(共32张PPT)
3.4
函
数
的应用
(Ⅱ)
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
考点三
[例1] 某林区2012年木材蓄积量为200万立方米.由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
[精解详析] (1)现有木材蓄积量为200万立方米；
1年后，木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)（万立方米）；
2年后木材蓄积量为200(1＋5%)2 （万立方米） ；
… …
x年后，木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.
∵x虽然以年为单位，但木材每时每刻都在生长，
∴x≥0且x∈R.∴函数的定义域为[0，＋∞)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，列表如下：
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.5 …
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)，所经过的时间x．
∵8
∴9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
图象如图所示．
[一点通] 增长(衰减)率问题广泛存在于生产和生活中，如银行复利计算、人口增长率、国民经济生产总值增长率等均属于这类问题．研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察，归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解此数学问题即可．
1．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂
成2个).这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
答案：C
2．某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有
两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息. 哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少钱？(结果精确到0.01万元)
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%，每年复利一次计算的投资要比年利率10%单利计算的投资更有利，5年后约多得利息3.86万元.
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[思路点拨] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．
[一点通] 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．
3．(2011·湖南高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－
lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，故lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6 10 000
答：一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位数.
[例3] (12分)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图
象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，且x1(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 012)，g(2 012)的大小．
[思路点拨] (1)根据函数图象上的特殊点确定相应函数解析式；
(2)确定x1，x2的范围，结合函数图象及性质比较大小．
[精解详析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，? (2分)
C2对应的函数为f(x)＝2x.? (4分)
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，? (6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．? (8分)
∴1从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，?(11分)
∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)．? (12分)
[一点通] 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的是对数函数．
5．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
6．已知甲、乙两个工厂在今年1月份的利润都是6万元，
且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元. 甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．
(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
(2)在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
所以甲厂在今年5月份的利润为f(5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)＝86万元，故有f(5)＝g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．
(2)作函数图象如下：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；
当1g(x)；
当5(1)如何选择函数模型
在解决实际问题中，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．
(2)(共49张PPT)
3.1
指数与指数函数
3.1.2
指
数
函
数
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
考点四
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量就变为原来的84%.假设这种物质原来的质量为1.
问题1：经过3年这种物质的质量是多少？
提示：0.843.
问题2：若经过x年后质量为y，则y与x的关系能用等式表示吗？
提示：能，y＝0.84x.
问题3：质量y是经过年数x(x>0)的函数吗？
提示：是，符合函数的定义．
问题4：如果不考虑x、y的实际意义，x∈R时等式y＝0.84x是否表示y是x的函数？如果是，该函数有何特点？
提示：是．底数是常数，指数是自变量．
指数函数的定义
函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
y＝ax(a>0且a≠1)
提示：
问题2：两函数图象有无交点？
提示：有交点，其坐标为(0，1)．
问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域
值域
过定点 过点 ，即x＝ 时，y＝
单调性 是R上的 是R上的
R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
增函数
减函数
指数函数的图象和性质
(1)指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上.显然y＝xa不是指数函数，这一点要特别注意．
(2)指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，
y＝3·2x不是指数函数，y＝2x＋1也不是指数函数．
(3)当01时，x→－∞，y→0. (其中“x→＋∞”的意义是“x接近于正无穷大”)
[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；
(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)．
[思路点拨] 解答本题的关键是理解指数函数的定义，即只有符合y＝ax(a>0且a≠1，x∈R)的函数才是指数函数，否则不是．
[精解详析] (1)y＝10x符合定义，是指数函数；
(2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数；
(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；
(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数；
(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．
[一点通] 判定一个函数为指数函数：①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．
答案：③
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
[思路点拨] 函数y＝ax的图象过点(1，a)，可根据各图象上横坐标为1的点的位置确定a的大小．
[一点通]
(1)指数函数的图象随底数变化的规律：
①无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图像都与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
②指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，图高则底大．
(2) 指数函数图象问题的处理方法
①抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点(0，1)；
②利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)；
③利用函数的奇偶性与单调性．
3．函数y＝2－|x|的大致图象是 ( )
答案：C
4．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0且a≠1)的图像过定点A，则A点的
坐标为________．
解析：原函数f(x)＝ax－1＋1可变形为y－1＝ax－1，将y－1看做x－1的函数．
令x－1＝0，则y－1＝1，即x＝1，y＝2，
∴函数f(x)＝ax－1＋1的图象恒过定点A(1，2)．
答案：(1，2)
[精解详析] (1)1.82.2，1.83可看做函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
[一点通] 比较幂的大小的方法：
(1)对于底数相同但指数不同的幂，可以利用指数函数的单调性来比较．
(2)对于底数不同但指数相同的幂，可利用指数函数图象的变化规律来比较．
(3)对于底数不同且指数不同的幂，则应通过中间值来比较．
解析：函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.
答案：D
答案：m8．如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
[思路点拨] 确保指数有意义，可得其定义域，再由定义域确定值域.
(3)定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，? (10分)
∴22x－x2≤2，即y≤2.
故函数的值域为(0，2]．? (12分)
[一点通] (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)函数y＝af(x)的值域的求法如下：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
解析：由题意知ax≥1的解集是(－∞，0]，∴0答案：(0，1)
(1)应用指数函数y＝ax的单调性时，如果底数a大小不确定，必须分“a>1”和“0(2)当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当03.3
幂
函
数
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
知识点一
知识点二
考点三
问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？
提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．
问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？
提示：自变量在底数的位置．
问题3：再举出几个这样的函数．
提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.
形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
y＝xα(α∈R)
α
在同一坐标系下，作出幂函数 y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象，如图所示：
问题1：在第一象限，图象有何特点？
提示：都过点(1，1)，只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．
问题2：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
非奇非偶
奇
偶
奇
函数
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
单调性 x∈[0，＋∞) 时， x∈(0，＋∞) 时，
x∈(－∞，0] 时， x∈(－∞，0) 时，
公共点 (1，1)
增
增
减
增
增
减
减
(1)幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数；而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
(2)幂函数的指数的变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小．
[例1] 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[思路点拨] 首先根据幂函数的定义确定幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．
[精解详析] 根据幂函数定义得
m2－m－1＝1, 解得m＝2 或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．
故f(x)＝x3.
[一点通] 幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
答案：①④
2．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1.m为何值时， f(x)
是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？
[思路点拨] 利用幂函数的图象与指数的变化规律解决．
[答案] B
3．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过 ( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析：幂函数的形式决定了：当x>0时，y不可能为负.
∴图象不可能经过第四象限．
答案：A
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0，1)时，f(x)[思路点拨] 由单调性可知p－3<0.由图象关于y轴对称可知p－3为偶数，又p∈N＋，故可确定p的值，再利用单调性解关于a的不等式，求a的范围．
[精解详析] ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0，即p<3.? (2分)
又∵p∈N＋，∴p＝1或2.? (3分)
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，
∴p－3是偶数，∴p＝1，即y＝x－2，? (6分)
[一点通] 由f(x1)解析：先判断在(0，＋∞)上的单调性，再利用奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数单调性相反判断在(－∞，0)上的单调性．
答案：C
答案：A
简单幂函数的性质：
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．(共44张PPT)
3.1
指数与指数函数
3.1.1
实数指数幂及其运算
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点一
考点一
考点二
考点三
知识点二
知识点三
初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质思考下列问题．
提示：m，n∈N＋，且m>n.
问题3：你能得出什么结论？
n次幂
底数
指数
3．整数指数幂的运算法则
正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
(1)am·an＝ (m，n∈Z)；
(2)(am)n＝ (m，n∈Z)；
(3) ＝ (a≠0，m，n∈Z)；
(4)(ab)m＝ (m∈Z).
am＋n
amn
am－n
am·bm
问题1：4的平方根是什么？8的立方根是什么？
提示：±2，2.
问题2：－4有平方根吗？－4有立方根吗？
提示：没有，有．
问题3：若x4＝16，试想x有几个值？
提示：有两值，为±2.
问题4：若x4＝－9，x存在吗？
提示：不存在．
提示：－8，4.
提示：－2，2.
1．a的n次方根的意义
如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做 ．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．
a的n次方根
n
a
a
|a|
0
无意义
2．有理指数幂的运算性质
(1)aαaβ＝ (a>0，α，β∈Q)；
(2)(aα)β＝ (a>0，α，β∈Q)；
(3)(ab)α＝ (a>0，b>0，α∈Q)．
aα＋β
aαβ
aαbα
[思路点拨] 将被开方数化为完全平方的形式，结合根式的性质求解．
[一点通]
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.化简时，要结合条件分类讨论．
解析：由题意得a－1≥0，即a≥1.
∴原式＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
答案：a－1
[思路点拨] 解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．
答案：C
[思路点拨] 直接利用分数指数幂的运算性质求解．
[一点通] 解决此类问题首先要将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解．对化简求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序．
答案：A
6．已知a＋a－1＝5，则a2＋a－2＝________．
解析：法一：由a＋a－1＝5两边平方得
a2＋2aa－1＋a－2＝25，
即a2＋a－2＝23.
法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1
＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.
答案：23
(1)在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
(2)幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂.若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．(共20张PPT)
章末
小结
知识整合与阶段检测
核心要点归纳
阶段质量检测
一、指数函数
1．根式
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(4)有理指数幂的运算性质：aα·aβ＝aα＋β(a>0，α，β∈Q)；(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈Q)；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈Q)．
3．指数函数图象和性质
函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
定点 图象过定点(0，1)
单调性 在(－∞，＋∞)
上是增函数 在(－∞，＋∞)
上是减函数
函数值的变化情况 当x>0时，ax>1
当x＝0时，ax＝1
当x<0时，00时，0当x＝0时，ax＝1，
当x<0时，ax>1
a>1 0[说明]
(1)指数函数的底数决定其单调性，当底数不确定时，要注意分类讨论．
(2)指数函数f(x)＝ax具有性质：f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0，因此满足性质f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(1)＝a≠0的函数的一个原型就是指数函数.在解决有关抽象函数的问题时，可以借助其原型解决有关问题．
二、对数函数
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(1)对数式与指数式的互化：ax＝N logaN＝x；
(2)负数和零没有对数，loga1＝0，logaa＝1.
2．两个重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数lg N；
(2)自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底数的对数ln N.
5．对数函数的图象和性质
a>1 0图象
a>1 0性质 定义域(0，＋∞)
值域R
恒过定点(1，0)
非奇非偶函数
在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减
当x>1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
三、幂函数
幂函数的图象与性质
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，
在(0，＋∞) 上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
图像
过定点 (0，0)，(1，1) (1，1)
[说明] 比较两个幂的大小的方法：
(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较.
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较.
(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，从而确定两个幂值的大小．
四、函数建模
1．解答函数应用题的一般步骤是：
2．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．(共42张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.2
对
数
函
数
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
知识点一
知识点二
考点三
在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1).
问题1：将指数式化成对数式得到什么？
提示：x＝logay.
问题2：在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？
提示：y＝logax.
对数函数的概念
函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .
y＝logax(a＞0，且a≠1)
x
(0，＋∞)
提示：
问题2：两图象与x轴交点坐标是什么？
提示：交点坐标为(1，0)．
问题3：两函数单调性如何？
问题4：函数y＝2x与y＝log2x的图象有什么关系？定义域、值域有什么关系？
提示：图象关于直线y＝x对称，定义域和值域互换．
图像
性
质 定义域：
值域：
过点 ，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
(0，＋∞)
R
(1，0)
增函数
减函数
a＞1 0＜a＜1
对数函数的图象与性质
[思路点拨] 求与对数有关的函数的定义域，除考虑使根式、分式有意义外，还要考虑使对数有意义，即真数大于零，底数大于零且不等于1.
[一点通] 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，与对数函数有关的定义域问题的求解要注意对数的定义.若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
答案：A
答案：B
[例2] 作出函数y＝lg|x|的图象，由图象判断其奇偶性，并求出f(x)>0的解集．
[思路点拨] 先去掉绝对值符号，画出y轴右边的图，再由对称性作出另一部分，最后结合图象求解集．
[一点通]
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的函数可先作出y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f(|x|)的对于函数．y＝|f(x)|，可先作出y＝f(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图象．
(2)如果只需要作出函数的大致图象，可采用图象变换的方法．
4．函数y＝|lg(x－1)|的图象是 ( )
答案：C
答案：A
[例3] (12分)比较下列各组数的大小：
(1)log2π与log20.9；
(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.76与60.7；
(4)log20.4，log30.4.
[思路点拨] 观察各组数的特征，利用对数单调性比较大小．
[精解详析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.? (3分)
(2)因为log20.3log0.21＝0，
所以log20.3(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
又log0.760.76>log0.76.? (9分)
(4)底数不同，但真数相同，根据y
＝logax的图象在a>1，0图象越靠近x轴，如图所示，知log30.4>log20.4.? (12分)
[一点通] 利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有：
(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数的单调性比较；
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决；也可用换底公式化为同底，再进行比较．
6．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，则 ( )
A．a>b>c B．aC．a>c>b D．c>a>b
解析：∵0.3b>a.
答案：B
答案：C
(1)函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a 越大，图象向右越靠近x轴；0②左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论对数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与对数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决依据就是函数单调性的定义．(共24张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.3
指数
函数
与对数函数的关系
把握热点考向
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第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
理解教材新知
已知对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x.
问题1：上述两个函数都是一一映射吗？
提示：都是．
问题2：两函数的自变量与因变量有何关系？
提示：y＝log2x的自变量就是y＝2x的因变量，y＝log2x的因变量就是y＝2x的自变量．
问题3：函数y＝2x＋1是y关于x的函数，试求出x关于y的函数式．
问题4：通常自变量用x表示，试用x表示问题3中的函数关系．
问题5：在同一坐标系中，作出y＝2x＋1和问题4中函数的图象．
问题6：两函数的图象有何特征？
提示：两函数的图象关于y＝x对称．
提示：如图．
1．反函数
当一个函数是 时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，称这两个函数互为 ．
2．图象的对称性
对数函数y＝logax(a>0，a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，a≠1) ，它们的图象关于直线 对称．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝ 表示．
一一映射
反函数
互为反函数
y＝x
f－1(x)
(1)并不是所有的函数都存在反函数，只有x与y一一对应的函数才有反函数．
(2)若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．
[例1] 求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
[思路点拨] 要求y＝2x＋1的反函数，应该用y表示x，求出反函数后要注明反函数的定义域，即原函数的值域．
[精解详析] ∵y＝2x＋1，0<2x<1，
∴1<2x＋1<2.
∴1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)，
∴f－1(x)＝log2(x－1)(1[一点通] 求反函数的一般步骤：
答案：D
2．函数f(x)＝3x(0A．(0，＋∞) B．(1，9]
C．(0，1) D．[9，＋∞)
解析：∵0即函数f(x)的值域为(1，9]．
故f(x)的反函数的定义域为(1，9]．
答案：B
[例2] 已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，则f(x)的表达式为________．
[思路点拨] 由(2，0)在y＝f－1(x)的图象上知，(0，2)在y＝f(x)的图象上．
[精解详析] ∵y＝f－1(x)的图象过点(2，0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0，2)，∴2＝a0－k，
∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图象过点(1，3)，
∴3＝a1＋1，
∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
[答案] f(x)＝2x＋1
[一点通] 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝
f－1(x))的图象上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图象上.利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的．
3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法不
正确的是 ( )
A．两者的图象关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图像
解析：由y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，知A、B正确.当a>1时，它们均为增函数;当0答案：D
.
4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能
是图中的 ( )
解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称，而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
∵在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，
∴排除A、C.当0答案：B
一个函数是否存在反函数可从以下两点进行判断：
(1)从函数观点来看，就是由式子y＝f(x)解出x，得x＝φ(y)后，看对于值域内任意一个y的值，由式子x＝φ(y)是否能确定定义域内有唯一的x值与之对应．
(2)用图象来判断，就是看函数y＝f(x)的图象与任一垂直于y轴的直线是否至多只有一个交点．(共45张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.1
对
数
及
其
运
算
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
知识点二
考点一
考点二
考点三
知识点三
知识点一
知识点四
第一课时
提示：3 －3
提示：不存在．
提示：利用对数求解．
对数的概念
对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作 ，即 ．其中，数a叫做对数的底数，N叫做 ，读作“ ”.
logaN
b＝logaN(a>0，且a≠1)
真数
b等于以a为底N的对数
根据对数的定义：对数式b＝logaN是ab＝N的另一种形式．
问题1：试求2log24的值．
提示：因为22＝4，log24＝2，所以2log24＝4.
问题2：由34＝81与4＝log381你能得出什么结论？
提示：3log381＝81.
指数式与对数式的互化 ab＝N
对数恒等式 alogaN＝
对数的性质 ①底的对数等于 ，即logaa＝
②1的对数等于 ，即loga1＝
③零和负数没有对数
常用对数 以10为底的对数，即log10N＝lg N
b＝logaN
N
1
1
零
0
问题1：我们知道am＋n＝am·an，那么logaM·N＝logaM·logaN正确吗？举例说明．
提示：不正确，例如log24＝log22×2＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.
问题2：你能推出loga(MN )(M>0，N>0)的表达式吗？
提示：能．
令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n.
由对数的定义知
logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n，
∴logaMN＝logaM＋logaN.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
问题1：对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
问题2：对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
问题3：由问题1，2你能得出什么结论？
1．换底公式
对数的换底公式：logbN＝ (a，b>0，a，b≠1，N>0)．
2．自然对数
(1)以 为底的对数叫做自然对数，logeN通常记作 ．
(2)自然对数与常用对数的关系：
ln N≈ lg N.
无理数e
ln N
2.302 6
(1)对数式logaN＝b可看做一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a>0，a≠1)的解；也可以看做一种运算，即已知底为a(a>0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式logaN＝b又可看做幂运算的逆运算．
(2)在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M>0，N>0，a>0，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．
[思路点拨] 依据ax＝N x＝logaN(a>0且a≠1)进行转化．
[一点通]
(1)在利用ax＝N x＝logaN(a>0且a≠1)进行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置．
(2)对数式与指数式的关系如图：
答案：C
[思路点拨] 解答本题可利用对数的性质及对数恒等式
a logaN＝N来化简求值．
[一点通]
(1)对数的基本性质常用来化简或求值，应用时注意底数的恰当选用．
(2)对数恒等式注意事项：①两底相同，即幂底与对数底相同；②对数的系数必须是1.
3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③
若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中，正确的是 ( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．
答案：C
答案：C
答案：5
[一点通] 对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
6．当a>0，且a≠1时，下列说法正确的是 ( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
答案：B
6．2log510＋log50.25＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝
log5(100×0.25)＝log525＝2.
答案：C
(1)在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log-39＝2.只有符合a>0，a≠1，且N>0时才有ax＝N x＝lgaN.
(2)利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：对于式中真数的积、商、幂、方根，运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：对于式中对数的和、差、积、商，运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(共24张PPT)
3.2
对数与对数函数
3.2.1
对
数
及
其
运
算
把握热点考向
应用创新演练
第三章
基本初等函数(Ⅰ)
考点一
考点二
第二课时
换底公式与自然对数
[例1] 计算下列各式的值：
(1)(log43＋log83)log32；
(2)log 2＋log279.
[思路点拨] 先用换底公式化为同底的对数，再运用运算性质运算．
[一点通] 利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用．
答案：A
3．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝__________．(用p，
q表示)
[思路点拨] 先求出x，y，z的表达式，即将已知指数式化为对数式，然后求解和证明．
[一点通] 对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简．
4．解方程(lg x)2＋lg x3－10＝0.
解：原方程变形为
(lg x)2＋3lg x－10＝0，
即(lg x＋5)(lg x－2)＝0，
∴lg x＝－5或lg x＝2，
∴x＝10－5或x＝100.
经检验知：x＝10－5和x＝100都是原方程的根．
6．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是
α，β，求αβ的值．
(1)换底公式主要用于计算、化简求值，用于计算时把底统一化成以10为底的对数．化简时，有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算，最后再得结果；②直接把题中对数全换成同一底的对数进行运算．