(共35张PPT)
第一章 集合
理解教材新知
§3
集合的基本运算
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
考点一
考点二
考点三
3.1
交集与并集
对于给定的两个集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{5,8,12}，C＝{8}．
问题1：集合A、B与C中的元素之间有什么关系？
提示：C是由集合A和集合B的公共元素组成．
问题2：集合C与集合A、B的关系各是什么？
提示：C? A，C ?B.
1．交集的定义
一般地，由 的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作 (读作“A交B”)，即A∩B＝{x| }．
既属于集合A又属于集合B
A∩B
x∈A，且x∈B
2．图形表示
3．运算性质
A∩B＝ ，A∩B A，A∩B B；
A∩A＝ ，A∩ ＝ .
B∩A
A
A＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的男同学}.
B＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的女同学}.
C＝{x|x是希望中学2012年9月入学的高一的学生}．
问题：集合A、B、C中的元素之间有什么关系？
提示：C是由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合．
1．并集的定义
一般地，由 的所有元素
组成的集合，叫作A与B的并集．记作 (读作
“A并B”)．即 ＝{x|x∈A，或x∈B}．
属于集合A或属于集合B
A∪B
A∪B
2．图形表示
3．运算性质
A∪B＝ ，A A∪B，B A∪B；
A∪A＝ ，A∪ ＝ .
B∪A
A
A
求集合的并集、交集是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，求两个集合的交集就是确定两个集合的公共元素，使之组成新的集合，或是由同时具有两个集合元素性质的元素组成新的集合．
求两个集合的并集，就是将两个集合中的元素合并在一起，但是要注意，重复元素在并集中只能出现一次．
[例1] 已知集合A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1
[思路点拨] 已知集合A，B都是无限集合，要求A∩B，A∪B，可借助数轴直观求解．
[精解详析] 分别在数轴上表示集合A和B，如图所示
根据A∩B和A∪B的定义，由图知A∩B＝{ x|－1< x<2}．
A∪B＝{ x|－4≤x≤3}．
[一点通] 在进行集合的交集，并集运算时常借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，注意端点值的取舍．
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝( )
A．{0} B．{1,2}
C．{1,2,3,4} D．{0,1,2,3,4}
解析：A∪B＝{0,1,2,3}∪{1,2,4}＝{0,1,2,3,4}．
答案：D
2．若集合A＝{x|－2< x<1}，B＝{x|0< x<2}，则集合
A∩B＝ ( )
A．{x|－1< x<1} B．{x|－2< x<1}
C．{x|－2< x<2} D．{x|0< x<1}
解析：A∩B＝{x|－2< x<1}∩{x|0< x<2}＝{x|0< x<1}．
答案：D
[例2] 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
[思路点拨]
[一点通]
1．解决此类问题要熟练掌握A∩B＝B A∪B＝A B A.
2．在B A时，注意B＝ 的情形不能漏掉．
3．分类讨论时要不重不漏．
3．下列4个推理：①a∈(A∪B) a∈A；②a∈(A∩B)
a∈(A∪B)；③A B A∪B＝B；④A∪B＝A
A∩B＝B.其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a∈(A∪B) a∈A或a∈B，∴①是错误的．
A∈(A∩B) a∈A且a∈B a∈(A∪B)，∴②是正确的．
③④是交集与并集的性质，故都是正确的．
答案：C
4．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实
数a的取值范围．
[例3] 已知集合A＝{x|2< x<4}，B＝{x|a< x<3a}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3< x<4}，求a的取值范围．
[思路点拨] (1)就B＝ 和B≠ 分类讨论，列出关于
a的不等式求解；(2)借助数轴，在数轴上画出集合A和集合A∩B就可以看出a的值．
[精解详析]
(1)如图所示，有两类情况，
一类是B≠ ，首先a >0.
①B在A的左边，②B在A的右边．
B的位置均使A∩B＝ 成立，即3a≤2或a≥4，
(2)因为A＝{x|2A∩B＝{x|3集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时，B＝{x|3[一点通] 此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意．
5．A＝{x| x≤－1，或x≥3}，B＝{x|a< x<4}，若A∪B＝R，
则实数a的取值范围是 ( )
A．3≤a<4 B．－1C．a≤－1 D．a<－1
解析：利用数轴，
若A∪B＝R，则a≤－1.
答案：C
6．若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，
A∪B＝B，则m的取值范围是________．
解析：∵A∪B＝B，∴A B，如图所示，
答案：－2≤m≤－1
1．并集的性质
(1)①A (A∪B)，B (A∪B)；②A＝A∪A，A＝A∪ ；③A∪B＝B∪A.
(2)若A B，则A∪B＝B；反之若A∪B＝B，则A B.由于A＝A∪ ，因此，A∪B＝B中的A可以为空集，这一点是要特别注意的．
2．交集的性质
(1)①(A∩B) A，(A∩B) B；②A＝A∩A，A∩ ＝ ；③A∩B＝B∩A.
(2)若A B，则A∩B＝A；反之若A∩B＝A，则A B.由于A∩ ＝ ，因此，A∩B＝A中的A可以为空集．空集的这一特殊性要特别注意．
3．在解决集合的有关运算时，常借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观表示出来，体现了数形结合的思想．
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第一章 集合
理解教材新知
§1
集合的含义与表示
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
知识点三
考点一
考点二
考点三
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”
问题1：数学家说的集合是指什么？
提示：网中的所有鱼的全体．
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
提示：不能．
一般地，指定的某些对象的 称为集合．集合常
用 标记．集合中的每个 叫作这个集合的元素．元素常用 标记.
全体
大写字母A，B，C，D，…
对象
小写字母a，b，c，d…
在知识点1的入门答辩所涉及的情景中．
问题1：网内的每一条鱼与集合的关系是什么？
提示：每一条鱼都是集合的元素，均在集合中．
问题2：网外面的鱼与集合的关系是什么？
提示：不是集合的元素．
1．元素与集合的关系
(1)若元素a在集合A中，就说元素a 集合A，记作
.
(2)若元素a不在集合A中，就说元素a 集合A，
记作 .
属于
a∈A
a A
不属于
2．常用数集及表示符号
名称 非负整数集
(自然数集) 正整
数集 整数集 有理
数集 实数集
符号
N
N＋
Z
Q
R
给出下列集合：(1)小于10的所有正偶数组成的集合A；
(2)方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为B；
(3)所有奇数组成的集合为C.
问题1：将集合A中的元素一一列举出来．
提示：2、4、6、8.
问题2：集合B中的元素满足的条件是什么？
提示：x2＋x＋1＝0.
问题3：如何表示集合C ？
提示：C＝{奇数}或{x|x＝2n＋1，n∈Z} ．
1．集合的表示方法
集合的常用表示法有列举法和描述法．
(1)列举法：把集合中的元素 出来写在大括号内的方法叫列举法．
(2)描述法：用 表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．
一一列举
确定的条件
2．集合的分类
集合可分为有限集和无限集，含 元素的集合叫作有限集，含 元素的集合叫作无限集．
不含有任何元素的集合叫作 ，记作 .
有限个
无限个
空集
1．集合中元素的特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素,要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．
2．列举法与描述法
列举法适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可．同时，要注意自然语言与集合语言的区别．描述法多适用于元素个数有无穷多的集合，用描述法表示集合，关键在于确定代表元素及代表元素所满足的条件．
3．根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集．
[例1] 考察下列每组对象能否组成一个集合？
(1)2011参加世界大学生运动会的所有国家；
(2)2010年上海世博会的所有漂亮的展馆；
(3)参加2012年五·四青年节联欢晚会的所有同学；
(4)直角坐标系中，接近原点的点．
[思路点拨] 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判断．
[精解详析] (1)中“所有国家”，(3)“所有同学”，都有确定的“属性”，能组成集合．
(2)中“漂亮”展馆，没有明确的标准，(4)中“接近原点”，界限不明，都不能组成集合．
综上可知，(1)(3)能组成集合，(2)(4)不能组成集合．
[一点通] 判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象．若鉴定对象的客观标准是明确的，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．
1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小 的
正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全
体；④正三角形的全体；⑤ 的近似值的全体．其
中能构成集合的组数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：A
2．判断下列对象能否构成集合．
①某中学里较胖的同学；②某中学里身高超过1.75米的
同学；③第29届奥运会中的所有比赛项目；④大于4且
小于8的偶数．
解：①中因为未规定胖的标准，即没有明确的标准划分
胖与不胖，所以①不能构成集合，而②③④中的对象是
确定的，所以能构成集合.
[例2] 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
[思路点拨] 分类讨论x2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．
[精解详析] 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时， 集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．
综上可知，x＝－1.
[一点通] 这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否构成集合，互异性则常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中未知的元素．
3．若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，
则△ABC一定不是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：集合中的任何两个元素是不能相同的，所以a，
b，c不相等．
答案：D
4．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，
求实数a的值．
解：∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1.
①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1，
与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意，
当a＝－2时，A中的元素为0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去．
综上所述，a＝0.
[一点通]
1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．
2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．
5．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为 ( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x－3<2，∴x<3＋2＝5.
∵x∈N＋，
∴集合表示为{1,2,3,4}．
答案：B
解析：①中含有两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，所以不正确；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组的解相同，所以正确；③中含有两个元素，是数集，所以不正确；④没有用“{}”括起来，不表示集合，所以不正确；⑤正确；⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，所以不正确．
答案：②⑤
7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是
无限集．
(1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；
(3)方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；
(4)平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合．
1．组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．用列举法表示集合应注意：
①元素间用“，”隔开；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号；⑤“{}”含有“所有”“整体”的含义，如所有实数构成的集合可以写为{实数}，写为{实数集}、{全体实数}都是错误的．
3．用描述法表示集合应注意：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“或”“且”“非”；⑤所有描述的内容都要写在集合括号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．
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第一章 集合
理解教材新知
§3
集合的基本运算
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
3.2
全集与补集
设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．
问题1：集合B∪C等于什么？
提示：B∪C＝A.
问题2：集合B与集合C的交集是什么？
提示：B∩C＝ .
1．全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的 ，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．
2．补集
(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有 A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集
(或余集)，记作 .
(2)符号表示： UA＝ ．
子集
不属于
U A
{ x| x∈U，且x A}
(3)Venn图表示
3．补集的性质
(1)A∪( UA)＝ ；
(2)A∩( UA)＝ .
U
1．全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．
2．补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是 UA.
[例1] (1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求 UA、 UB.
[思路点拨] (1)先求出 UA和 UB，利用数轴解决．
(2)先写出集合U和集合B，再利用交集、补集的定义或Venn图求解．
[精解详析] (1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0可知 UA＝{x|1 UB＝{x|3结合数轴(如图)．
可知( UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；
(2)法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
[一点通]
1．在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．
2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解．
1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，
则 MN＝ ( )
A． B．{1,3,5}
C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：由题意知 MN＝{1,3,5}．
答案：B
2．设全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，
则 U(A∪B)等于 ( )
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,4} D．{2,5}
解析：U＝{x∈N＋|x<6}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，
∴ U(A∪B)＝{2,4}．
答案：C
解：如图所示
[例2] 设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩( UB)＝{3,5}，( UA)∩B＝{7,19}，( UA)∩( UB)＝{2,17}，求集合A，B.
[思路点拨] 利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．
[精解详析] 因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
[一点通] Venn图直观形象，特别是在有限集的运算中，效果比较明显，对集合A，B而言，有下图：
用好此图，在解题中能起到事半功倍的效果．
4．如果U＝{x| x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3,4}，
B＝{3,4,5,6}，那么( UA)∩( UB)等于 ( )
A．{1,2} B．{3,4}
C．{5,6} D．{7,8}
解析：如图所示，阴影部分为
( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{7,8}．
答案：D
5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓
球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动
但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的
人数为x，画出Venn图得到
方程15－x＋x＋10－x＋8＝30 x＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．
答案：12
[例3] 已知集合A＝{x|2a－2< x[思路点拨] 先求出 RB，再分类讨论，由A? RB求出a.
[精解详析] RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ ，∵A? RB，∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是：a≤1或a≥2.
[一点通] 解答有关交、并、补集综合运算及含参数的问题，常借助Venn图和数轴，采用数形结合的思想给予解答，在解答过程中注意集合运算性质的等价转化及端点值的取舍．
6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝
{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且( UA)∩B≠ ，则实数k的
取值范围为 ( )
A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3
C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3
解析：∵ UA＝{x|1＜x＜3}，( UA)∩B≠ ，
∴1＜k＜3或1＜k＋1＜3，∴0＜k＜3.
答案：C
7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋
b＝0}，满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，
求实数a、b的值．
1．补集的性质
① UU＝ ；② U( UA)＝A；③ U(A∩B)＝( UA)∪( UB)；④ U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
2．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免讨论，可以借助补集思想来求解，即从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应集合的补集．
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第一章 集合
理解教材新知
§2
集合的基本关系
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
知识点三
考点一
考点二
考点三
考点四
给出下面两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素吗？
提示：是的．
问题2：集合B中的元素都是集合A中的元素吗？
提示：不是．
问题3：集合B中的元素比集合A中的元素多，如用封闭图形表示两个集合，该怎样表示？
提示：
1．子集
含
义 对于两个集合A与B，如果集合A中的 都
是集合B中的元素，即若 ，我们就说集合
A 集合B，或集合B 集合A，记作 (或
)，就说集合A是集合B的 ．
任何一个元素
a∈A，则a∈B
包含于
包含
A B
B A
子集
图形
语言
性质 任何一个集合都是它本身的子集，即 .
A A
2．Venn图
为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的
表示集合，称为Venn图.
内部
给定两个集合A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．
问题1：集合B能否用列举法表示出来？
提示：能，B＝{0,1}．
问题2：集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？
提示：完全相同．
1．集合相等
对于两个集合A与B，如果集合A中的 都是集合B中的元素，同时集合B中的 都是集
合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作
.
2．图形语言
任何一个元素
任何一个元素
A＝B
对于上面给出的两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
问题1：集合A是集合B的子集吗？
提示：是的．
问题2：集合B是集合A的子集吗？
提示：不是．
问题3：集合A与集合B相等吗？
提示：不相等．
1．真子集
(1)含义：对于两个集合A与B，如果 ，并且 ，
我们就说集合A是集合B的真子集，记作 ．
(2)当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作 (或B A)．
A B
A≠B
A?B(或B? A)
A B
2．性质
(1)空集是任何集合的 ，对于任何一个集合A，都有 .
(2)对于集合A、B、C，若A B，B C，则 .
子集
A
A C
1．子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝ 时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都使A B成立．
[例1] 下列各式中，正确的个数是 ( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；
④ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1 B．2
C．3 D．4
[思路点拨] 首先要分清二者是元素与集合间的关系，还是集合与集合之间的关系．如果要是集合与集合之间的关系，还需要分清是包含、真包含、不包含等关系．
[精解详析] 对于①，是集合与集合的关系，应为
{0}? {0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ? {0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，{0}是含有单元素0的集合，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．
[答案] B
[一点通] 判断集合之间的关系其基本方法是转化为判定元素和集合间的关系．首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B，若是，则A B，否则
A B.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A，若是，则B A，否则BA.最后下结论：若A B，B A，则A＝B；若A B，B A，则A? B，若A B，B A，则B? A，若上述三种情况均不成立，则A B，
B A.
1．下列结论正确的是 ( )
A．集合{x|x3＋1＝0，x∈R}＝
B．已知M＝{(1,2)}，N＝{(2,1)}，则M＝N
C．已知M＝{(2,3)}，N＝{2,3}，则有M N
D．已知A＝{x|x＝5k，k∈N}，B＝{x|x＝10n，n∈N}，
则有B? A
解析：x＝－1时，x3＋1＝0，∴A错；(1,2)与(2,1)是不
同的解，∴B错；∵(2,3)为有序数组，2,3为数，∴C错．
答案：D
2．已知集合A＝{高一 · 三班同学}，B＝{高一 · 三班二组
成员}，则 ( )
A．A B B．A B
C．A? B D．B? A
解析：由集合中元素的特点可知，D正确．
答案：D
3．指出下列各对集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；
②A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
③A＝{－1,1}，B＝{ ，{－1}，{1}，{－1,1}}；
④A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
⑤A＝{x|－1解：(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A? B.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A? B.
[一点通] 根据两个集合相等求集合中的特定字母，一般是从集合中元素对应相等来建立方程(或方程组)．要注意将对应相等的情况分类列全，最后还需要注意将方程(或方程组)的解代入原集合检验，对不符合题意的解要舍去．
答案：C
5．已知M＝{0,2，b}，N＝{0,2，b2}，且M＝N，则实
数b的值为________．
解析：∵M＝N，∴b＝b2.解得b＝1或b＝0(舍去)，
∴b＝1.
答案：1
[例3] 试写出满足条件 ? M? {0,1,2}的所有集合M.
[思路点拨] 欲求M，首先需弄清条件“ ? M?{0,1,2}”的含义．由“ ? M”说明M为非空集合，即M中至少含有一个元素；由“M ?{0,1,2}”知，M中至多含有2个元素，因此M中元素个数为1或2，故可根据元素个数逐一列出集合M.
[精解详析] ∵ ? M? {0,1,2}，∴M为{0,1,2}的非空真子集．
∴M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；
当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；
∴M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
[一点通] 解答本题应根据子集、真子集的概念求解，在写集合的子集或真子集时，一般按元素由少到多的顺序一一列举，可避免重复和遗漏．
6．集合A＝{ x|0≤ x<3，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8
C．7 D．4
解析：A＝{0,1,2}∴真子集为： ，{0}，{1}，{2}，
{0,1}，{0,2}，{1,2}共7个．
答案：C
7．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，
并指出其中哪些是它的真子集．
解：将方程(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0因式分解得(x－4)
(x＋1)(x＋4)2＝0，则可得方程的根为x＝－4或x＝－1
或 x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，其子集为 ，{－4}，
{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4,1,4}，
真子集为 ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，
{－1,4}.
[例4] 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤
2m＋1}，已知B A.求实数m的取值范围．
[思路点拨] 由B A可得集合B＝ 或B中的任何一个元素都在集合A中，可借助数轴解决．
[精解详析] 当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝ ，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠ .
由B A，借助数轴表示如图所示．
[一点通] 已知集合间的关系，求参数范围的步骤：
(1)化简所给集合．
(2)用数轴表示所给集合．
(3)根据集合间的关系，列出关于参数的不等式(组)．
(4)求解．
注意：①列关于参数的不等式(组)时，等号能否取到．
②在处理A B(B≠ )的含参数问题时，不要忽视A＝
这种情况．
8．设A＝{x|1< x<2}，B＝{ x|x取值范围是 ( )
A．a≥2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤2
解析：A＝{x|1则应有a≥2.
答案：A
9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，B＝{1,2}，
且A? B，求实数a的取值范围．
解：∵B＝{1,2}，A? B，
∴A可以是 ，{1}，{2}．
当A＝ 时，Δ＝a2－4<0，即－2当A＝{1}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0
且1＋a＋1＝0，所以a＝－2；
当A＝{2}时，方程有两个相等的实数根，Δ＝a2－4＝0
且4＋2a＋1＝0，此时不能成立，舍去．
综上所述，a的取值范围为{a|－2≤a<2}．
1．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2． 与0，{0}，{ }的区别与联系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示
无的意思 都是
集合 都是集合
与0 与{0} 与{ }
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；
{0}含一个元素0 不含任何元素；
{ }含一个元素，
该元素是空集
关系 0 {0} { }
或 ∈{ }
3．判断两集合间的关系的方法
判断两个集合之间的关系，主要有以下三种方法：
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第一章 集合
核心要点归纳
章末小结
知识整合与阶段检测
阶段质量检测
一、集合的含义与表示
1．集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性．确定性是指元素是否属于集合是确定的；互异性指某一集合中的元素互不相同；无序性则是指集合中的元素没有顺序．
2．集合有四种表示方法：自然语言表示法、列举法、描述法和Venn图法．一般利用列举法和描述法表示集合，它们各有特点．
二、集合的基本关系
1．集合之间的关系是包含与被包含的关系，要区别于元素与集合间的关系．集合间关系使用符号“ 、 、 、＝”，而元素与集合间的关系则使用“∈、 ”．
2．含n个元素的集合的子集个数为2n个，非空子集为
2n－1个，真子集个数为2n－1个，非空真子集个数为2n－2个．
3．当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
三、集合的交集、并集和补集
1．解答集合(或两个以上集合)交、并集的运算时，
(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合集合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合是连续的无限集，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．
2．对于已知两个有限集的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程求解．另外，在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求解结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性．
3．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
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