(共38张PPT)
3.2
3.2.1
第
3
章
考点一
考点二
考点三
把握热点考向
应用创新演练
第
二
课
时
考点四
3．2 对数函数
3．2.1 对数
第二课时 对数的运算性质及换底公式
[思路点拨] 利用对数的运算性质，将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算．
[一点通] 利用对数的运算性质解题时，应根据所求式子的结构，对真数进行分解或合并，常见的方法有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
1．计算(lg 2)2＋lg 2 lg 50＋lg 25＝________．
解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25
＝lg 2 lg 100＋lg 52＝2lg 2＋2lg 5＝2lg 10＝2.
答案：2
答案：0.826 6.
[例2] 已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.
[思路点拨] 利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底的对数，再进一步应用对数的运算性质求值．
[一点通]
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．
(2)换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．
4．若logab＝ logba(a≠b)，则ab等于________．
答案：1
5．已知lg 2＝a，lg 7＝b，用a，b表示log498.
6．计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
[思路点拨] 由条件可知，可以令3x＝4y＝6z＝k，
用k分别表示出x，y，z.然后再代入进行证明．
[一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．
答案：log25
[例4] 2011年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2011年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，
lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)
[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的2倍．
[一点通] 解对数应用题的步骤
(1)理解题意，弄清各字母的含义；
(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知ax＝N(a，N是常数，且a>0，a≠1)，求x；
(3)在ax＝N两边取以a为底的对数得x＝logaN.
(4)还原为实际问题，归纳结论．
9．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算
公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？
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阶段质量检测
核心要点归纳
章未小结
知识整合与阶段检测
知识整合与阶段检测
一、函数的概念
1．函数
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记作：y＝f(x)，x∈A.
(1)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合．
(2)函数的值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
(2)确定函数的定义域：
条件 方法
解析式中含分母的 使分母不为零
含开偶次方的 被开方数为非负数
含对数符号的 真数大于零，底数大于零且不等于1
实际问题 要使实际问题有意义
由y＝f(x)的定义域D，求y＝f(g(x))的定义域 解g(x)适合D的不等式
由y＝f(g(x))的定义域D求y＝f(x)的定义域 求g(x)在D上的值域
(3)确定函数的值域的方法：
①观察法；②配方法；③换元法；④分离常数法；⑤图象法；⑥单调性法等等．
(4)判断两个函数为相同函数的方法：
二、函数的基本性质
1．函数的单调性
(1)单调增区间和单调减区间：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．
(2)单调性和单调区间：
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
2．函数的最值
(1)定义：
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.
①如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；
②如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为
ymin＝f(x0)．
(2)求函数最值的常用方法：
①观察法．
②图象法．
③单调性法．
3．函数的奇偶性
定义 性质
奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)是奇函数 奇函数的图象关于(0，0)对称
偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)是偶函数 偶函数的图象关于y轴对称
函数奇偶性的判断方法：
①利用定义法判断函数的奇偶性的步骤是：首先考察定义域是否关于原点对称；然后验证f(－x)＝
－f(x)(f(－x)＋f(x)＝0)或f(－x)＝f(x)(f(－x)－f(x)＝0)对定 义域中的任意x是否成立．
②利用图象观察．
三、映射
1．定义
设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B.
2．两个“特殊”
映射是一种特殊的对应；
函数是一种特殊的映射．
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第一课时
1.2
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点三
考点二
第一章
知识点一
知识点二
知识点三
1．2 子集、全集、补集
考察下列集合
A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；
C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；
P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．
问题1：观察集合中的元素，集合A与B，C与D具有什么关系？
提示：集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，集合C中的任意一个元素都是集合D的元素．
问题2：集合P与Q的关系与前两组相似吗？
提示：不相似．集合P中的元素不都是集合Q中的元素，集合Q中的元素都是集合P中的元素．
问题3：集合{3}与{1,3}，元素3与{1,3}的关系是相同的吗？
提示：不一样．前两者属集合与集合的关系，后两者是元素与集合的关系．
1．子集
定义 如果集合A的 元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示 A B(或B A)
读法 集合A 集合B(或集合B 集合A)
图示
或
任意一个
包含于
包含
2．子集的性质
文字语言 符号表示
任何一个集合是它本身的子集
空集是任何集合的子集
A A
A
在知识点一所考察的A与B，C与D集合中．
问题1：集合A是集合B的子集，那么集合B是集合A的子集吗？
提示：集合B不是集合A的子集．
问题2：集合D是集合C的子集吗？
提示：集合D不是集合C的子集．
问题3：你能指出集合C与D的元素的确切关系吗？
提示：集合C中的元素都是集合D中的元素，但集合D中存在某元素x，它不属于集合C.
真
子
集 定义 如果 并且 ，那么集合A称为集合B的真子集
符号表示 A B或B A
读法 A B或B A
A B
A≠B
真包含于
真包含
观察下列各组中的3个集合．
(1)S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5，}，B＝{6,7,8,9,10，}；
(2)S＝R，A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x＜1，或x＞2}；
(3)S＝{x|x为中国人}，A＝{x|x为江苏人}，B＝{x|x为不是江苏人的中国人}．
问题1：各组中，它们都具备什么样的包含关系？
提示：A S，B S.即S都包含A，B.
问题2：集合S与另两个集合比较具有什么特点？
提示：集合S中的元素除了属于A的都属于B.
1．补集
自然语言 设A S，由S中 元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 (读作“ ”)
符号语言 S A＝
图形语言
不属于A的所有
s A
A在S中的补集
{x|x∈S，且x A}
2．全集
如果集合包含我们所要研究的 ，那么这个集合可以看作一个全集，全集通常记作 .
各个集合
U
1．“A是B的子集”的含义是：若x∈A，则一定有x∈B.它包含两层意思：①A＝B；②A B.
“A是B的真子集”的含义是：若x∈A，则x∈B，同时存在x∈B且x A，即B中至少含有一个元素不属于A.
2．子集和真子集应具备下列性质：
若A B，B C，则A C；
若A B，B C，则A C.
3．全集是相对于所要研究的几个集合而言的，在实数范围内讨论集合时，一般用R作为全集．
4． UA的数学意义包括两个方面，首先必须具备A U，其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}．
第一课时 子集、真子集
[例1] 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1[思路点拨] 分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．
[精解详析] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故B?A.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可发现A B.
[一点通] 判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素间的关系．当集合A中的元素都属于集合B时，有A B；当集合A中的元素都属于集合B且B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.
1．下列图形中，表示M N的是__________．
答案：③
解析：集合M＝{0,1}，N＝{－1,0,1}，P＝{0,1}，
由子集意义，得M N，M＝P，P N，M P.
所以①③④正确．
答案：①③④
3．判断下列命题的正误：
(1){2,4,6} {2,3,4,5,6}；(2){菱形} {矩形}；
(3){x|x2＋1＝0} {0}；(4){(0,1)} {0,1}．
解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；(3)中集合{x|x2＋1＝0}是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0,1)}是点集，而{0,1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4).
[例2] (2012·湖北高考改编)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0[思路点拨] 先确定集合A和B，再由A C B确定集合C.
[精解详析] 因为A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|04．若集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}，则A的子集个数为______．
解析：A＝{1}，故有2个子集 ，A.
答案：2
5．设S是非空集合，且满足两个条件：①S {1,2,3,4,5}；②
若a∈S，则6－a∈S.求集合S的个数．
解：由题意知，S中的元素应满足的条件是：1,5同时选，2,4同时选，3单独选．
用列举法表示出符合题意的全部集合S为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共有7个.
[例3] 已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B A？若存在，求出集合A，B；若不存在，说明理由．
[思路点拨] 先假设B A，分x＋2＝3或x＋2＝x2两种情况，求得x的值，再通过验证元素的特征确定A、B两个集合．
1．要正确区分元素与集合，集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“ ”表示．
(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向，如A B与B A是相同的，但A B与B A是不同的．
2．已知集合间包含关系，求字母的取值范围要注意使用以下方法：
(1)由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“A B”或“A?B且B≠ ”时，一定要讨论A＝ 和A≠ 两种情况，A＝ 的情形易被忽视，应引起足够的重视．
(2)分类讨论的思想，特别是解决有限集间的包含关系时，要进行适当的分类讨论建立方程或不等式求解．还要注意集合中元素的特征．
(3)数形结合的思想、特别是解决无限连续数集间的包含关系时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
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(4)有理数指数幂的运算性质：
①asat＝as＋t；
②(as)t＝ast；
③(ab)t＝atbt.
其中s，t∈Q，a>0，b>0.
2．指数函数图象与性质
图象特征 函数性质
a>1
0a>1 0向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数的图象都在x轴上方 函数的值域为(0，＋∞)
函数图象都过定点(0，1) a0＝1
图象特征 函数性质
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象上的点的纵坐标都大于1 在第一象限内的图象上的点的纵坐标都小于1 x>0，ax>1 x>0，0图象特征 函数性质
在第二象限内的图象上的点的纵坐标都小于1 在第二象限内的图象上的点的纵坐标都大于1 x<0，01
图象上升趋势是越来越陡 图象下降趋势是越来越缓 函数值开始增长速度较慢，到了某一值后增长速度极快 函数值开始减小速度极快，到了某一值后减小速度较慢
2．两种重要对数
常用对数 以10为底的对数lg N；
自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底数的对数ln N
5．对数的图象和性质
图象特征 函数性质
a>1
0a>1 0函数的图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0，＋∞)
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
图象特征 函数性质
向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R
函数的图象都过定点(1，0) loga1＝0
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
图象特征 函数性质
第一象限内的图象上的点的纵坐标都大于0 x>1，logax>0 00
第四象限内的图象上的点的纵坐标都小于0 01，logax<0
三、幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝ y＝x－2
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} {y|y≥0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 偶函数
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x
单调性 在R上递增 在(－∞，0)
上递减，
在(0，＋∞)
上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增
图象
公共点 (0，0)，(1，1)
函数 y＝ y＝x－2
单调性 在(－∞，0) 和
(0，＋∞) 上递减 在(－∞，0) 上递增，在(0，＋∞) 上递减
图象
公共点 (1，1)
四、函数与方程
1．函数的零点
一般地，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数
y＝f(x)的零点．
(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是图象与x轴交点的横坐标．
(2)求函数零点的方法：
①代数法，解f(x)＝0求得；
②几何法：画图象求得；
③二分法：把零点所在区间逐步二分求得近似解．
2．函数零点的存在性定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
①f(a)f(b)<0是关注条件，满足f(a)f(b)<0时，函数
y＝f(x)在(a，b)内至少有一个零点，但f(a)·f(b)>0时，函数y＝f(x)在(a，b)内也可能存在零点．
②并不是所有的函数都有零点．
3．二分法
用二分法求方程f(x)＝0零点近似值的步骤：
第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
第二步：求区间(a，b)的中点x1；
第三步：计算f(x1)，
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；
第四步：判断是否达到精确要求：即区间端点a、b的值按精确要求是否相等，若相等此值则为函数零点的近似值，否则重复第二、三、四步．
2．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
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第
3
章
知识点一
考点一
考点二
知识点二
考点三
3.2
3.2.2
理解教
材新知
把握热点考向
应用创新演练
第
一
课
时
知识点三
3．2 对数函数
3．2.2 对数函数
细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，…
问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？
提示：6次．
问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？
提示：是唯一确定的．
问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？
提示：由y＝2x可得x＝log2y.
一般地，函数y＝ 叫做对数函数，它的定义域是 ．
logax (a>0，a≠1)
(0，＋∞)
提示：
问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？
提示：没有交点．因为x>0.
问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝logax过这一点吗？
提示：有公共点(1，0)，过．
问题4：这两个函数的图象有什么关系？
提示：关于x轴对称．
问题5：它们的增减性怎样？
提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．
a＞1 0＜a＜1
图象
对数函数的图象与性质
性质 定义域：
值域：
过点 ，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是单调
在(0，＋∞)上是单调
(0，＋∞)
(－∞，＋∞)
(1，0)
增函数
减函数
问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．
提示：
问题2：它们的图象有什么关系？
提示：关于直线y＝x对称．
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为 ，其图象关于直线 对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作 ．
反函数
y＝x
y＝f－1(x)
1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．
2．由指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数
y＝logax(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：
由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．
3．不论a(a>0且a≠1)取何值，函数f(x)＝logax必过定点(1，0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．
第一课时 对数函数的概念、图象和性质
[思路点拨] 根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．
[一点通] 求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.
[例2] 作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间．
[思路点拨] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间．
y＝log2x→y＝log2(x＋1)→y＝|log2(x＋1)|→y＝|log2(x＋1)|＋2.
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，如图(4)．
由图可知，函数的单调递减区间是(－1，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．
[一点通] 按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y＝f(x)图象，然后再按顺序作函数y＝|f(x＋a)|＋b的图象．
法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选定(2)．
答案：(2)
[例3] 比较下列各组数的大小：
(1)log0.13与log0.1π；
(2)log45与log65；
(3)3log45与2log23.
[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小．
[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0，1，－1等进行比较．
答案：c答案：c7．比较下列各组数的大小：
(1)log0.30.1与log0.33；
(2)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0，a≠1)；
(3)log3π，log76与ln 0.2.
函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
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第二课时
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第1章
考点一
考点二
1.2
1．2 子集、全集、补集
第二课时 全集、补集
[例1] (1)(2011·四川高考改编)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则 MN＝__________.
(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，则 UM＝__________.
[思路点拨] 利用补集的定义求解．首先明确全集．
[精解详析] (1)∵M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，根据补集的定义知 MN＝{1,3,5}．
(2)把集合M在数轴上表示出来(如图)．
∵U＝R，
∴ UM＝{x|x>2或x<－2}．
[答案] (1){1,3,5} (2){x|x>2或x<－2}．
[一点通] 求给定集合A的补集通常利用补集的定义，即从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．
1．下列说法：
①若S＝{1,2,3}，A＝{2,1}，则 SA＝{2,3}；
②若U＝{1,2,3}，A＝ ，则 UA＝A；
③若U＝{1,2,3}，A＝{1,2,3}，则 UA＝ ；
④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3}，则 UA＝{1}．
其中正确的有__________．(填序号)
答案：③④
2．(1)设全集U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，则 UA＝
_________.
(2)设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}， UA＝{5,7}，则a的值为__________．
解析：(1)∵U＝{－1,0,1,2}，A＝{－1,0,1}，
∴A U且U中只有元素2 A.
∴ UA＝{2}．
(2)∵U＝{1,3,5,7,9}， UA＝{5,7}，
∴A＝{1,3,9}．
又∵A＝{1，|a－5|,9}，
∴|a－5|＝3即a＝2或8.
答案：(1){2} (2)2或8
[例2] 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A UB，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 首先应对B是否为空集进行讨论，得出 UB，然后再利用A UB得关于a的不等式求解即可．
3．设全集U＝{x|x≤4且x∈N}，集合M＝{2，a－5}，
M U， UM＝{0,1,3}，则a＝________.
解析：由已知得：U＝{0,1,2,3,4}，
且M U， UM＝{0,1,3}，∴M＝{2,4}．
又M＝{2，a－5}，
∴a－5＝4，即a＝9.
答案：9
4．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，
若 UA＝{0}，求x的值．
解：∵ UA＝{0}，∴0∈U，但0 A.
∴x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，
∴x＝0或－1或－2.
当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，不符合元素的互异性；
当x＝－1时，|2x－1|＝3,3∈U；
当x＝－2时，|2x－1|＝5，但5 U.
综上，x＝－1.
关于全集、补集应注意以下四点：
(1)求一个集合的补集必须要有前提条件——全集．
(2)对于全集U中的每一个元素x，x∈A与x∈ UA二者有且只有一个成立．
(3)补集与全集的性质：
①A U， UA U；② U( UA)＝A；③ UU＝ ， U ＝U.
(4)与补集有关的常见结论：
若A B，则 UA UB；若 UB UA，则A B；若A＝B，则 UA＝ UB；若 UA＝ UB，则A＝B.
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1.3
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第1章
知识点一
考点一
考点二
知识点二
知识点三
考点三
1．3 交集、并集
考察集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7}．
问题1：这两个集合有相同的元素吗？由它们的公共元素组成的集合是什么？
提示：有相同元素3,4,5，它们组成的集合是{3,4,5}．
问题2：集合M＝{x|x是等腰三角形}和集合N＝{x|x是直角三角形}的公共元素组成的集合是什么？
提示：{x|x是等腰直角三角形}．
问题3：集合C＝{x|x>3}与集合D＝{x|x<0}的公共元素组成的集合是什么？
提示：没有公共元素，对应集合为 .
交集
定义 一般地，由所有 集合A且 集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集．
符号表示： A∩B＝
Venn图表示
如图中阴影部分表示：
属于
属于
{x|x∈A，且x∈B}
在知识点一所提到的集合中．
问题1：由集合A与B的所有元素组成的集合P是什么？
提示：P＝{1,2,3,4,5,6,7}．
问题2：由集合M与N的所有元素组成的集合Q是什么？
提示：Q＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．
问题3：由集合C与D的所有元素组成的集合R是什么？
提示：{x|x>3或x<0}．
并集
定义 一般地，由所有 集合A 属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集
符号表示 A∪B＝
Venn图表示
如图中阴影部分表示：
属于
或者
{x|x∈A，或x∈B}
设a，b∈R，且a名称 定义 符号 数轴表示
闭区间 {x|a≤x≤b}
半开半闭区间 {x|a≤x{x|a{x|x≥a}
{x|x≤b}
[a，b]
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(－∞，b]
名称 定义 符号 数轴表示
开区间 {x|a{x|x>a}
{x|xR
(a，b)
(a，＋∞)
(－∞，b)
(－∞，＋∞)
1．并集的理解
“A∪B”是所有属于A或属于B的元素并在一起构成的集合，所以要求“A∪B”：
(1)只需把集合A、B的元素合在一起；
(2)使A、B的公共元素在并集中只出现一次即可．
2．交集的理解
(1)A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；
(2)A与B的所有公共元素都属于A∩B；
(3)当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
[例1] (1)(2012·江苏高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
(2)(2012·浙江高考改编)设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩( RB)＝________.
[思路点拨] (1)利用集合的并集定义求解；
(2)可以先按集合的补集定义求出 RB，再求交集．
[精解详析] (1)因为A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，所以A∪B＝{1,2,4,6}；
(2)因为B＝{x|－1≤x≤3}．
所以 RB＝{x|x<－1，或x>3}．
作出数轴表示集合A和 RB，如图所示．
由图可知A∩ RB＝{x|3[答案] (1){1,2,4,6} (2){x|31．(2012·湖南高考改编)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2
＝x}，则M∩N＝________.
解析：∵N＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}．
答案：{0,1}
解：如图，
∵A＝{x|－2B＝{x|－3≤x≤2}，
∴ UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x|x<－3，或2∴A∩B＝{x|－2( UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2[例2] (1)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5,
1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．
(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝ ，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)先由A∩B＝{9}知9∈A.再由2a－1＝9或a2＝9得a验证．
(2)借助于数轴分析求解．
[一点通]
解决这种题型应抓住解题的突破口．当用集合列举法表示有限集时，应将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程或方程组求解．但要注意分类讨论思想．
当集合为描述法表示的不等式数集时，应利用好数轴这把工具，转化为不等式或不等式组求解，但当出现交集为空集的情形时，应首先讨论集合中有没有空集．这时，不等式的端点值往往是极佳的切入点．
3．集合P＝{1,3，m}，Q＝{m2,1}，且P∪Q＝{1,3，m}，
求实数m的值．
4．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0，m∈R}，
当A∩B＝B时，求m的取值范围．
[思路点拨] 把赞成A和赞成B的人分成两个集合，利用集合的交、并运算解决．
[一点通] 集合命题中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数问题，先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题，运用集合知识进行求解，然后将数学问题翻译成实际问题的解进行检验，从而使问题得以解决，其中用Venn图进行分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解．
答案：12
解：设参加径赛的为集合A，参加田赛的
为集合B，参加球类比赛的为集合C，同
时参加田赛和球类比赛的人数为x，根据
题意画出Venn图，如图所示．
由题意得
9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，
解得x＝3.
即同时参加田赛和球类比赛的共有3人，只参加径赛的人为9人．
1．交集的相关性质
(1)A∩A＝A，即一个集合与其本身的交集是其本身．
(2)A∩ ＝ ，即一个集合与空集的交集是空集．
(3)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．
(4)A∩B A，A∩B B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．
(5)A∩B＝A A B，A∩B＝B B A.
2．并集的相关性质
(1)A∪A＝A，即一个集合与其本身的并集是其本身．
(2)A∪ ＝A，即一个集合与空集的并集是其本身．
(3)A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得)．
(4)A A∪B，B A∪B，即一个集合是其与任一集合并集的子集．
(5)A∪B＝A B A，A∪B＝B A B.
(6)A∩B (A∪B)．
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第
3
章
考点一
考点二
考点三
3.1.1
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
理解教
材新知
3.1
3．1 指数函数
3．1.1 分数指数幂
在初中，我们学方根和立方根．
问题1：4的平方根是什么？8的立方根是什么？
提示：±2 2
问题2：是不是任何数的平方根都有两个，立方根都只有一个？
提示：不是的，正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；任意实数都有立方根，且只有一个．
问题3：若x5＝32，考察一下x可取什么值？
提示：x可取2.
问题4：若x4＝16，考察一下x可以取什么值？
提示：x可以取2，－2.
平方根 若x2＝a，那么x称为a的平方根
立方根 若x3＝a，那么x称为a的立方根
n次实数
方根 一般地，如果 ，那么称x为a的n次实数方根，其中
根式 式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数
xn＝a
n
a
2.零的n次方根
0的n次实数方根等于 .
0
n>1且n∈N*
负分数指数幂
2．分数指数幂的运算性质
在条件s，t∈Q，a>0，b>0下
(1)asat＝as＋t；
(2)(as)t＝ast；
(3)(ab)t＝atbt.
[思路点拨] 利用根式的性质求解．
答案：a－1
[思路点拨] 根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
[思路点拨] 将根式化为幂的形式，然后按照幂的运算性质进行化简计算．
[一点通] 根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解．对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序．
(1)有括号先算括号里的；无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，要先化成分数，底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于应用指数幂的运算性质．
2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．对于计算结果，不强求统一用什么形式表示，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂．
3．带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值；而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．
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1.1
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第1章
知识点一
考点一
考点二
知识点二
知识点三
知识点四
考点三
考点四
1．1 集合的含义及其表示
观察下面的语句：
(1)所有小于10的自然数；
(2)高一(2)班的所有帅哥；
(3)2011年～2012赛季所有参加CBA联赛的球队；
(4)方程x2－1＝0的所有实数根；
(5)我们班的高个子同学．
问题1：以上各语句中所要研究的对象分别是什么？
提示：分别为自然数，帅哥，球队，实数根和高个子同学．
问题2：哪几个语句中的对象不能确定？为什么？
提示：(2)、(5)中对象不能确定．因为帅哥和高个子没有明确的划分标准．
问题3：你能指出第(1)、(4)中的确切的对象吗？
提示：(1)中：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
(4)中：1，－1.
集合的定义：一般地，一定范围内某些 、
对象的全体构成一个集合，集合中的
称为该集合的元素，简称元.
确定的
不同的
每一个
对象
已知英文字母分元音字母和辅音字母．
问题1：记元音字母组成的集合为A，辅音字母构成的集合为B，那么字母O与字母G与A、B关系怎样？
提示：字母O是集合A的元素，不是集合B的元素．字母G是集合B的元素，不是集合A的元素．
问题2：能否存在某个字母，它既是A的元素，又是集合B的元素？
提示：没有．
1．常用数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
N N*或N＋ Z Q R
2．元素与集合的关系
关系 定义 记法 读法
属于 a是集合A的元素
不属于 a不是集合A的元素
a∈A a属于A
a A或a A a不属于A
观察下列集合：
(1)中国的直辖市；
(2)2的所有正因数；
(3)不等式x－2≥3的解集；
(4)所有偶数的集合；
(5)方程x2－3x＋2＝0的解集．
问题1：上述五个集合中的元素能分别一一列举出来吗？
提示：(1)、(2)、 (5)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．
问题2：设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们的特征表示出来．
提示：(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈Z.
问题3：(2)、(5)中的两个集合有什么关系，如何表示呢？
提示：(2)、(5)中两个集合(分别记为集合A、B)的元素完全相同，所以是相等集合，可表示为A＝B.
列举法 将集合的元素 出来，并置于花括号
“{ }”内，元素之间用逗号分隔，用这样表示集合的方法称为列举法
描述法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成 的形式，用这样表示集合的方法称为描述法
一一列举
{x|p(x)}
1．集合的表示法
2.集合相等
如果两个集合所含的元素 (即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
完全相同
考察下列集合：
(1)方程x2－4＝0的解组成的集合；
(2)不等式x>3的解组成的集合；
(3)方程x2＝－1的解组成的集合．
问题1：集合(1)中有几个元素？
提示：两个，分别是2和－2.
问题2：集合(2)中的元素能数得尽吗？
提示：数不尽．即集合中的元素有无限个．
问题3：集合(3)中的元素是什么？
提示：集合(3)中没有元素．
集合的分类
有限集 含有 的集合
无限集 含有 的集合
空集 的集合，记作
有限个元素
无限个元素
不含任何元素
1．集合是具有共同的特征(或属性)的对象组合而成，且这个特征(或属性)有确定的划分标准．
2．集合与元素间的关系是用符号“∈”或“ ”表示的，是集 合中的元素，必须是确定的，对于集合A与元素a，要么a∈A，要么a A，二者必居其一．集合中的元素是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中，只能算作一个元素．
3．列举法和描述法是表示集合的两种常用方法．列举法表示集合直观明了，可以明确知道集合中具体的元素及元素个数，但当元素个数无限时，多用描述法．
[例1] 判断下列每组对象能否构成一个集合：
①高一(1)班成绩较好的同学；
②2012年度诺贝尔文学奖获得者；
③立方接近于零的正数；
④2012年奥运会所有比赛项目；
⑤1,2,3,2.
[思路点拨] 解答本题可根据集合的意义，考虑每组对象是否具有明确的标准，是否互异，这是判断它们能否构成集合的依据．
[精解详析] ②④中的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；
①中“成绩较好”的标准不明确，不能构成集合；
③中“接近零”的标准不明确，不能构成集合；
⑤中含有两个2，不满足互异性，不能构成集合．
[一点通] 判断某些对象能否组成集合，关键看这些对象是否具有集合中元素的确定性，互异性特征，若具有则可以组成集合，否则就不能组成集合．
1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的
正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．
其中能构成集合的是__________．(填序号)
答案：③④
[例2] 已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.
[思路点拨] 由－3∈A，得－3＝a－2或－3＝
2a2＋5a，求出a后再进行验证．
3．集合P＝{1，m，m2－3m－1}，若3∈P且－1 P，则
实数m的值为________．
解析：∵3∈P且－1 P.∴当m＝3时，P＝{1,3，－1}，与－1 P矛盾．当m2－3m－1＝3时，m＝4或m＝－1
(舍去)，此时P＝{1,4,3}．符合题意．∴m＝4.
答案：4
4．已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若x2＝1，则x＝±1，当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合条件；
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由上可知，x＝0和x＝1都舍去．
综上所述，x＝－1.
[思路点拨] 先弄清集合中的元素是数、点，还是其它对象，是有限个还是无限个，然后再选择适当方法表示．
[一点通]
(1)用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．
(2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
解：(1){x＋1，x－1}；
(2){W，e，l，c，o，m，t，B，i，j，n，g}；
(3){P||PA|＝r}．
[例4] 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
[思路点拨] 解答本题可考虑利用集合相等的定义来解．即元素完全相同，还要注意集合中元素的互异性．
[精解详析] ∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，
∴x≠0.
又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0.
∴x＝y.
从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1.
经验证x＝0，x＝1均不合题意，
∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．
[一点通]
(1)判断两个集合相等的依据是两集合的元素必须完全相同．
(2)灵活运用元素的互异性是解好本题的关键．
答案：2
8．数集X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}之间
的关系是________．
解析：∵若n为奇数，可设n＝2k－1(k∈Z)，
则x＝4k－1.
若n为偶数，可设n＝2k(k∈Z)，则x＝4k＋1.
∴X＝Y.
答案：X＝Y
1．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征
(1)确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，两者必居其一．也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征．
(2)互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的(即互不相同)，相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素．
(3)无序性：在一个集合中，通常不考虑元素之间的顺序，也就是说，{a，b，c}＝{b，c，a}．
2．集合常用的表示方法是列举法和描述法
(1)一般情况下，对有限集，元素不太多的情况下，宜采用列举法，应注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号．
(2)对无限集，一般采用描述法．它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征，但应注意六点：①写清楚集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在括号内；⑥用于描述的语句要力求简明、确切．
3．解集合问题的关键是：弄清集合是由哪些元素构成的，即将抽象的问题形象化、具体化，将描述法表示的集合用列举法表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形表示集合，如用数轴表示数集，用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合．
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第
2
章
考点一
考点二
考点三
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理解教
材新知
2.3
2．3 映射的概念
在某次数学测试中，高一·(16)班的60名同学都取得较好的成绩．把该班60名同学构成一个集合A，他们的成绩构成一个集合B.
问题1：集合A中的每一个同学，在集合B中能找到惟一成绩与其对应吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的每一个元素，在集合A中有几个元素与之对应？
提示：可能一个也可能多个．
问题3：从集合A到集合B中的对应是函数吗？为什么？
提示：不是函数．因为函数的对应是数集到数集的对应．
问题4：你能举出两个满足上述的对应，且不是函数吗？
提示：①数轴上的点集与实数集的对应；
②某中学同学与学号的对应．
映射的含义：设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的 元素，在B中都有 的元素与之对应，那么，这样的 叫做集合A到集合B的映射，记作： .
每一个
唯一
单值对应
f：A→B
1．映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即f具有方向性．
2．在A到B的映射中，A中每一个元素都可以在B中找到惟一一个元素和它对应，但A中的不同元素允许对应B中的相同元素．
3．映射是特殊的对应，它只允许“多对一”“一对一”，但不允许“一对多”．函数又是一种特殊的映射，它是建立在两个数集上的映射．
[例1] 下图中各图表示的对应构成映射的有_______．
[思路点拨] 利用映射的概念进行判断．
[精解详析] (1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有惟一的元素与之对应．
对于(4)(5)，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；
对于(6)，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
[答案] (1)(2)(3)
[一点通] 判断一个对应是A到B的映射，应从两个角度去分析：①“对于集合A中的每一个元素”；②在B中“有惟一的元素与之对应”，这两个条件缺一不可；若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可．
1．给出下列四个对应，是映射的是________．
解析：①不是映射，因为元素c没有对应元素；④不是映射，因为元素a有两个对应元素．只有②③符合映射的定义．
答案：②③
解：(1)∵1∈A，在f作用下，1→|1－1|＝0 B，
∴不是映射，故也不是函数．
(2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射．又A，B均为数集，因此也能构成函数．
(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆惟一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数．
[例2] 设集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，f：P→Q是从集合P到集合Q的映射f：(x，y)→(x＋y，xy)．求
(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素；
(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素．
[思路点拨] (1)把(3,2)代入到对应法则就可求出对应元素；(2)可以采用方程(组)的思想求解．
[一点通] 求对应元素的一般思路是：若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个．
3．在映射f：A→B中，A＝R，B＝R，且f：x→|2x＋3|，
则与B中的元素5对应的A中的元素为________．
解析：由|2x＋3|＝5得2x＋3＝5或2x＋3＝－5.
∴x＝1或x＝－4.
答案：1或－4
4．已知映射：f：A→B，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，
f：A中的元素(x，y)对应B中的元素为(3x－2y＋1,
4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)在B中对应的元素；
(2)B中元素(1,2)与A中哪个元素对应？
[例3] 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
[思路点拨] 需分“三对一”“三对二”
和“三对三”讨论，用图示表示．
[精解详析] (1)当A中元素都对应一个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以a，b，c必须都对应元素0.(如图)共有1个映射．
(2)当A中元素对应两个元素时，根据f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面4种情况
(3)当A中元素对应三个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面两种情况．
因此，满足题设条件的映射有7个．
[一点通] 对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
5．已知A＝{a，b}，B＝{0,1}，则有A到B的映射共
有________个．
解析：共有22＝4个．
答案：4
6．设M＝{a，b}，N＝{－2,0,2}，则从M到N的映射中满
足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________．
答案：6
对映射定义的理解：
(1)A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即从集合A到集合B的对应与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)集合A中每一个元素，在集合B中必须有对应元素，并且对应元素是惟一的；
(4)集合A中不同元素，在集合B中对应的元素可以是相同的；
(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应元素．
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第
2
章
考点一
考点二
考点三
2.1.2
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
理解教
材新知
2.1
2．1 函数的概念
2．1.2 函数的表示方法
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个函数关系．
问题1：函数的定义域是什么？
提示：{1,2,3,4,5}．
问题2：y与x的关系是什么？
提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
提示：
铅笔数x/支 1 2 3 4 5
钱数y/元 0.5 1 1.5 2 2.5
问题4：试用图象表示x与y之间的关系．
提示：
问题5：同一个函数是否可以同时用列表法、图象法和解析法表示？
提示：不一定．如y＝2x＋1不可以用列表法表示，同样并不是所有函数都有解析式．
函数的表示方法
列表法 用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法
解析法 用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法，这个 叫做函数的解析表达式，简称
图象法 用 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法
列表
等式
等式
解析式
图象
某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足
5公里的按5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，汽车走的里程为
x公里，票价为y元．
问题1：y是x的函数吗？为什么？
提示：是．因为在x∈(0,20]内的每一个值，都对应着惟一的票价，满足函数关系．
问题2：其函数的定义域和值域各是什么？
提示：定义域是(0,20]，值域是{2,3,4,5}．
问题3：其函数关系能否用某一个等式表示？
提示：不能．因为x在不同的范围内取值时，y的对应值不同．
分段函数的定义：在定义域内 ，有
的函数．
不同部分上
不同的解析表达式
1．函数有三种表示方法，即解析法、列表法和图象法，但并不是任意一个函数都能用三种方法来表示．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，每一分段是这个函数的一部分．分段函数的图象由几个不同部分组成，它的定义域是各段“定义域”的并集．
[例1] (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)＝x2－3x＋2，求f(x＋1)的解析式；
(3)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)的解析式．
[思路点拨] (1)用待定系数法；(2)采用代入法；(3)采用换元法或配凑法．
(2)∵f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－3(x＋1)＋2＝x2－x
即f(x＋1)＝x2－x.
(3)法一：令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2
＝t2－2t＋1－3t＋5＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
法二：∵x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
[一点通] 求函数解析式的常见解法
(1)已知函数类型，可用待定系数法求解：若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)；若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
(2)已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法和换元法，配凑法是将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法是令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
[思路点拨] (1)用代入法，按“由里向外”的顺序进行；(2)分别作出三个区间段的函数图象，合起来即为f(x)的图象．(3)由(2)数形结合可得．
[精解详析] (1)∵4<5≤5，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
又∵0<1≤4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.
(2)画出函数图象如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知：函数的值域为[－3，－2)
∪[－1，8]．
[一点通] 分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以其图象也是由几部分组成的，可以是由光滑的曲线段组成，也可以是孤立的点或几段线段组成；求分段函数的函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一区间，就用哪一区间上的解析式．
解析：∵g(π)＝0，f(0)＝0，∴f(g(π))＝0.
答案：0
(2)该函数中y＝1(x≥1)表示平行于x轴的一条射线．
作出图象如图．
(2)这个函数的图象如图．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
[例3] 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？
[思路点拨] (1)利用待定系数法求；
(2)根据(1)中解析式说明；
(3)利用(1)的结论计算．
(2)由(1)知收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，∵0.65×100＝65<105，故x>100，
∴105＝0.8x－15，x＝150.
即若用户月用电62度时，则用户应缴费40.3元；若用户月缴费105元，则该用户该月用了150度电．
[一点通] 在解答实际问题中的函数问题时，应注意以下几点：
(1)认真读懂题意；先将文字语言转化为数学语言；
(2)结合各变量的等量关系，构建函数解析式；
(3)准确写出函数的定义域．
6．某运输公司运货的价格规定是：如果运输里程不超过
100 km，运费是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km收费，请写出运费y(元)关于运输里程数x(km)之间的函数关系式________．
7．某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中
发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：
x 30 40 45 50
y 60 30 15 0
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数
据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与
x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根
据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价
x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
1．关于分段函数的问题
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)已知分段函数的函数值求自变量的值要进行讨论并注意验证．
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集；分段函数的值域是各段“值域”的并集，其最值是各段中的最值中的最值；图象是由各区间上的图象组合而成．
2．解决数学应用题的一般程序为：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，经过去粗取精，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论(结果)返回到实际问题中．
点此进入(共71张PPT)
考点七
考点一
考点二
考点三
考点四
高
考
10
大高
频
考
点
例
析
考点五
考点六
考点八
考点九
考点十
高考10大高频考点例析
考查方式 本考点主要考查集合中元素的特征，集合的表示法，集合相等，元素与集合的关系以及集合与集合的关系等．或根据集合关系，求字母参数的值．题型多为客观题．
备考指要 要理解集合的含义，从元素入手，明确集合中元素的特性，理解集合的包含与相等的概念，理解元素与集合的从属关系，掌握集合的表示方法，对复杂的集合要借助数轴和Venn图分析，同时解题时应注意“空集”这一“陷阱”，对于集合中的字母，要分类讨论.
[例1] (1)(2012·江西高考改编)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，x∈B}中元素有________个．
(2)(2011·安徽高考改编)设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是________．
[解析] (1)当x＝－1，y＝0时，z＝－1；
当x＝－1，y＝2时，z＝1；
当x＝1，y＝0时，z＝1；
当x＝1，y＝2时，z＝3.
故z的值为－1，1，3，故所求集合为{－1，1，3}，共3个元素．
(2)由题意知，集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
[答案] (1)3 (2)56
答案：1
解析：由题意分两种情况讨论．
(1)a＋b＝36，
又a，b∈N*，a与b同奇偶；
则有如下情况，
a＝1，b＝35；a＝2，b＝34；a＝3，b＝33；
a＝4，b＝32…；
a＝35，b＝1，共有35种．
(2)ab＝36，
又a，b∈N*，a与b异奇偶．
则有如下情况：
a＝1，b＝36；a＝3，b＝12；a＝4，b＝9；
a＝9，b＝4；a＝12，b＝3；a＝36，b＝1；共有6种．
综上可知集合m中元素的个数是41.
答案：41
考查方式 本考向以考查概念和计算为主．考查集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看，主要以填空题形式出现．常联系不等式的解集与不等关系，考查数形结合、分类讨论等数学思想方法．
备考指要 首先要明确集合中的元素，理解交、并、补集的含义，正确进行交集、并集、补集的运算，有时借助数轴或Venn图解题更直观、简捷，因此分类讨论及数形结合的思想方法是解决此类问题的常用方法.
[解析] (1)∵M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，
∴M∩N＝{x|1(2)S∩( UT)＝{1，4，5}∩{1，5，6}＝{1，5}．
[答案] (1){x|13．(2011·重庆高考)设U＝{0，1，2，3}，A＝
{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：依题意得A＝{0，3}，因此有0＋3＝－m，m＝－3.
答案：－3
4．设全集U＝{－2，－1，1，2}，A＝{－2，1，2}，
B＝{－1，2}，则B∩( UA)＝________．
解析：∵U＝{－2，－1，1，2}，∴ UA＝{－1}，
∴B∩( UA)＝{－1}．
答案：{－1}
5．已知U＝R，集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x
的方程ax2－x＋1＝0有实根}，求A∪B，A∩B，A∩( UB)．
考查方式 函数的三要素包括解析式、定义域和值域，对它们的考查多以基础题为主．考查解析式往往是待定系数法，代入法求解析式，有时结合函数的应用．对定义域、值域的考查多与二次函数、指数、对数函数和幂函数相结合，题型主要以填空题为主，有时在解答题中，定义域、值域会以隐含条件出现．
备考指要 备考时，要求掌握求函数定义域、值域和解析式的常用方法：
(1)求定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示.
(2)求值域要掌握常用的方法：单调性法、配方法、换元法、图象法.
(3)求解析式要掌握待定系数法、换元法或配凑法，求得解析式后要注明函数的定义域.
答案：{x|1答案：(－∞，2] [－2，＋∞)
8．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x
＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．
答案：g(x)＝9－2x
考查方式 分段函数是近年来高考考查的热点，主要考查求分段函数的函数值，已知函数值求自变量的值，分段函数的单调性以及建立分段函数模型等，题型主要是填空题．
备考指要 要求理解分段函数的概念，分段函数的定义域、值域等，解决这类问题的基本原则是分段求解．应注意分段函数是一个函数而不是几个函数.
解：当x≤1时，x－1≤0，故0<3x－1≤1.
由此可得－2<3x－1－2≤－1.
当x>1时，1－x<0，故0<31－x<1.
由此得－2<31－x－2<－1.
故所求函数的值域为(－2，－1]∪(－2，－1)＝(－2，－1].
考查方式 函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，是每年高考必考内容，主要考查函数图象的选择、图象的变换及图象应用，题型以填空题形式出现．
备考指要 在判断函数图象时，要充分利用特殊点以及图象的对称关系来判断，对于图象的应用作图要准确，否则结论易出错.
[解析] 法一：(图象变换法)当0法二：(特殊点法)由题意可知函数y＝ax－a(a>0且a≠1)必过点(1，0)，故只有③项符合．
[答案] ③
答案：y轴
12．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a
的取值范围是________．
考查方式 本考向主要考查判断函数的单调性，或利用函数单调性求函数的最值、比较两个数的大小及求参数范围．对于比较数的大小多构造指数、对数函数、幂函数，同时应注意底数是否大于1.题型既有填空也有解答题．
备考指要 理解函数单调性的定义，会用定义法、图象法和性质求函数的单调区间或判断函数的单调性．能利用单调性比较大小或求最值.
[例6] (2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
答案：－6
15．已知函数f(x)＝x2＋ax，且对任意的实数x都有f(1＋x)＝
f(1－x)成立．
(1)求实数a的值；
(2)利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
解：(1)由f(1＋x)＝f(1－x)得，
(1＋x)2＋a(1＋x)＝(1－x)2＋a(1－x)，
整理得：(a＋2)x＝0，
由于对任意的x都成立，∴a＝－2.
(2)根据(1)可知f(x)＝x2－2x，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
设x1>x2≥1，
则f(x1)－f(x2)＝(x12－2x1)－(x22－2x2)
＝(x12－x22)－2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－2)．
∵x1>x2≥1，则x1－x2>0，且x1＋x2－2>2－2＝0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数.
考查方式 对函数的奇偶性主要考查判断函数的奇偶性、利用奇偶性求函数式中参数的值，有时也利用奇偶性求解析式；还有奇偶性与其他性质结合命题，其难度较大，题型主要以填空题的形式出现，有时也与其它知识综合以解答题的形式出现.
备考指要 函数的奇偶性是函数的整体性质，要会应用定义，图象及性质判断函数的奇偶性，尤其是定义是解决本部分问题的关键；掌握奇偶函数的常用性质.
16．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋
2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________．
解析：令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－x－2x＋b，
又因为f(x)在R上是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，
即b＝－1，f(x)＝－2－x＋2x＋1，
所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3.
答案：－3
17．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函
数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0 a＝0或b＝－2
答案：－2x2＋4
考查方式 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，换底公式等，主要以填空题为主．
备考指要 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子，分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
[答案] (1)π (2)2
答案：－23
20．若a，b是方程2lg2x－lg x4＋1＝0的两个实根，
求lg(ab)(logab＋logba)的值．
考查方式 本考向的考查主要表现在：①以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质；②灵活运用性质进行大小比较、方程、不等式求解等．考查题型以填空题为主．
备考指要 要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质、图象变换；方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增解；大小比较直接利用单调性和中间值解决.
答案：c答案：(10，12)
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)．
考查方式 函数与方程是新课标中新增内容，也是高考考查的热点．主要考查求函数的零点，函数零点的判断及简单的方程根的分布问题，考查用函数与方程的思想解决问题．
备考指要 理解函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，弄清函数零点、方程的根与函数图象与x轴交点的关系；理解函数零点存在性定理，会用该定理判断零点的个数，学会用函数与方程的思想解决简单交点个数问题，了解二分法.
[例11] (2012·天津高考改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点有________个．
[解析] 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3在区间(0，1)内的图象的交点个数，作出图象即可知两个函数图象在区间(0，1)内有1个交点．
[答案] 1
25．(2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且
a≠1)．当2解析：令y1＝logax，y2＝b－x，函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y＝b－x在x轴上的截距b满足31＋3－4＝0.根据函数零点定理可得函数f(x)的零点在区间(2，3)内，故n＝2.
答案：2
26．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是________(将
序号填在横线上)
①(－2，－1) ②(0,1) ③(－1,0) ④(1,2)
答案：③(共49张PPT)
应用创新演练
第
3
章
考点一
考点二
考点三
第
一
课
时
把握热点考向
知识点一
知识点二
理解教
材新知
3.4
3.4.1
知识点三
3．4 函数的应用
3．4.1 函数与方程
问题1：方程x2－2x－3＝0和x2－2x＋1＝0的根分别是什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的根分别是－1，3；
方程x2－2x＋1＝0的根是1.
问题2：作出函数y＝x2－2x－3＝0和y＝x2－2x＋1的图象，指出它们与x轴的交点的坐标：
提示：
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点是(－1，0)和(3，0)；
函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点是(1，0)．
问题3：观察函数图象，它们的图象与x轴的交点与相应方程的根有什么关系？
提示：函数图象与x轴交点的横坐标分别是相应方程的根．
1．函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为 的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．函数y＝f(x)的零点，图象与x轴交点以及方程f(x)＝0的根之间的关系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 ，也
是函数y＝f(x)的图象与 .
0
实数根
x轴交点的横坐标
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，发现f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，1]上有零点，在[2，4]上也有零点．
问题1：计算f(－2)与f(1)，
f(2)与f(4)的积，并判断符号．
提示：f(－2)f(1)＝－20<0，
f(2)f(4)＝－15<0.
问题2：在零点附近两侧，对于x的取值，对应函数值的乘积都小于零吗？
提示：不一定．如函数y＝x2－2x＋1的零点是1，两侧对应函数值的乘积大于零．
问题3：如果图象是连续不断的，函数y＝f(x)在[a，b]上，有f(a)f(b)<0，那么在[a，b]上一定有零点吗？有多少个？
提示：有，个数不确定．
函数的零点存在性定理：一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且
，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
不间断
f(a)·f(b)<0
已知函数f(x)＝x2－6.
问题1：计算f(2)，f(3)，并判断(2，3)内是否有零点？
提示：f(2)＝－2，f(3)＝3，∴f(2)f(3)<0，所以f(x)在(2，3)内一定有零点．
问题2：计算f(2.5)，判断零点所在的更小的区间是什么？
提示：f(2.5)＝0.25>0.∴零点在(2，2.5)内．
问题3：能否再使零点所在的区间更小一些？
提示：能．f(2.25)＝0.0625>0，∴可取区间(2，2.25)．
问题4：这种依次取中点的做法，会达到什么目的？
提示：会逐步找到零点的近似值．
(1)二分法的定义：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
①确定区间(a，b)，验证 ；
②求区间(a，b)的中点x1；
二分法
f(a)·f(b)<0
③计算f(x1)；
a．若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
b．若 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
c．若 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
④判断两个端点达到题目要求的精确程度后是否相同；若相同，二分法结束，否则重复②～④.
f(a)·f(x1)<0
f(x1)·f(b)<0
1．函数的零点不是点，而是一个实数，当自变量取零点时，函数值为零．
2．函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
3．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确程度，用与此区间的两个端点的近似值相等的值近似地表示函数的零点．
第一课时 函数的零点
[思路点拨] 根据函数零点与方程根的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
[一点通] 根据函数零点的定义，求函数f(x)的零点就是求使f(x)＝0的x的值，即方程f(x)＝0的根．一般求法是①代数法：解方程的思想．如求一元二次方程f(x)＝0的实数根常用求根公式、分解因式等方法； ②几何法：函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
答案：2
(3)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，得x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－1的零点是－1，1.
(4)由于log21＝0，故函数f(x)＝log2x的零点为1.
[思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．
4．函数f(x)＝mx＋(2m－1)在[－1，1]上存在一个零点，
则实数m的取值范围是________．
5．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)在四个区间：①(－1，0)；
②(0，1)；③(1，2)；④(2，3)中有实数解的是________
(填序号).
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，由表中数据可知，F(－1)<0，F(0)<0，F(1)>0，F(2)>0，F(3)>0，
∴F(0)F(1)<0.
∴f(x)＝g(x)的实数解在(0，1)内．
答案：②
[一点通] 解決此类问题可设出方程对应的函数，根据题意画出图象的草图，然后根据草图列出限制条件组成不等式组求解．限制条件可从以下几个方面去考虑：①判别式；②对称轴；③所给区间端点的函数值；④开口方向．
7．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aβ(α<β)是方程f(x)＝0的两个根，则实数a，b，α，β之间的大小关系是________．
答案：a<α<β8．在本例中，条件改为：函数的两个零点，一个大于1，
另一个小于1.求实数k的取值范围．
1．判断函数零点个数的主要方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在
(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
2．判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件：
(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不间断的曲线．
(2)由f(a)·f(b)＜0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．
但应用时应注意以下问题：
①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．
②利用上述结论只能判别函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数．
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2.1
3.1.2
第
3
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应用创新演练
第
二
课
时
3．1 指数函数
3．1.2 指数函数
第二课时 指数函数的图象和性质的应用
[思路点拨] 利用图象的平移变换和对称变换作图象．
1．函数y＝ax－1(a>0且a≠1)的图象过定点________．
解析：∵y＝ax(a>0且a≠1)的图象过定点(0，1)，而
y＝ax－1的图象又可由y＝ax的图象向右平移1个单位得到，所以函数y＝ax－1的图象过定点(1，1)．
答案：(1，1)
2．说明下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系，
并画出它们的示意图．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－2；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2x－2.
解：(1)将指数函数y＝2x的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象．
(2)将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．
[一点通]
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
解析：由f(－2)>f(－3)即a2>a3，易知0令t＝1－x2，则y＝at在定义域内单调递减，
故应求t＝1－x2的递减区间，易知t在[0，＋∞)单调递减．
答案：[0，＋∞)
[例3] 1980年我国人均收入255美元，到2000年人民生活达到小康水平，人均收入为817美元，则年平均增长率是多少(精确到1%)？若以不低于此增长率的速度递增，则到2020年，人均收入至少为多少美元(精确到1美元)
[思路点拨] 先根据实际问题列出相应的函数，然后根据相应的数据确定出函数中的待定系数，再求解其他问题．
[一点通] 在实际问题中，经常会遇到类似的指数型函数模型：设原有量为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x表示．我们把形如y＝kax(k∈R，k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
6．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存
2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB
(1 MB＝210KB)内存需要经过的时间为________分钟．
答案：45
7．截止到2009年底，我国人口约13.56亿．如果今后能
将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.2010年1月，我国人口约为13.56亿；经过1年，人口数为13.56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)；
经过2年，人口数为13.56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1 %)×1 %＝13.56×(1＋1%)2(亿)；
经过3年，人口数为13.56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)；
……
所以，经过x年，人口数为
y＝13.56×(1＋1%)x＝13.56×1.01x(亿)．
当x＝20时，y＝13.56×1.0120≈17(亿)．
即经过20年后，我国人口数量最多为17亿．
一般地，在函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))[或在区间(g(b)，g(a))]上是单调函数，那么函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上的单调性见下表：
u＝g(x) 增 增 减 减
y＝f(u) 增 减 增 减
y＝f(g(x)) 增 减 减 增
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第
2
章
知识点一
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知识点二
考点三
2.2 2.2.1
理解教
材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一课时
2．2 函数的简单性质
2．2.1 函数的单调性
考察函数y1＝x，y2＝－x和y3＝x2.
问题1：你能作出它们的图象吗？
提示：图象如下：
问题2：从图象的左边向右边看，图象是什么变化趋势？
提示：图象(1)从左向右看，一直呈上升的趋势；
图象(2)从左向右看，一直呈下降的趋势；
图象(3)从左向右看，呈先下降后一直上升的趋势．
问题3：如果取x1，x2，且x1提示：对于y1＝x和y2＝－x来说是确定的；对于y3＝x2来说是不确定的．
问题4：这几个函数图象上升或下降对应的区间分别是什么？
提示：对y1＝x，只有上升对应的区间(－∞，＋∞)；对于y2＝－x，只有下降对应的区间(－∞，＋∞)；对于y3＝x2，上升对应的区间是(0，＋∞)，下降的区间是(－∞，0)．
1．单调增函数与单调增区间
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x1)2．单调减函数与单调减区间
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为
y＝f(x)的单调减区间．
3．单调性
如果函数y＝f(x)在区间I上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．
单调增函数
单调减函数
f(x1)>f(x2)
如图是某市一天24小时内的气温变化图．
问题1：该城市在这一天内气温随时间变化的特点是什么？
提示：气温从开始到4点下降，4点到14点呈上升，14点到24点又呈下降趋势．
问题2：这一天中的最高气温和最低气温分别是多少？
提示：最高气温是10 ℃，最低气温为零下2 ℃.
问题3：设f(x0)是x0时刻的温度，则f(x0)的范围是什么？
提示：－2≤f(x0)≤10.
定义 记法
最大值 一般地，设y＝f(x)的定义域为A 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值
最小值 如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymax＝f(x0)
ymin＝f(x0)
1．函数单调性的理解
(1)函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈A”，“任意”两个字绝不能去掉；二是有大小关系，即“x1x2)”；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
(2)函数的单调性反映在图象上，若函数y＝f(x)在区间A上是单调增(减)函数，则函数在区间A上的图象从左向右是上升(下降)的．
2．函数的最值的理解
(1)函数的最值是函数整个定义域上的性质，函数的最值与函数的值域是不同的，函数的值域是一个集合，函数的最值属于这个集合，即f(x0)首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数的最值是具体的一个函数值，对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤(≥)f(x0)成立．
(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值．
第一课时 函数的单调性
[思路点拨] 按照函数是单调增函数的定义证明．
[一点通] 定义法证明函数的单调性的步骤
第一步：取值．设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1第二步：作差变形．作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
第三步：定号．确定差的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论．
第四步：判断．根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
[思路点拨] 首先去掉绝对值符号，用分段函数表示原解析式，再画出函数图象，从而由图象的上升和下降写出单调区间．
画出函数y＝|x2－4|的图象如
图所示．
∴函数y＝|x2－4|的单调区间有
(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)．
[一点通]
(1)根据函数图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找出相邻的最高点与最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势，确定是递增的还是递减的区间．
(2)如果函数有几个单调增(减)区间，其单调区间不能用并集符号连接，而应该用“和”或“，”连接．因为在一个点上不存在单调问题，因此写单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些定义域内不存在的点或该点无意义时，单调区间就不包括这些点．
解析：由图象可知，函数的单调减区间是(－3，－1]，[0,1]．
答案：(－3，－1]和[0,1]
[例3] 已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)[思路点拨] 变量x首先应满足－1≤x－2≤1，
－1≤1－x ≤1，在此基础上利用单调性的定义将“f”符号脱掉，得到x－2与1－x的大小关系．
[一点通]
函数单调性应用包括两个方面，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用， 即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2.
当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
5．函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上是增函数，
在(－∞，－2]上是减函数，则m＝________.
答案：－8
6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)值范围是________．
解析：函数的定义域为R.由条件可知，
x－2>3，解得x>5.
答案：(5，＋∞)
7．已知定义在[－3,3]上的函数f(x)是增函数，求不等式
f(2x－1)1．判断函数的单调性常见方法
(1)定义法，其步骤：
①取值(注意x1、x2的任意性)；②作差；③判断差的 符号；④写出结论．
若要证明f(x)在[a，b]上不具有单调性，只需举一个反例即可．
(2)直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．直接判断函数的单调性，常用到以下结论：
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第
3
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考点三
3.2
3.2.1
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第
一
课
时
知识点三
3．2 对数函数
3．2.1 对数
提示：4，－2.
提示：不能．这是一种已知底数和幂值，求指数的运算．
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称 ，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．
b是以a为底N的对数
logaN＝b
底数
真数
2．常用对数与自然对数
通常将以 为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为 ．
在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为 (其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为 .
10
lg N
自然对数
ln N
问题1：你知道对数log22，log24，log28，log232的值分别是多少吗？
提示：1，2，3，5.
问题2：这几个对数与log22有什么形式上的关系？
提示：log24＝log222＝2log22，log28＝log223＝3log22，
log232＝log225＝5log22.
问题3：log24，log28，log232之间存在什么关系？
问题4：利用上面的数值，loga(MN)＝logaMlogaN成立吗？
提示：不成立，如log232≠log24×log28.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
问题1：对数log24，log42的值分别是多少？
问题2：log24，log42的关系是什么？logab与logba是否具有同样的关系？
提示：log24log42＝1，logablogba＝1.
问题3：令a＝lg 5，b＝lg 3，试用a，b表示log35.
（其中a>0，a≠1，N>0，c>0 ，c≠1）
1．对数符号logaN只有在N>0，a>0且a≠1时才有意义．零和负数无对数，即N≤0时logaN无意义(因为ax>0)．
2．对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log2
[(－3)·(－5)]是存在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
第一课时 对数的概念
[例1] 求使对数log(a－2)(7－2a)有意义的a的取值范围．
[思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解．
[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义，即底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组求解即可．
2．求下列各式中的x的范围．
(1)log(x2＋1)(－3x＋8)；(2)log(2x－1)(x＋2)．
[思路点拨] 利用ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)进行转化．
[一点通] 指数式ab＝N中的幂N即为对数式logaN＝b中的真数N.
利用此关系可以进行指数式与对数式的互化，求某些对数值就可以把它转化成指数问题．
答案：②④
[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解．
[一点通]
(1)求对数的值时，可先设其值为x，转化为指数式后再求．
(2)logaaN＝N(a>0且a≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．
1．在求解对数问题时，要注意logaN中对a，N的要 求：①对a的要求是：a>0且a≠1；②对N的要求是：N>0.
2．对数的基本性质
对于对数logaN(a>0，a≠1，N>0)，具有以下性质：
①零和负数无对数，即N>0；②logaa＝1；③loga1＝0；④alogaN＝N.
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2.2.2
第
2
章
考点一
考点二
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应用创新演练
理解教材新知
2．2.2 函数的奇偶性
2．2 函数的简单性质
提示：
问题2：观察它们的图象有何对称性？
问题3：填写下表
表一
x －3 －2 －1 0 1 2 3
f(x)＝x2
f(x)＝|x|
9 4 1 0 1 4 9
3 2 1 0 1 2 3
表二
问题4：从上面两个表格中，可以得出什么结论？
提示：表一中：f(－x)＝f(x)，
表二中：f(－x)＝－f(x)．
奇函数 偶函数
定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数
图象
特点 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于
对称
奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
原点
y轴
函数的奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性．所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
[思路点拨] 先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断．
[一点通]
判断函数的奇偶性的步骤
(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(若不对称则为非奇非偶函数)
(2)判断f(－x)与f(x)的关系．
(3)根据定义，写出结论．
①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．
②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．
③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
解析：利用函数奇偶性的定义知，①④为偶函数，②⑤为非奇非偶函数，只有③为奇函数．
答案：③
2．(2011·广东高考改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶
函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．
①|f(x)|－g(x)是奇函数
②|f(x)|＋g(x)是偶函数
③f(x)－|g(x)|是奇函数
④f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．
答案：④
②当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
[思路点拨] 设x>0，则－x<0，利用奇函数的性质f(x)＝－f(－x)得出x>0的解析式，然后用分段函数的形式写出f(x)．
[例2] 已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2－x(1＋x)，求f(x)．
[一点通]
(1)利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：①设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区间上．②把所求区间内的变量转化到已知区间内．③利用函数奇偶性的定义f(x)＝－f(－x)或f(x)＝f(－x)求解所求区间内的解析式．
(2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0.
(3)根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出y轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝
2x2－x，则f(1)＝__________.
答案：－3
5．(1)已知函数f(x)是奇函数，且x∈[3a＋1,3a＋5]，则a
的值为__________．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数，则m的值为__________．
解析：(1)∵f(x)是定义域为[3a＋1,3a＋5]的奇函数，
∴3a＋1＋3a＋5＝0.∴a＝－1.
(2)∵f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴x2＋2mx＋1＝x2－2mx＋1.∴m＝0.
答案：(1)－1 (2)0
6．如图，给出偶函数y＝f(x)的
局部图象，试作出它的y
轴右侧的图象，并比较f(1)
与f(3)的大小．
解：偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知f(1)>f(3)．
[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 首先由奇偶性把不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式，再利用单调性转化为x1，x2的大小关系．注意函数的定义域．
[一点通] 解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响．
7．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，
若x1<0，且x1＋x2>0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为__________．
解析：∵x1＋x2>0，x1<0，∴x2>－x1>0.
∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x2)>f(－x1)，又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)．故f(x2)>f(x1)．
答案：f(x2)>f(x1)
8．若函数y＝f(x)是奇函数，且y＝f(x)在[a，b](a>0)上是
单调递增的，则y＝f(x)在[－b，－a]上的单调性如何？并证明你的结论．
解：y＝f(x)在[－b，－a]上也是单调递增的．
其证明过程如下：
设－b≤x1＜x2≤－a，则b≥－x1＞－x2≥a.
又y＝f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(－x1)＞f(－x2)．
而y＝f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)＞－f(x2)，即f(x1)故y＝f(x)在[－b，－a]上也是单调递增的．
(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
点此进入(共35张PPT)
第
2
章
考点一
考点二
考点三
2.1
2.1.1
把握热点考向
应用创新演练
第
二
课
时
2．1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
第二课时 函数的图象
[例1] 作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[思路点拨] (1)定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以图象是直线上一些孤立的点；(2)该图象是抛物线的一部分．值域可借助图象得出．
[精解详析] (1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，
∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图．
∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．
由图象可知，y∈[－5,3)．
[一点通]
(1)利用描点法作函数图象的基本步骤为：
求定义域→化简解析式→列表→描点→连线
(2)函数的图象通常是一条连续的曲线或直线，但有时它也可以是一段或几段光滑曲线，也可以由一些孤立点或几段线段组成，还可以由折线或射线来构成，或者是点、线段、射线、折线和曲线组合而成，甚至可以是一些无规则的曲线．
1．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的
图象大致是图中的________．
解析：直线y＝－ax＋1过点(0,1)，若－a>0即a<0时，直线如图①②，但这时y＝ax2过(0,0)且开口向下，①②均不符合；若－a<0即a>0时，直线如图③④，这时y＝ax2过(0,0)且开口向上．
答案：④
[例2] 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[思路点拨] 先用描点法作出函数f(x)的图象，再结合图象求解．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
描点，连线，得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k＜3或k＝4时，只有一个交点．
∴0≤k＜3或k＝4.
[一点通] 数形结合是数学中一种重要的数学思想方法．在处理函数值大小的比较，确定函数的值域，方程的解及不等式的解集时，常利用函数的图象来解决，这便是数形结合的思想．函数图象的直观，能帮助我们解决许多有关性质的问题．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如
图所示，有下列4个结论：
①abc>0；②b③4a＋2b＋c>0；
④b2－4ac>0.
其中正确的结论有________个．
答案：2
4．函数r＝f(p)的图象如右图．
(1)函数r＝f(p)的定义域是什么？
(2)函数r＝f(p)的值域是什么？
(3)r的哪些值只与p的一个值对应？
解：(1)依图象可知函数的定义域为[－5,0]∪[2,6)；
(2)函数的值域为[0，＋∞)；
(3)当r∈[0,2)∪(5，＋∞)时，r的值只与p的一个值对应．
[例3] 如图是某条公共汽车线路收
支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车
票收入－支出费用)，由于目前本条线路
亏损，公司有关人员提出了两条建议：
建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象；
对这些图象的描述中，正确的是________．
①A反映了建议(Ⅱ)，C反映了建议(Ⅰ)
②A反映了建议(Ⅰ)，C反映了建议(Ⅱ)
③A反映了建议(Ⅰ)，D反映了建议(Ⅱ)
④A反映了建议(Ⅰ)，B反映了建议(Ⅱ)
[思路点拨] 从y与x的关系出发，分析票价与斜率的关系．分析每种情况得出结论．
[精解详析] 从题意可知，直线的倾斜程度代表的是票价．
建议Ⅰ中，票价不改变，即倾斜程度不变，减少支出，则直线与y轴的交点上升了，因为该交点表示没有客流时的支出，故应选图A.
建议Ⅱ中，不改变支出费用，即点P位置不变，提高车票价格即直线倾斜程度增大，故应选C.
[答案] ②
[一点通]
(1)此类题目主要考查学生接受信息及知识的迁移能力．
(2)解答此类题目的关键在于借助变量间的图象分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学知识加以综合分析，从而把问题解决．
5．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，
正确的个数是________．
(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；
(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2008～2009年最陡．故(2)正确；“生活价格指数”在2009～2010年最平缓，故(3)不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．
答案：3
6．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如
图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下三个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的论断序号是________．
解析：设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知
y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水 ，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若
3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化可能是所有水口都打开，进出均衡，也可能不进水也不出水，不能确定．故③亦不正确．
答案：①
1．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
2．在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确．
3．分析所给图象是否是函数图象的方法是：作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象．
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第
3
章
知识点一
考点一
考点二
知识点二
考点三
3.1
3.1.2
理解教
材新知
把握热点考向
应用创新演练
第
一
课
时
3．1 指数函数
3．1.2 指数函数
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……依此类推，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的解析式是怎样的？
提示：y＝2x.
问题2：一种产品的产量原来是1，在今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，那么产量y随年数x变化的函数解析式是什么？
提示：y＝(1＋p%)x.
问题3：以上两个解析式有什么共同特征？可以用什么样的关系式来描述？
提示：函数式的底数为常数，指数为未知数x，可以用y＝ax来描述．
指数函数的定义：一般地，函数 叫做指数函数，它的定义域是 .
y＝ax(a>0，a≠1)
R
提示：
问题2：两函数的图象与y轴的交点是什么？指数函数都过该点吗？
提示：交点为(0，1)．指数函数都过(0，1)．
问题3：两函数的图象与x轴有交点吗？
提示：没有．
问题4：这两个函数的单调性如何？
a>1 0图象
指数函数的图象和性质
a>1 0性质 定义域
值域
过定点 过点 ，即x＝ 时，y＝
函数值的变化 当x>0时， ； 当x<0时，
当x>0时， ； 当x<0时，
单调性 在(－∞，＋∞)上是单调 函数 在(－∞，＋∞)上是单调 函数
R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
y>1
00y>1
增
减
1．指数函数是一个形式定义，只有形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数才叫做指数函数．像y＝2·3x，y＝x2，y＝2x＋ 1，y＝3x＋1都不是指数函数．在指数函数中，底数有严格的规定，即a>0且a≠1.
2．研究指数函数y＝ax的图象和性质时，当底数a大小不确定时，必须分“a>1”和“0第一课时 指数函数的概念、图象和性质
[思路点拨] 利用按照指数函数的定义求解．
[一点通] 指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.
答案：①⑤⑧
解析：根据题意知，y＝13(1＋1%)x＝13×1.01x.
答案：y＝13×1.01x
3．已知指数函数f(x)的图象过点(3，27)，求f(5)的值．
解：设函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为函数f(x)的图象过点(3，27)，
所以a3＝27，解得a＝3，
所以f(x)＝3x，所以f(5)＝35＝243.
[思路点拨] (1)(2)利用指数函数的单调性比较；
(3)借助中间量1比较．
[一点通]
在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类
(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．
[思路点拨] 对于(1)(2)，可首先确定指数函数的定义域和值域，再确定函数的定义域和值域；对于(3)可先由1－2x≥0得定义域．
[一点通]
(1)对于y＝af(x)这类函数：
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
②值域问题，应分以下两步求解：
a．由定义域求出u＝f(x)的值域．
b．利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．
(2)对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．
解析：由2－x>0得x<2.∴定义域是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
指数函数的图象与性质与底数a有关系
(1)当a>1时，函数y＝ax单调增，x>0时y>1，x<0时0当00时01.
(2)同一直角坐标系中图象的相对位置与底数大小的关系：
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
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阶段质量检测
核心要点归纳
章未小结
知识整合与阶段检测
知识整合与阶段检测
一、集合的含义与表示
集合的含义 一般地，把研究的确定对象称为元素，把一些元素的总体称作集合
元素的特征 ①确定性；②互异性；③无序性
元素与集合 若a属于集合A记作a∈A；
若a不属于集合A，记作a A.
特殊的数集 自然数集—N，正整数集—N*或N＋
整数集—Z，有理数集—Q，实数集—R
分类 有限集、无限集和空集
集合的表示 列举法(适用于有限集和有规律的无限集)
描述法(适用于无限集及个别有限集)
二、子集与真子集
三、交集、并集和补集
定义 性质
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B A，A∩B B
并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∪B＝B∪A，A∪ ＝A，A A∪B，B A∪B
补集 UA＝{x|x∈U且x A} ①A∩( UA)＝
②A∪( UA)＝U
③ U(A∩B)＝( UA)∪( UB)
④ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)
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章末小结
要点再现能力自评阶段验收
要京
核心
归纳
主干知识再现一提纲挈领
阶段八气检测
综合能力评估
测自评(共38张PPT)
第
3
章
考点一
考点二
考点三
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
理解教
材新知
3.3
3．3 幂函数
考察以下几个函数
问题1：这几个函数是指数函数吗？
提示：不是指数函数．
问题2：它们有什么共同特征？
提示：幂的底数是自变量，指数是常数．
问题3：你能举出一个这样的函数的实际例子吗？
提示：正方体的棱长为x，它的体积关于x的函数关系式是V＝x3.
幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.
y＝xα
x
α
问题1：它们的图象都过同一个定点吗？
提示：是的．都过定点(1，1)．
问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关于y轴对称？
提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1关于原点对称，而y＝x2，
y＝x－2关于y轴对称.
问题4：这几个函数在第四象限有图象吗？
提示：没有．
{x|x≥0} {x|x≠0} {x|x≠0}
{y|y≥0} {y|y≠0}
[0，＋∞)
(－∞，0]
(－∞，0)
(0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0)
(0，0)
(1，1)
[思路点拨] 根据各相应函数的定义，列出系数、指数满足的方程或不等式求解．
答案：①④
答案：f(x)＝x－2
[思路点拨] 首先将幂函数化成根式的形式，再讨论定义域、值域、奇偶性，作图象．
3．下列命题正确的个数是________．
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
②幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
④幂函数的图象不可能在第四象限
⑤图象不经过点(－1，1)的幂函数一定不是偶函数
解析：
答案：2
[思路点拨] 分别构造出相对应的幂函数，然后再利用函数的单调性比较值的大小．
[一点通] 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．
简单的幂函数的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1，幂函数过定点(1，1)．
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
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第
3
章
考点一
考点二
考点三
第
二
课
时
把握热点考向
应用创新演练
3.4
3.4.1
3．4 函数的应用
3．4.1 函数与方程
第二课时 用二分法求方程的近似解
[例1] 如图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，
不能用二分法求交点横坐标的是________．
[思路点拨] 利用二分法的定义进行判断．
[精解详析] 按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的近似零点，故结合各图象可得②③④满足条件，而①不满足，在①中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．
[一点通] 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
1．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的
条件是________(把序号填在横线上)
①f(x)在区间[a，b]是连续不间断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.
解析：根据函数零点存在性定理以及二分法的要求，二分法适合的是变号零点，故应填①②.
答案：①②
2．下列函数：
①y＝2x，②y＝x2，③y＝log2x，④y＝|x|.
其中有零点且能用二分法求出的是________(填序号)．
解析：①y＝2x没有零点；②，④有零点但是零点两侧函数值同号；③有零点且在零点两侧，函数值异号．
答案：③
[例2] 求方程2x＋4x＝4的根所在的一个区间．
[思路点拨] 判断根所在的区间，可以分别画出函数
y＝2x，y＝4－4x的图象，根据交点位置，构造函数F(x)＝2x＋4x－4，由零点存在性定理进行判断．
[一点通] 本题构思巧妙，运用了构造函数及数形结合的思想．往往判断方程的根所在的区间，需要多次尝试判断，对于方程f(x)＝g(x)，首先作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两图象交点的位置，而方程的根正是交点的横坐标；再构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用零点存在定理判断即可．
3．判断方程ln x＋2x－6＝0的解所在的区间．
4．求证：方程x3－3x＋1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，
一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．
证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象是连续的，
又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，
F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
∴方程x3－3x＋1＝0的一根在区间(－2，－1)内．
同理可以验证F(0)F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，
F(1)F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，
∴方程的另两根分别在(0，1)和(1，2)内.
[例3] 证明方程6－3x＝2x在(1，2)内有惟一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1)．
[思路点拨] 构造函数f(x)＝6－3x－2x，利用零点存在性定理证明，根据二分法步骤求解．
[精解详析] 设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝
1＞0，f(2)＝6－6－22＝－4＜0，∴f(1)·f(2)<0
又f(x)在定义域内是减函数，
故方程在(1，2)内有惟一的解．
用二分法逐次计算，列表如下：
∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，
∴ 6－3x＝2x在(1，2)内的一个近似解是1.2.
[一点通] 用二分法求方程的近似解，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次及时检验区间端点的值按近似要求是否相等，以决定停止运算还是继续运算．
5．用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1)．
解：设f(x)＝x3－2.由于f(1)＝－1＜0，
f(2)＝6＞0，故可取区间(1，2)为初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
由于1.25与1.312 5精确到0.1的近似值都是1.3，因此x3－2＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)＞0时，在[a，b]上也可能存在零点．
2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点
(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．
(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．
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第
2
章
考点一
考点二
考点三
2.2
把握热点考向
应用创新演练
2.2.1
第
二
课
时
2．2 函数的简单性质
第二课时 函数的最大值、最小值
2．2.1 函数的单调性
[思路点拨] (1)由图象直接观察．(2)先画出图象，再观察它的最高点和最低点．
[一点通] 从图象上看最大(小)值是整个函数图象的最高(低)点的纵坐标，需注意最值必须在函数值域内，即图象的最高(低)点为实心点，若为空心点则不是最值．
解析：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(1,3)，最低的点是(5，－4)，所以函数y＝f(x)当x＝1时取得最大值即ymax＝3，当x＝5时取得最小值即ymin＝－4.
答案：3、－4
[思路点拨] (1)利用单调性的定义证明．(2)利用(1)的结论求最值．
[一点通]
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)必定存在最大值和最小值．
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
[思路点拨] 将f(x)>0恒成立，转化为一元二次不等式x2＋2x＋a>0恒成立，最后利用二次函数的图象和性质求解．
[一点通]
(1)不等式在某区间上的恒成立问题常转化为求某熟知函数在该区间上的最值问题．即
a≥g(x)恒成立 a≥g(x)max(g(x)max表示g(x)的最大值)；
a≤g(x)恒成立 a≤g(x)min(g(x)min表示g(x)的最小值)．
(2)求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[a，b]上的最值，首先配方找对称轴，然后判断对称轴与区间的关系，最后求最值．若对称轴在区间内，则对称轴上取得最小值，最大值在区间端点上取得；若对称轴在区间外，则函数在该区间上是单调函数，利用单调性求最值．
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值
范围是________．
解析：令g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，易知
g(x)min＝g(0)＝g(2)＝0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小
值为－2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，易知f(x)在[0,1]上是单调增函数，所以f(x)min＝f(0)＝a＝－2.
f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.
答案：1
1．已知函数的单调性求函数在某个闭区间上的最值，有三种情况：①若为增函数，则最小值在左端点处取到；②若为减函数，则最小值在右端点处取到；③若先减后增， 则最小值在最低点位置取到；若含有参数，有时需对参数进行讨论．
2．若二次函数的定义域为确定的区间，求其最值时应根据二次函数的对称轴与区间的关系求解，即根据二次函数的对称轴先确定二次函数在某区间上的单调性，从而确定其最值在何处取得，当二次函数的解析式含有参数或区间含有参数而不确定时，则应根据图象开口方向以及图象的对称轴是位于区间上，还是位于区间左边、右边进行分类讨论，从而确定在其区间上的单调性，进行求最值．
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3.2
3.2.2
第
3
章
考点一
考点二
考点三
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应用创新演练
第
二
课
时
3．2 对数函数
3．2.2 对数函数
第二课时 对数函数的图象和性质的应用
[一点通]
(1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；
(2)对于形如y＝f(g(x))的函数的单调性，必须考虑u＝g(x)与y＝f(u)的单调性，从而得出f(u)＝f(g(x))的单调性；
(3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可画出函数图象求解．
[思路点拨] (1)利用y＝log2x的单调性求解；(2)分类讨论，分x>1和0[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．
3．不等式log2(x－3)>1的解集为________．
解析：∵log2(x－3)>1，
∴log2(x－3)>log22.
∴x－3>2，x>5.
答案：{x|x>5}
4．解不等式：log3(4－x)>2＋log3x.
[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在：对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．
6．已知f(x)是定义在[－2，2]上的单调递增函数，且
f(x)的最大值为1，则满足f(log2x)<1的解集为________．
7．已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，求实
数a的取值范围．
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第
3
章
考点一
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理解教
材新知
考点四
3.4.2
3．4.2 函数模型及其应用
问题1：目前为止，你学习过的基本初等函数有哪些？
提示：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数．
问题2：它们的解析式分别是什么？
提示：正比例函数：y＝kx(k≠0)；
问题3：匀速运动的汽车、运动的路程与时间成什么函数模型？人口增长问题属什么模型？
提示：正比例函数．指数函数．
1．一次函数：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)的图象的增长特点是直线式上升(x的系数k>0)，通过其图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k>0)．
2．二次函数：二次函数模型的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
3．指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地称为指数爆炸．
4．对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)．
[例1] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
[思路点拨] (1)利用待定系数分别求出年数与甲鱼平均只数，年数与甲鱼池数的函数解析式，利用解析式求解即可．
(2)分别求出甲鱼的总只数比较即可．
(3)甲鱼养殖规模是由总只数衡量的，它是二次函数，利用二次函数的性质解决．
[一点通]
这种解决图形信息的问题，首先要读懂图形，根据图象写出解析式，然后利用求出的解析式解决问题．
一次函数、二次函数是大家熟知的函数，也是中学最基础的函数，解题时应牢记它们的图象和性质，以便于解决问题．
1．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开
发广告宣传费用共50 000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元．
(1)试写出总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式；
(2)如果每套定价为700元，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本？
解：(1)总费用y＝50 000＋200x(x>0)．
(2)设软件公司至少要售出x套软件才能确保不亏本．
由题意，得700x≥50 000＋200x.解得x≥100.
故软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本．
2．某快餐店经营某种盒饭，若每天的房租、人员工资等
固定成本为200元，每份盒饭的成本为2元．销售单价x(元)为整数，x与日销售量(份)的关系如下表所示：
销售单价
(元) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
日销售量
(份) 400 350 300 250 200 150 100 50 0
已知：日销售利润(元)＝日销售收入－成本．请根据以上数据解答下列问题：
(1)当销售单价为5元时，求日销售利润为多少元？
(2)设日销售利润为y元，把y表示成x的函数；
(3)该盒饭的销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少？
解：(1)当销售单价为5元时，销售量为250，
∴日销售利润为(5－2)×250－200＝550元．
(2)当销售单价为x元时，
销售量为400－50(x－2)＝500－50x，
∴y＝(x－2)(500－50x)－200
＝－50x2＋600x－1 200(2(3)y＝－50(x－6)2＋600，
当x＝6时，y有最大值600.
故当销售单价定为6元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润是600元.
[例2] 某林区2010年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林，严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？
[思路点拨] 解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题．
[精解详析] (1)现有木材蓄积量为200万立方米，
经过一年后木材蓄积量为：200＋200×5%＝200
(1＋5%)，
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200
(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2，
…
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x，
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*)．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*)的图象如图：先
取点，再画图可得，
x 0 1 2 3 4 …
y 200 210 220.5 231.5 243.1 …
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8＜x0＜9，则取x＝9，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[一点通] 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．一般地，如果原数量为N，单位时间变化为P，则经过时间x所得数量y＝N(1＋P)x，这里P>－1.其中当－10时，P表示增长的百分数．
答案：15
4．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰
减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；
(2)求这种放射性元素的半衰期．(精确到0.1年)
[思路点拨] 第(1)问知v求Q，直接求得；第(2)问知Q求v，也是直接代入．
[一点通] 对数函数是一种常见的基本初等函数，但对数函数模型的应用问题不是很多．一般地都是直接给出解析式，应用其解决问题．
5．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝
alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．
解析：由条件知，100＝alog2(1＋1)，得a＝100，
∴x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
答案：300
[例4] 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
[思路点拨] 根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．
[一点通] 建立实际情境函数的模型时，可采用以下步骤．
7．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)
如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2002
x 0 1 2 3
生产总值y 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．
(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤．
识模就是把应用问题的外部信息和自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键字词，化简转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；建模是通过数学符
号化，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性；最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止．有些问题还需要我们利用信息技术收集数据、绘图、计算、拟合函数．
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考点四
第2章
知识点一
考点一
考点二
知识点二
考点三
2.1
2.1.1
理解教
材新知
把握热点考向
应用创新演练
第一课时
2．1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.
问题1：炮弹飞行时间t的变化范围是什么？
提示：因为炮弹经过26 s落回地面，所以0≤t≤26.
问题2：炮弹飞行高度的变化范围是什么？
提示：因炮弹的射高为845 m，所以0≤h≤845.
问题3：相对于某一时刻，炮弹是否有两个高度？
提示：不是的．即相对于某一时刻，炮弹的高度是一个确切的数据．
问题1：在这个问题中的两个变量分别是什么？它们的范围怎样？
提示：电阻R>0，电流I>0.
问题2：通过这个公式反映了电流和电阻的什么关系？
提示：电流和电阻成反比例关系．只要测出电路中的电阻值，就可计算出惟一的电流值．
函数的概念、定义域和值域
概念 一般地，设A，B是两个 ，如果按某种对应法则f，对于集合A中的 ，在集合B中都有 的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记作：
非空的数集
每一个元素x
唯一
y＝f(x)，x∈A
定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中， 组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域
值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，对于A中的 ，
都有一个 与之对应，则将 组成的集合称为函数的值域，即{y|y＝f(x)，x∈A}
所有的输入值x
每一个x
输出值y
所有输出值y
提示：(1)直线；(2)抛物线；(3)分布在一、三象限的曲线．
问题2：如果取横坐标x0＝－2，它们对应的函数值分别是什么？
提示：(1)－1；(2)12；(3)－1.
问题3：点(0,2)在这几个函数的图象上吗？
提示：验证后可知都不在．
问题4：结合我们初中得到一次函数、二次函数、反比例函数图象的方法以及函数图象的定义，如何得到一个不熟悉函数y＝f(x)，x∈A的图象？
提示：在定义域A内取几个关键特殊值，列表，描点，连线．
函数的图象
将自变量的一个值x0作为 ，相应的函数值f(x0)作为 ，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量取遍 时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x， f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
横坐标
纵坐标
(x0，f(x0))
函数定义域A中的每一个值
1．函数定义的理解
(1)集合的特殊性：集合A和B不能为空集，并且必须为数集．
(2)对应的方向性：其方向性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有数f(x)与之对应，先是集合A，其次是集合B.
(3)对应的惟一性：是指与集合A中的数x对应的集合B中的数f(x)是惟一确定的．
2．对于函数的定义域要明确以下几点
(1)函数的定义域必须用集合或区间来表示，它是一个数集；
(2)对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指函数表达式有意义的自变量的集合；
(3)如果函数涉及实际问题，定义域必须考虑自变量的实际意义．
3．函数的图象可能是一条连续的曲线，也可能是折线、线段或不连续的点等．
第一课时 函数的概念
[思路点拨] 根据给出的对应关系验证自变量x在实数集R上的每一个值，是否都能确定惟一的函数值y.
[一点通] 判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有惟一元素与其对应．
1．下列关于函数概念的说法中，正确的序号是________．
①函数定义域中的每一个数都有值域中惟一确定的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了；④若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个元素．
答案：①③
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有对应元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：x→y＝0，在集合B中都有惟一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
[思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
[一点通]
(1)由解析式求定义域的方法：
①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
③如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
④如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；
⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述条件外，还要符合实际情况．
(2)抽象函数的定义域：
①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．
②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．
解析：M＝{x|x>0}，N＝{x|x≥2}，
∴M∩N＝{x|x≥2}，又U＝R，
∴ R(M∩N)＝{x|x<2}．
答案：{x|x<2}
4．已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，则f(x)的定义域为
________．
解析：由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
[一点通]
(1)函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
(2)求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________．
解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
答案：1
[思路点拨] 根据函数不同的特点，采用不同的方法．
(1)采用直接法；(2)先配方，利用二次函数解决；
(3)采用分离常数法；(4)换元法转化为二次函数．
[精解详析] (1)(观察法)因为x∈{1,
2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值
域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2
＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
[一点通] 求值域时应注意的事项
(1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数y＝
x2－2x＋3的值域与函数y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)的值域是不同的．
(2)在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化．
8．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}；
(2)f(x)＝x2－4x＋5.
解：(1)函数的定义域为{1,2,3}，
∵ f(1)＝12－4×1＋5＝2，
f(2)＝22－4×2＋5＝1，
f(3)＝32－4×3＋5＝2，
∴这个函数的值域为{1,2}．
(2)∵f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，
∴这个函数的值域为[1，＋∞)．
1．函数的三要素是指：定义域、值域和对应法则．函数符号y＝f(x)表示y是x的函数．f(x)与f(a)的意义是不同的．f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．
2．函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分．有时函数解析式后面含有定义域，有时函数定义域可以省略．一般地，我们约定：结果不加说明，所谓函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．
3．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
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