表示)，如a∈A，a B等．
(3)集合中元素的特征．
①确定性：集合中的元素必须是确定的．任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素.
②互异性：集合中的任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现．
③无序性：集合与组成它的元素的顺序无关，如集合{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合．
(4)集合的表示法.
集合有四种表示方法：自然语言表示法、列举法、描述法和Venn图法．一般利用列举法和描述法表示集合，它们各有特点．
(2)子集具有以下性质：
①A A，即任何一个集合都是它本身的子集．
②如果A B，B A，那么A＝B.
③如果A B，B C，那么A C.
④如果A?B，B?C，那么A?C.
3．集合的运算
(1)交集：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B.
(2)并集：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，
(3)补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 UA.
交集 ①A∩A＝A ②A∩ ＝
③(A∩B) A ④(A∩B) B
并集 ①A∪A＝A ②A∪ ＝A
③A (A∪B) ④B (A∪B)
补集 ①A∩ UA＝
②A∪ UA＝U
(4)运算性质：
(5)常用重要结论：
①若A B，B C，则A C；
若A?B，B?C，则A?C.
②A∩B＝A A B；
A∪B＝A A B.(共41张PPT)
1.1
集合与集合的表示方法
1.1.1
集
合
的
概
念
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
观察下面的语句：
(1)高一(1)班的全体女生；
(2)方程x2－4＝0的所有实数根；
(3)2012年参加伦敦奥运会的所有代表团；
(4)高一(2)班的所有高个子男生；
(5)某中学里所有较胖的同学．
问题1：上面语句中的女生、实数根、代表团、高个子男生、较胖的同学哪些是确定的？
提示：女生、实数根、代表团．
问题2：以上语句中为什么有的不能确定？
提示：高个子男生、较胖的同学标准无法确定．
1．集合
一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的 构成的集合(或集)．
确定的不同的
全体
2．元素
构成集合的 叫做这个集合的元素(或成员)．
3．元素与集合的符号表示
4．空集
不含有 的集合叫空集，作 .
每个对象
任何元素
A，B，C，…
a，b，c，…
某中学2012级高一年级20个班构成一集合．
问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗？
提示：是这个集合的元素．
问题2：高二(3)班是这个集合的元素吗？为什么？
提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素．
元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 .
(2)如果a不是集合A的元素，就说a 集合A，记作 .
属于
a∈A
不属于
a A
问题1：我们知道你班的学生组成一个集合，试想，你班的每一位学生确定吗？
提示：确定．
问题2：在你班有两位相同的学生吗？
提示：没有．
问题3：你班的学生可数吗？
提示：可数．
问题4：试举一个元素不可数的集合．
提示：自然数集．
1．集合元素的三个特性
特性 意义
确定性 元素与集合的关系是 ，即给定元素a和集合A，a∈A与a A必居其一
互异性 集合中的元素一定是 ，即a∈A且b∈A时，必有a≠b
无序性 集合中的元素是没有顺序的
确定的
不同的
无限集
有限集
3．常用的数集及其记法
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理
数集 实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
(1)一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非其中的一部分．例如，对于集合N＋，就是指所有不小于1的整数．
(2)元素与集合之间为从属关系.对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．
[例1] 考察下列每组对象能否组成一个集合.
(1)2012年奥运会所有比赛项目；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮展馆；
(3)参加2012年五四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨] 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断．
[精解详析] (1)中“所有比赛项目”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮展馆” ，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通] 判断一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．
1．具有下列性质的对象能否构成集合？
(1)9以内的正偶数；
(2)年龄较大的学生；
(3)16岁以下的高一学生；
(4)比3大1的负数；
(5)数组1,2,3,1.
解：(2)中 “年龄较大”的标准不明确，即元素不确定，所以不能构成集合．对于(1)(3)(4)(5)，其中的对象都是确定的，可以构成集合．
2．下列对象能否构成集合？若能构成集合，则集合中的
元素是什么？集合中有多少个元素？
(1)所有的直角三角形；
(2)到一个角的两边的距离相等的所有点；
(3)本校高一学生(420名)；
(4)本班第一小组12人中共有5个姓氏，即李、陈、黄、张、王；
(5)book中的字母．
解：每组对象都能构成集合．
(1)集合中的元素是直角三角形，有无数多个．
(2)集合中的元素是点，有无数多个．
(3)集合中的元素是学生，有420个．
(4)集合中的元素是姓氏，有5个．
(5)集合中的元素是字母，有3个.
[思路点拨] 应明确集合的含义，集合的元素是什么．
[答案] (1) ∈ (2)∈ ∈
[一点通] 判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
答案：B
4．设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断关系正确的是 ( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案：B
[例3] (12分)已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[思路点拨] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．
[精解详析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. (4分)
当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，
∴a≠1. (7分)
当a＝－1时，
集合A含有两个元素1，－1，符合互异性． (10分)
∴a＝－1. (12分)
[一点通] 根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
5．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一
定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，b，c不相等．
答案：D
6．设A是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A，且
3a∈A，则a的值为________．
解析：∵a∈A且3a∈A，
∴a<6且3a<6，∴a<2.
又a是自然数，∴a＝0或1.
答案：0或1
(1)判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合．
(2)集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．
(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性．(共35张PPT)
1.1
集合与集合的表示方法
1.1.2
集
合
的
表
示
方
法
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
(3)所有正偶数组成的集合．
问题1：上述三个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)(2)能，而(3)不能．
问题2：(3)中的元素你能按规律写出来吗？
提示：能．一般表示为2,4,6，…，2n，….
列举法
常常把集合的 都列举出来，写在
内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法
所有元素
花括号
“{ }”
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)奇数组成的集合．
问题1：上述两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：它们的元素有何特性？
提示：(1)中元素都大于等于5；(2)中元素被2除余1.
问题3：如何表示这两个集合？
提示：把它们的特性写在花括号内，即{x|x≥5}；{x|x＝2n＋1，x∈Z}．
描述法
(1)集合的特征性质
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x
，而不属于集合A的元素 ，则性质 p(x)叫做集合A的一个特征性质．
(2)特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 ，它表示集合A是由集合I中 的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．
都具有性
质p(x)
都不具有性质p(x)
{x∈I|p(x)}
具有性质p(x)
(1) 列举法通常适用于有限集，其优点是可以明确集合中的具体元素及元素的个数．对具有特殊规律的无限集，也可以用列举法．但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．
(2)描述法是用集合中元素的特征性质来表示集合，它的一般表示方法是在大括号内竖线左边写上代表元素的字母，竖线的右边是只有集合内的元素才具备的特征性质．
[例1] 用列举法表示下列集合：
(1)小于7的所有正偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的解集．
[思路点拨] (1)中要明确小于7的所有正偶数都有哪些；(2)中要明确方程x2＝x的实数根有哪些．
[精解详析] (1)设小于7的所有正偶数组成的集合为A，又小于7的所有正偶数是2,4,6，故A＝{2,4,6}．
(2)设方程x2＝x的解集为B，解方程x2＝x，得x＝0,1，则B＝{0,1}．
[一点通] 用列举法表示集合时，应明确集合中的元素所满足的特征，然后把集合中的元素一一列举出来，写在“{ }”内，即表示了这个集合，其中“{ }”具有“所有”“整体”的含义．
1．集合A＝{(1,2)，(0,3)}中共有________个元素．
答案：2
2．用列举法表示集合A＝{x|－2答案：{－1,0,1,2}
3．用列举法表示下列集合：
(1)M＝{x|(x－2)2(x－3)＝0}；
(2)P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(3)Q＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
[例2] 用描述法表示下列集合：
(1)正奇数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[思路点拨] 用描述法表示集合时要先确定集合中元素的特征，再给出其满足的性质．
[精解详析] (1){x|x＝2n－1，n∈N＋}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[一点通]
(1)用特征描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一对有序数对来表示．
(2)描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(1)、(2)小题．
4．已知A＝{x|3－3x>0}，则有 ( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1 A
解析：A＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，∴0∈A.
答案：C
5．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．
答案：{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6}
[思路点拨] 先明确集合中元素的特点，再选择适当的方法来表示．
[一点通] 寻找适当的方法来表示集合时，应该“先定元，再定性”．一般情况下，元素个数无限的集合不宜采用列举法，因为不能将元素一一列举出来，而描述法既适合元素个数无限的集合，也适合元素个数有限的集合．
7．用适当的方法表示下列集合：
(1)集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于1且小于5的所有整数构成的集合．
解：(1)设方程x2－x－2＝0的实数根为x，则x满足条件x2－x－2＝0，因此用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}．方程x2－x－2＝0有两个不相等的实数根，为－1和2，故用列举法表示为{－1,2}． (2)设大于1且小于5的整数为x，则x满足条件x∈Z，且11.2.2
集
合
的
运
算
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一章
集合
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
第一
课时
交集与
并集
1.2
集合之间的关系与运算
已知集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{3,4,5,6}，集合C＝{3,4}．
问题1：集合A与B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示：有．{3,4}．
问题2：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：C中的元素属于A且属于B.
1．交集的概念
一般地，对于两个给定的集合A，B，由 的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作 ，读作
．
属于A又属于B
“A交B”
A∩B
2．交集的图示法
两个集合A，B的交集可用Venn图表示，
如图阴影部分．
3．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝A；
(3)A∩ ＝ ∩A＝ ；
(4)如果A B，则A∩B＝A.
已知下列集合：
A＝{－1,3,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,3,4,6}．
问题1：集合A与集合B中的公共元素是什么？
提示：－1,6.
问题2：由A和B的所有元素组成的新集合是{－1,3，6，
－1，－2,4,6}吗？为什么？
提示：不是．由集合元素的互异性可知新集合为C.
问题3：集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示：C中元素属于A或属于B.
1．并集的概念
一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的
构成的集合，叫做A与B的并集，记作 ，读作“ ”．
2．并集的图示法
集合A与B的并集，可用图(1)或图(2)中的阴影表示．
所有元素
A∪B
A并B
3．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝A；
(3)A∪ ＝ ∪A＝A；
(4)如果A B，则A∪B＝B.
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
问题1：集合A，B，U有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2：B中元素与U和A有何关系？
提示：B中元素在U中不在A中．
1．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集，通常用 表示．
2．补集
如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中 的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作 ，读作“A在U中的补集”．
子集
U
不属于A
UA
3．补集的图示法
全集通常用矩形区域表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用Venn图表示，如图所示．
4．补集的性质
(1)A∪ UA＝U；
(2)A∩ UA＝ ；
(3) U( UA)＝A.
(1)A∩B中的元素是指同时属于集合A和集合B的全部元素，也就是说A∩B是集合A与B的全部“公共”元素所组成的集合．
(2)A∪B中的元素包含三种情况：①x∈A，但x B；
②x∈B，但x A；③x∈A，且x∈B.
(3) UA包含三层意思：(1)A U；(2) UA是一个集合，且 UA U；(3) UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
[例1] (1)(2011·福建高考)若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于 ( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝ ( )
A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
[思路点拨] 由定义直接求M∩N ， M∪N.
[精解详析] (1)∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，
∴M∩N＝{－1,0,1}∩{0,1,2}＝{0,1}．
(2)借助数轴，M∪N＝{x|－35}＝{x|x<－5，或x>－3}．
[答案] (1)A (2)A
[一点通] 求集合交集、并集的方法：
(1)若集合是有限集，则一般把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交集、并集的定义分别求出；
(2)若集合是由实数组成的，则常借助数轴，把集合分别表示在数轴上，然后利用交集、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观．
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
解析：由并集的概念，可得A∪B＝{0,1,2,3,4}．
答案：A
2．若集合A＝{x|－2＝ ( )
A．{x|－1C．{x|－2解析：A∩B＝{x|－2答案：D
∴A∩B＝{x|－2[例2] 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}.若A∩B＝B，求a的值．
[思路点拨]
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题.解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等.解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
[一点通]
4．本例中，“若A∩B＝B”换为“A∪B＝B”，其他条件
不变，则a的值为________．
5．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[例3] (12分)集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
[思路点拨] 首先明确交、并集的概念，再借助数轴求解．
[精解详析] (1)如图所示，A＝{x|－
1(2)如图所示，A＝{x|－1∴－1[一点通] 此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，要特别注意端点值的取舍．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．
6．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数
a的取值范围是________．
答案：a≤1
解析：如图所示，
若A∩B＝R，则a≤1.
7．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，
A∪B＝B，则m的取值范围是________．
答案：－2≤m≤－1
解析：∵A∪B＝B，∴A B，如图所示，
8．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由A＝{2，－1，x2－x＋1}，
B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}且A∩B＝C，得
7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
在集合运算过程中应力求做到“三化”
(1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形；是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集．
(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．