一、填空题
1．(2012·安徽高考改编)(log29)·(log34)＝________．
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：4
2．给出以下等式：
(1)logaM·logaN＝loga(M＋N)；
(2)logaM－logaN＝loga(M－N)；
(3)loga(MN)＝logaM·logaN；
(4)logaM＋logaN＝loga(MN)；
(5)3logaM＝logaM3.(其中a>0，a≠1，M>0，N>0)
其中正确的是________．
解析：根据积、商、幂的对数运算法则知，(4)(5)正确，(1)(2)(3)不正确．
答案：(4)(5)
3．已知lg 2＝a，10b＝3，则lg 108＝________(用a，b表示)
解析：由条件可知lg 2＝a，lg 3＝b，
∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3
＝2a＋3b.
答案：2a＋3b
4．已知3a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为________．
解析：由条件可知a＝log3m，b＝log5m，
∴＋＝logm 3＋logm5＝2，∴logm15＝2.
即m2＝15，∴m＝.
答案：
5．计算：(log23＋log49＋log827)·log32＝________．
解析：原式＝(log23＋log2232＋log2333)log32
＝(log23＋log23＋log23)×log32
＝(3×)log23log32＝1.
答案：1
6．(2011·湖北高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6 10 000
二、解答题
7．计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
法二：原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3.
8．已知：log95＝m，3n＝7，试用m，n的式子表示log359.
解：法一：由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝log35，∴log35＝2m.
∴log359＝＝＝.
法二：由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝＝m，
∴lg 5＝2mlg 3.
∵log37＝＝n，∴lg 7＝nlg 3，
∴log359＝＝
＝＝.
9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？
(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解：假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，根据题意得：0.75x＝，
∴x＝log0.75＝－＝－≈4.
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.一、填空题
1．函数f(x)＝＋lg x的定义域是________．
解析：由得0
答案：(0，1]
2．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________．
解析：∵loga1＝0，∴x＝0时f(x)＝2.
故函数f(x)过定点(0，2)．
答案：(0，2)
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.
答案：a>c>b
4．若y＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数y＝(loga)x在R上为减函数，
∴0∴答案：(，1)
5．函数y＝logax，x∈[2，4]，a>0且a≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a＝________．
解析：当a>1时，loga4－loga2＝1，解得a＝2，
当0∴a＝2或.
答案：2或
6．设f(x)＝
则f(f(－2))＝________．
解析：f(－2)＝10－2，∴f(f(－2))＝f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
答案：－2
二、解答题
7．已知函数f(x)＝log2(x－3)．
(1)求f(51)－f(6)的值；
(2)若f(x)≥0，求x的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝log2(x－3)，
∴f(51)－f(6)＝log2(51－3)－log2(6－3)
＝log248－log23＝log216＝4.
(2)f(x)≥0即log2(x－3)≥0，
∴x－3≥1解得x≥4.
所以x的取值范围为[4，＋∞)．
8．比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.76与60.7.
解：(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
π>0.9，∴log2π>log20.9.
(2)∵log20.3log0.21＝0，
∴log20.3(3)∵60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
log0.76∴60.7>0.76>log0.76.
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0，利用图象求a的取值范围．
解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝，即log3x＝，解得x＝.
由如图所示的图象知：
当0，则故当0的a的取值范围为(，2)．一、填空题
1．若函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由条件知，Δ＝(－2)2－4a>0，解得a<1.
∴实数a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
2．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是________．
解析：由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.
∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx(x＋)，由g(x)＝0得
x＝0或x＝－.
∴g(x)的零点是0和－.
答案：0和－
3．(2012·北京高考改编)函数f(x)＝x－的零点个数为________．
解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定义域内有唯一零点．
答案：1
4．已知方程ax＝x＋a(a>0且a≠1)有两解，则a的取值范围为________．
解析：如图．当01时y＝ax与y＝x＋a的图象必存在两个交点，故a>1.
答案：(1，＋∞)
5．(2011·新课标高考改编)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．
①(－，0) ②(0，)
③(，) ④(，)
解析：因为f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，
所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(，)．
答案：③
6．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为__________．
解析：∵函数f(x)的图象开口向上，又两个零点分别在1的两侧，∴f(1)＝1＋(a－1)＋(a－2)<0，
即2a－2<0.∴a<1.
答案：(－∞，1)
二、解答题
7．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x＋7；
(2)f(x)＝2x2－5x＋1；
(3)f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)．
解：(1)令f(x)＝2x＋7＝0，解得x＝－.
∴函数的零点为x＝－.
(2)令f(x)＝2x2－5x＋1＝0，解得
x1＝，x2＝.
∴函数的零点为x1＝，x2＝.
(3)令f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝－3，x2＝2，x3＝1.∴函数的零点为
x1＝－3，x2＝2，x3＝1.
8．已知函数f(x)＝ax2－(a＋3)x＋4.若y＝f(x)的两个零点为α，β，且满足0<α<2<β<4，求实数a的取值范围．
解：∵函数y＝f(x)的两个零点是α，β，且α<β，
则当a＝0时，显然不可能有两个不同零点．
则应有 ①
或 ②
解①得综上可知，a的取值范围为{a|9．已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数．
(1)试讨论当m取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；
(2)若这个二次函数有两个零点x1，x2，且x1，x2的倒数和为，求二次函数的解析式．
解：(1)记二次函数对应的方程为x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0，
则Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝16>0，
∴方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0必有两个不相等的实数根，
即不论m取何值，这个二次函数必有两个零点．
(2)依题意，x1，x2是方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3.
又＋＝，即＝，
∴＝，①
解之得m＝0或m＝5.
经检验m＝0或m＝5都是方程①的解．
故所求二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.一、填空题
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案：4，3
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，
f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625，根据二分法可知，下一个有解区间为(2，2.5)．
答案：(2，2.5)
3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是下列函数中的________．
①f(x)＝4x－1 ②f(x)＝(x－1)2
③f(x)＝ex－1 ④f(x)＝ln(x－)
解析：由g(0)＝－1，g()＝1可知g(x)的零点在(0，)上，而f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－)的零点是，所以
f(x)＝4x－1满足题意．
答案：①
4．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．
解析：令f(x)＝x3－2x－1，
则f(1.5)＝(1.5)3－2×1.5－1＝－0.625<0，
f(1)＝13－2×1－1＝－2<0，
f(2)＝23－2×2－1＝3>0，
∴f(1.5)·f(2)<0，∴区间为(1.5，2)．
答案：(1.5，2)
5．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有惟一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________次．
解析：由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.
答案：4
6．已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值与0的大小关系恒有________．
解析：∵f(1)f(2)＝[()1－0]·[()2－log22]＜0，
∴1＜x0＜2.
如图所示，当0＜x1＜x0时，函数y＝()x的图象在y＝log2x的上方，即必有()x1＞log2x1，
∴f(x1)＞0恒成立．
答案：f(x1)＞0
二、解答题
7．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称多少次就可以发现这枚假币？
解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
8．判断函数y＝x3－x－1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．
解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1，1.5) 1.25 －0.3
(1.25，1.5) 1.375 0.22
(1.25，1.375) 1.312 5 －0.05
(1.132 5，1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01
因为1.312 5，1.328 125精确到0.1的近似值都为1.3，所以函数的一个近似零点为1.3.
9．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象的交点的横坐标(精确到0.1)．
解：求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根．令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 0.416 3>0
(2，2.5) 2.25 0.060 9>0
(2，2.25) 2.125 －0.121 2<0
(2.125，2.25) 2.187 5 －0.029 7<0
(2.187 5，2.25) 2.218 75 0.015 7>0
由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln x＋x－3＝0在
(2，3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．一、填空题
1．把指数式()－2＝25化成对数式________．
解析：由对数的定义，得log25＝－2.
答案：log25＝－2
2．方程log5(1－2x)＝1的解x＝________．
解析：由log5(1－2x)＝1知1－2x＝5，∴x＝－2.
答案：－2
3．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
解析：由loga2＝m得am＝2，由loga3＝n得an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
答案：12
4．若f(10x)＝x，则f(1 000)的值为________．
解析：令10x＝t，∴x＝lg t.
∴f(t)＝lg t即f(x)＝lg x.
∴f(1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f(1 000)＝3.
答案：3
5．若10α＝2，β＝lg 3，则100α－β＝________．
解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3.
∴100α－β＝＝＝＝.
答案：
6.给出以下结论：①lg(－10)＝－1，②ln(lne)＝0，③若lg a＝10，则a＝10，
④若e－1＝，则ln＝－1，⑤10－log2＝2.
其中正确结论的序号是________．
解析：∵零和负数没有对数，∴①不正确；
∵ln(lne)＝ln 1＝0，∴②正确；
若lg a＝10，则a＝1010，∴③不正确；
∵e－1＝，∴loge＝ln ＝－1，∴④正确；
∵10－log2＝(10－1)log2＝()log2＝2，∴⑤正确．
答案：②④⑤
二、解答题
7．(1)将对数式log9＝－2，化为指数式；
(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式；
(3)已知log2(log5x)＝1，求x的值．
解：(1)∵log9＝－2，∴()－2＝9；
(2)∵10－3＝0.001，∴log100.001＝－3，即lg 0.001＝－3；
(3)∵log2(log5x)＝1，∴log5x＝2，∴x＝52＝25.
8．求下列各式中x的值：
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；
(3)log2(log5x)＝0；(4)log3(lg x)＝1.
解：(1)由log8x＝－，得x＝8＝(23) ＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x＝27，x＝(33)＝34＝81.
(3)由log2(log5x)＝0，得log5x＝1，所以x＝5.
(4)由log3(lg x)＝1，得lg x＝3，所以x＝103＝1 000.
9．已知log2x＝3，log2y＝5，求log2的值．
解：∵log2x＝3，log2y＝5，
∴x＝23，y＝25，＝＝
∴log2＝log2＝log22－2＝－2.一、填空题
1．已知：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)________．
(1)y＝a＋ (2)y＝a＋bx
(3)y＝a＋logbx (4)y＝a·bx
解析：由表知x可以取“0”，排除(1)、(3)，
对于(2)：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02.b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确．
答案：(4)
2．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过________年，剩留的物质是原来的.
解析：先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝()2，…，那么经过x年，则y＝()x.依题意得()x＝，解得x＝3.
答案：3
3．某座高山，从山脚开始，海拔每升高100米气温就降低0.7℃，已知山顶温度是
14.1℃，山脚的温度是26℃，则这座山的相对高度是________．
解析：由题意知，山高h(百米)与气温T(℃)为一次函数关系，则T＝－0.7h＋b，
当h＝0时，T＝26℃，∴b＝26，即T＝－0.7h＋26.当T＝14.1℃时，h＝17(百米)．
∴此山的相对高度为1 700米，也可直接得h＝＝17(百米)＝1 700(米)．
答案：1 700米
4．(2011·北京高考改编)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15①，
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
答案：60，16
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析：依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润
S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，
Smax＝45.6(万元)．
答案：45.6(万元)
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln(1＋)＝12 000，
∴ln(1＋)＝6，
∴＝e6－1.
答案：e6－1
二、解答题
7．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？
解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，租赁公司的月收益为f(x)＝(100－)·(x－150)－×50
＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050元．
答：当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
8．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：(1)对甲茶具店而言：当茶社购买这种茶壶个数0≤x≤18时，每个售价为80－2x元，当茶社购买这种茶壶x≥19时，每个售价为44元，则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80×75%＝60元．
则y2与x之间的函数关系式为：
y2＝60x(x≥0，x∈N*)
(2)当0≤x≤18时，
令y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x>0 2x(x－10)≤0 或解之得0≤x≤10.
当x≥19时，y1＝44x所以，茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
9．医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
天数x 病毒细胞总数y
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
解：(1)由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)，
则由2x－1≤108，两边取常用对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1＝27.58.
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x，
由题意226×2%×2x≤108，
两边取常用对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.5.
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上．)
1．函数y＝lg(x2＋1)的值域是__________．
解析：∵u＝x2＋1≥1，∴y＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0.
∴y∈[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
2．函数y＝的定义域是________．
解析：∵3x－1≥0，∴3x≥1＝30.
∴x≥0，定义域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
3．函数f(x)＝lg(－1解析：∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0，0)对称．
答案：(0，0)
4．已知函数①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x，则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是________．
解析：根据指数函数，对数函数和幂函数的图象可知，从左至右依次对应④y＝x，③y＝x－1，①y＝2x，②y＝log2x.
答案：④③①②
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋a(a为常数)，则f(－1)＝__________．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝20＋0＋a＝0，
则a＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1－1)＝－2.
答案：－2
6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－1的图象不过原点，则实数m的值是__________．
解析：∵函数为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m＝1或2.
当m＝1时，m2－m－1＝－1；m＝2时，m2－m－1＝1.又∵图象不过原点，∴m2－m－1＝－1即m＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝的定义域为M，函数g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝________．
解析：∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－1答案：(－1，1)
8．函数y＝()x2－3x＋2的增区间是________．
解析：原函数由y＝()u，u＝x2－3x＋2复合而得，
∵y＝()u是减函数，u＝x2－3x＋2在(－∞，]上是减函数．
∴由复合函数的单调性得其增区间是(－∞，]．
答案：(－∞，]
9．已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x，f(x)对应值：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数f(x)存在实数解的区间有________个．
解析：由表可知：f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)f(7)<0，所以函数f(x)存在实数解的区间有4个．
答案：4
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，那么，f(log2)＝________．
解析：log2＝－log23，∴f(log2)＝f(－log23)
＝－f(log23)＝－2log23＝－3.
答案：－3
11．关于x的方程()|x|＝a＋1有解，则a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝()|x|，其图象如图所示，∴0∴0答案：(－1，0]
12．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物数量y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的数量约为________．
解析：由题意，alog22＝100，∴a＝100，
∴y＝f(x)＝100log2(x＋1)，
∵2016年是第31年，∴f(31)＝100log232＝500.
答案：500
13．已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
解析：∵f(x)在[0，1]上为单调函数，∴最值在区间的两个端点处取得，∴f(0)＋f(1)＝a，
即a0＋loga(0＋1)＋a1＋loga(1＋1)＝a，解得a＝.
答案：
14．设f(x)为定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上为增函数，且f()＝0则不等式f(log8x)>0的解集为__________．
解析：由条件可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，
且f(－)＝f()＝0.
∴f(x)>0的解集为x>或x<－，
∴f(log8x)>0可化为log8x>或log8x<－.
∴x>2或0答案：(0，)∪(2，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算下列各题：
(1)0.008 1＋(4－)2＋()－－16－0.75；
(2)lg25＋lg 2lg 50＋21＋log25.
解：(1)原式＝(0.3)4×＋(2－)2＋(2)－－24×(－0.75)
＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.3＋0.25＝0.55.
(2)原式＝lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2＋21·2log25
＝lg 5＋lg 2＋21·2log2＝1＋2.
16．(本小题满分14分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点)
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
解：(1)由已知得y＝
(2)当0≤t≤1时，4t≥，得≤t≤1；
当1＜t≤5时，(t－5)2≥，得t≥，或t≤，
∴1＜t≤.∴≤t≤，∴－＝.
因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.6小时．
17．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0， ①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0. ②
①－②得b＝a＋8. ③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3(x＋)2＋＋18，
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12，18]．
18．(本小题满分16分)设函数是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x1－x2)＝；
(3)若f(1)＝2，解不等式f(3x)>4f(x)．
解：(1)证明：令x1＝x2＝，
则f(t)＝f()·f()＝[f()]2.
∵f()≠0，∴f(t)>0，即f(x)>0.
(2)证明：∵f(x1)＝f(x1－x2＋x2)
＝f(x1－x2)·f(x2)．
∵f(x)≠0，∴f(x1－x2)＝.
(3)∵f(1)＝2，∴2f(x)＝f(1)·f(x)＝f(1＋x)，4f(x)＝2·2f(x)＝f(1)·f(x＋1)＝f(x＋2)，
则f(3x)>4f(x)即f(3x)>f(2＋x)．
∵f(x)是定义在R上的增函数．
∴3x>2＋x，∴x>1.
故不等式f(3x)>4f(x)的解集为(1，＋∞)．
19．(本小题满分16分)设函数f(x)＝a－，
(1)求a的值，使f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是增函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)为奇函数，则f(0)＝a－＝a－1＝0，
∴a＝1，
经检验，a＝1时f(x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上递增，而x1∴2x1<2x2，
∴2x1－2x2<0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知，f(x)＝1－，
∵2x＋1>1，∴0<<1，
∴f(x)∈(－1，1)．
20．(本小题满分16分)设函数
f(x)＝
(1)求f(log2 )与f(log )的值；
(2)求满足f(x)＝2的x的值；
(3)求f(x)的最小值．
解：(1)∵log2 ∴f(log2 )＝2－log2＝2log2＝.
∵log ＝log()3＝3>1，
∴f(log )＝f(3)＝log3 ·log3 ＝log3 1·log3 3－1＝0×(－1)＝0.
故f(log2 )与f(log )的值分别为，0.
(2)当x≤1时，f(x)＝2－x＝2，解得x＝－1，符合题意，当x>1时，f(x)＝log3 ·log3 ＝2
即(log3x－1)(log3x－2)＝2，
∴logx－3log3x＝0，
∴log3x＝3或log3x＝0.
由log3x＝0得x＝1，不合题意(舍去)．
由log3x＝3，得x＝33＝27>1符合题意．
综上可知，所求x的值为－1或27.
(3)当x≤1时，f(x)＝2－x＝()x≥()1，
即f(x)min＝.
当x>1时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)．
令log3x＝t，则t>0，
∴y＝(t－1)(t－2)＝(t－)2－，
∴当t＝>0时，ymin＝－<.
∴f(x)的最小值为－.一、填空题
1．(2011·江苏高考)函数 (x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：由题意知，函数 (x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x＞－}，所以该函数的单调增区间为(－ ，＋∞)．
答案：(－ ，＋∞)
2．函数y＝lg(x2－2x＋3)的最小值是________．
解析：x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.∵y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴y＝lg(x2－2x＋3)≥lg 2.
答案：lg 2
3．函数y＝3x的反函数是________，y＝logx的反函数是________．
解析：∵函数y＝ax与函数y＝logax互为反函数，∴函数y＝3x的反函数是y＝log3x，函数y＝logx的反函数是y＝()x.
答案：y＝log3x y＝()x
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间
是________．
解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
5．设a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则a，b，c，d的大小关系是__________(从小到大排列)．
解析：∵a＝0.32∈(0，1)．b＝20.3∈(1，2)，c＝log25∈(2，3)，d＝log20.3∈(－1，0)，∴d答案：d6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
解析：由奇函数图象的对称性，知函数f(x)的图象如图所示．
由图象知满足f(x)>0的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
二、解答题
7．解方程：log(x＋1)－log2(x＋)＝1.
解：首先即x>－1.
原方程可化为2log2(x＋1)＝log22(x＋)．
∴(x＋1)2＝2(x＋)．
解得x＝2或－2.
∵x>－1，∴x＝－2舍去．
故原方程的根是x＝2.
8．解不等式：loga(3x－4)>loga(x－2)．
解：原不等式等价于
(1)当a>1时，又等价于
解得x>2.
(2)当0又等价于
不等式无解．
综上可知：当a>1时，不等式的解集为(2，＋∞)；
当09．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，
解得x≠0，即函数的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示．
(3)由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
证明：设x1、x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg .
∵x1、x2∈(－∞，0)，且x1∴|x1|>|x2|>0.
∴>1.
∴lg >0.
∴f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
即函数的单调递减区间是(－∞，0)．一、填空题
1．下列函数中指数函数的个数为________．
①y＝()x－1；②y＝2·3x；③y＝ax(a>0且a≠1，x≥0)；④y＝1x；⑤y＝()2x－1.
解析：由指数函数的定义可判定，只有③正确．
答案：1个
2．函数y＝(a－2)x是指数函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意，得a－2>0且a－2≠1，
∴a>2且a≠3.
答案：a>2且a≠3
3．若f(x)＝且f(a)＝，则a＝________.
解析：若a<0，则f(a)＝2a＝，a＝－1.
若a≥0，则f(a)＝a－1＝，a＝.
答案：－1或
4．函数y＝的定义域为__________．
解析：由2x－8≥0得x≥3.
答案：[3，＋∞)
5．函数f(x)＝()x在区间[－2，－1]上的最大值是________．
解析：∵f(x)＝()x在R上单调递减，
∴x＝－2时，f(x)max＝()－2＝9；
x＝－1时，f(x)min＝()－1＝3.
答案：9
6．函数f(x)＝()－x－2x＋1的值域是________．
解析：令u＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2≤2，
∵y＝()u在R上是单调递减，
∴当u≤2时，y≥()2＝，故值域为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
二、解答题
7．比较下列各组数的大小．
(1)()－1.8与()－2.6；(2)()－与1；(3)1.80.4与0.75.1.
解：(1)考察函数y＝()x，它在R上是单调减函数．
∵－1.8>－2.6，∴()－1.8<()－2.6.
(2)考察函数y＝()x，它在R上是单调减函数．
∵－<0，∴()－>()0＝1，∴()－>1.
(3)由指数函数性质知1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故1.80.4>0.75.1.
8．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，
(1)求f(6)的值；
(2)比较f(2)与f(a2＋2)的大小．
解：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则a3＝8.
∴a＝2，∴f(x)＝2x.
(1)f(6)＝26＝64.
(2)∵f(x)＝2x在R上是单调增函数，
又a2＋2≥2，
∴f(a2＋2)≥f(2)．
9．求函数y＝()x－()x－1＋2，x∈[－1,0]的值域．
解：y＝()2x－2·()x＋2，
令t＝()x，
∵x∈[－1,0]，∴t∈[1,2]，
则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1.
∵y＝(t－1)2＋1在[1,2]上单调递增，
∴y∈[1,2]，
∴原函数的值域是[1,2]．一、填空题
1．将函数y＝2x的图象上所有点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得函数图象对应的解析式是________．
解析：y＝2xy＝2x－3y＝2x－3－1.
答案：y＝2x－3－1
2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵0<<1，∴f(x)＝ax在R上单调递减，又f(m)>f(n)，∴m答案：m3．下列四个图形中，能表示函数y＝2|x|的大致图象的序号是________．
解析：y＝2|x|＝，
所以大致图象的序号是(2)．
答案：(2)
4．函数y＝32－2x的单调递减区间是________．
解析：令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝32－2x2的单调递减区间是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
5．受国家拉动内需政策的带动，某厂从2008年起，两年来产值平均每年比上一年提高12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计________年该厂年产值可比2008年翻一番．
解析：由(1＋12.4%)x＝2得x≈6.故估计2014年该厂年产值可比2008翻一番．
答案：2 014
6．定义运算：a b＝，则函数f(x)＝3－x 3x的值域为________．
解析：f(x)＝3－x 3x
＝.
其图象如图：
∴f(x)的值域为(0,1]．
答案：(0,1]
二、解答题
7．已知函数y＝()|x＋1|.
(1)作出图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时，函数有最值？
解：(1)y＝()xy＝()|x|y＝()|x＋1|，如图：
(2)由图象知y＝f(x)在(－∞，－1)上是单调递增的，在(－1，＋∞)上是单调递减的．
(3)当x＝－1时，ymax＝f(－1)＝1.
8．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15≈1.61)
解：设新树苗的木材量为Q，
①若连续生长10年，木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5.
②生长5年重栽新树苗，木材量为M＝2Q(1＋18%)5，
则＝＝≈>1.
∴M>N，即生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．
9．设函数f(x)＝a－，
(1)求证：f(x)是增函数；
(2)求a的值，使f(x)为奇函数．
解：(1)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上递增，而x1∴2x1<2x2，
∴2x1－2x2<0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(x)为奇函数，则f(0)＝a－＝a－1＝0，
∴a＝1，
经检验，a＝1时f(x)是奇函数．一、填空题
1．下列等式一定成立的是________(填序号)．
①a·a＝a ②a－·a＝0
③(a3)2＝a9 ④a÷a＝a
解析：a·a＝a＋＝a；a－·a＝a0＝1；
(a3)2＝a6；a÷a＝a－＝a，故④正确．
答案：④
2．化简(a>0)＝________．
解析：∵a>0，∴原式＝ ＝＝a.
答案：a
3．化简＋的结果为________．
解析：原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0.
答案：0
4．化简(－2ab－)·(－ab－)6÷(－2ab－)2＝________．
解析：原式＝(－2a＋3b－－2)÷(4ab－)
＝－a－b－＋
＝－.
答案：－
5．已知a>0且a＋a－1＝2，则a2＋a－2＝________．
解析：a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝4－2＝2.
答案：2
6．计算：＋＝________．
解析：原式＝＋ ＝(－1)＋(＋1)＝2.
答案：2
二、解答题
7．已知a＝(2 012－2 012－)(n∈N*)．求(＋a)n的值．
解：由已知得a2＋1＝(2 012＋2 012－－2)＋1＝(2 012＋2 012－＋2)＝(2 012＋2 012－)2.
∴ ＋a＝(2 012＋2 012－)＋(2 012－2 012－)＝2 012，
∴(＋a)n＝(2 012)n＝2 012.
8．化简求值
(1)ab·(－3ab)÷(ab)(a>0，b>0)；
(2)(0.064)－－(－)0＋()＋|－0.01|.
解：(1)原式＝ab·(－3ab)·(3a－b－)
＝(－3×3)a＋－b＋－
＝－9a1b0
＝－9a.
(2)原式＝(0.43)－－1＋[()4]＋(0.12)
＝0.4－1－1＋＋0.1
＝3.1.
9．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解：＝＝.
∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴a＋b＝6，ab＝4.
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×4＝20.
又a>b>0，∴a－b＝2.
∴原式＝＝.一、填空题
1．若幂函数过点(，8)，则其解析式为__________．
解析：设f(x)＝xα，则8＝()α.解得α＝－3.
∴f(x)＝x－3.
答案：f(x)＝x－3
2．设α∈{－2，－1，－，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数为________．
解析：∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，，1，3.
又f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴α＝，1，3.共3个．
答案：3
3．(2011·陕西高考改编)函数y＝x的图象是________．
解析：当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.故图象是②.
答案：②
4．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝________．
解析：∵函数f(x)＝kxα是幂函数，∴k＝1，
又图象过点(，)，∴()α＝，∴α＝.
∴k＋α＝1＋＝.
答案：
5．下列六个函数①y＝x，②y＝x，③y＝x－，④y＝x，⑤y＝x－2，⑥y＝x2中，定义域为R的函数有________(填序号)．
解析：函数①④⑥的定义域为R，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}．
答案：①④⑥
6．已知x2>x，则x的取值范围是________．
解析：作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)．
由图象易知x<0或x>1.
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
二、解答题
7．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.1；(2)－8－1和－9－1；
(3)()，()和().
解：(1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，
∴3<3.1.
(2)构造f(x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，
∵8<9，∴8－1>9－1，
∴－8－1<－9－1.
(3)构造函数y＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，
则()>().
构造函数y＝()x，此函数在R上是减函数，则()<()，
故()<()<().
8．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解：设f(x)＝xα，
则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
①当x>1或x<－1 时，f(x)>g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－19．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，所以m＝1，2.
∵函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，∴m＝1.
∴(a＋1)－<(3－2a) －.
∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．
∴a＋1>3－2a>0或3－2a解得即a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)．