人教A版（2019） 必修一 5.4 正切函数的图像和性质
一、单选题
1．（2020高一上·吉林期末）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 相交于 两点，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·北京月考）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·太原期中）若 ，则（ ）
A．f(0)>f(－1)>f(1) B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1) D．f(－1)>f(0)>f(1)
4．（2020高一下·开鲁期末）如图所示，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一下·江西期中）若函数 ， 的图象都在 轴上方，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·抚顺期末）函数y＝tan 的定域是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020高一下·林州月考）函数 落在区间 的所有零点之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2019高一上·苏州月考）已知函数 在 内是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·哈尔滨模拟）已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2019高一上·长沙月考）下列关于函数y＝tan( 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线x＝ 成轴对称
11．（2019高三上·成都月考）关于函数 的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是偶函数
C． 的图像关于直线 对称
D． 在每一个区间 内单调递增
12．（2019高一下·揭阳期中）函数 在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2019·长沙模拟）函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 ，则方程 所有解的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．（2020高三上·武平月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期是
B． 的值域是 ，且
C．直线 是函数 图象的一条对称轴
D． 的单调递减区间是 ，
三、填空题
15．（2020高一上·舒城期末）函数y=tan（ + ），x∈（0， ]的值域是 ．
16．（2020高一下·黄浦期末）函数 的单调递增区间为 .
17．（2020高一下·内蒙古期末）函数y＝3tan(2x＋ )的对称中心的坐标为 ．
18．（2020高一上·淮南期末）在区间 范围内,函数 与函数 的图象交点有 个.
19．（2020高一上·宁波期末）已知函数 的最小正周期是3.则 的对称中心为 .
20．（2019高一上·长沙月考）不等式 的解集是 .（结果写成集合形式）
四、解答题
21．（2019高一上·长沙月考）求函数 在 时的值域.
22．（2019高一上·长沙月考）已知 ， ，其中 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，故 的周期为2，所以 即 .
所以 ，故 .
故答案为：A.
【分析】根据 可得 的周期为 ，求出 的值后可得 的值.
2．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 ，所以周期 .
故答案为：C
【分析】根据正切型周期公式计算即可.
3．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 在 上是增函数， ，又 ，所以 ，
故答案为：A．
【分析】利用正切型函数的图象在区间上的单调性，再利用正切型函数的最小正周期，从而比较出三个函数值的大小关系。
4．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在 中，令 ，得 ，故 ，
又因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，
∴ ，
故答案为：A。
【分析】利用函数图象与y轴的交点为D，令 ，得 ，从而求出点D的坐标，从而求出OD的长，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出EF的长，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。
5．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
函数 ， 的图象都在 轴上方，
即对任意的 ，都有 ，即 ，
∵ ，∴ ， .
故答案为： .
【分析】计算 ， 恒成立，得到答案.
6．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，
， ，
， ，
函数的定义域是 ，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得， ， ，求出x的取值范围．
7．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为点 既是函数 的对称中心，也是函数 的对称中心，
又因为函数 的周期是 ，
所以两函数有两个交点，有 ，
即 ，所以零点之和为2.
故选：B
【分析】根据点 既是函数 的对称中心，也是函数 的对称中心，且函数 的周期是 ，得到交点的个数，再利用对称性求解.
8．【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 在 内是减函数.
所以 ，且 ，解得： .
故答案为：C
【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于 的不等式组，求出解集即可．
9．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由正切函数相邻的两个对称中心的距离为 ，
所以函数 的周期为 ，即 ，解得 ，
由函数 在区间 内单调递减，所以 ，
所以 ，
又由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的图象与性质，求出 得值，进而得出 的值，得到答案.
10．【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，解得 ，显然
不满足上上述关系式，故 错误；
易知该函数的最小正周期为 ，故 正确；
令 ，解得 ， ，任取 值不能得到 ，故 错误；
正切曲线没有对称轴，因此函数 的图象也没有对称轴，故 错误，
故答案为：B。
【分析】利用换元法将正切型函数转化为正切函数，再利用正切函数图象求出正切型函数的单调性和对称性，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出正切型函数的最小正周期，从而选出说法正确的选项。
11．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以A不符合题意； ，所以函数 是偶函数，B符合题意；由 的图像可知，C、D均正确，
故答案为：A.
【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.
12．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】方法一：
由题意得函数的周期为 ，故可排除B，C，D，
故答案为：A．
方法二：
令 ，则有 ，
故 ，
当k＝0时，得 ，
可知函数图象与x轴一交点的横坐标为 ，故可排除C、D，
令 ，得 ，
即函数图象的一条渐近线为 ，故排除B，
故答案为：A．
【分析】本题可利用三角型函数的最小正周期公式求出三角型函数的最小正周期，再利用排除法找出 函数 在一个周期内的图象；也可利用特殊值法结合赋值法求出函数图象与x轴一交点的横坐标，再利用求函数图象一条渐近线的方法，最后由排除法选出函数 在一个周期内的图象。
13．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 ，可得： .解得： .
所以
将 代入上式得： =0，解得： = ，
又 ，所以 .
所以 .
令 = ，则
所以 的图像关于点 对称。
令 ，且 = ，
解得： .
所以 的图像关于点 对称.
所以函数 与 的图像关于点 对称.
在同一坐标系中，作出 与 的图像，如图：
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.
所以方程 有且只有两个零点 ，且 .
所以方程 所有解的和为： .
故答案为：A.
【分析】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 结合三角型函数的最小正周期公式可得： .解得： ，将 代入三角型函数解析式结合的取值范围求出的值，从而求出三角型函数的解析式，再分别作出三角型函数 和 的图像，
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.所以方程 有且只有两个零点 ，且 ，所以方程 所有解的和为： .
14．【答案】A,D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A： 的周期为 ，选项A符合题意；
对于B： 的值域是 ，选项B不正确；
对于C：当 时， ， ，即直线 不是函数 对称轴，选项C不正确；
对于D：令 ， ，解得： ，
所以 的单调递减区间是 ， ，选项D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对四个选项逐一判断即可得正确答案.
15．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
结合正切函数的性质可得： ．
故答案为 ， ．
【分析】根据 ， ，求解 的范围，结合正切函数的性质可得值域；
16．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 ，解得 ，
则函数的单调递增区间为 ，
故答案为： .
【分析】由正切函数的单调性可得 ，解不等式即可求出函数的递增区间.
17．【答案】( － ，0)(k∈Z)
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令2x＋ ＝ (k∈Z)，得x＝ － (k∈Z)，
∴对称中心的坐标为( － ，0)(k∈Z)．
故答案为( － ，0)(k∈Z)
【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.
18．【答案】1
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵函数图象交点个数等价于方程 在 根的个数，
∴ ，解得： ，
∴方程只有一解，
∴函数 与函数 的图象交点有1个.
故答案为：1.
【分析】将函数图象交点个数等价于方程 在 根的个数，即可得答案.
19．【答案】；
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 的最小正周期是3，
则 ，得 ，
所以函数 ，
由 ，
得 ， ，
故对称中心为 .
故答案为： ； .
【分析】根据正切的周期求出 ，利用整体法求出对称中心即可.
20．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ， ，
故答案为： ．
【分析】根据正切函数性质求解．
21．【答案】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 时， ，
函数无最大值，
∴所求值域为 ．
故答案为：
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】先求出 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
22．【答案】（1）解：当 时， ， ，
根据二次函数的性质可得：当 时， 的最大值为
（2）解：函数 图象的对称轴为 ，
∵ 在 上是单调函数，
∴ 或 ，
即 或 .
因此， 角的取值范围是
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据 得 ，由二次函数的性质，即可得出结果；（2）由题意，得到 ，根据二次函数的性质，得到 或 ，求解，即可得出结果.
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一、单选题
1．（2020高一上·吉林期末）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 相交于 两点，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，故 的周期为2，所以 即 .
所以 ，故 .
故答案为：A.
【分析】根据 可得 的周期为 ，求出 的值后可得 的值.
2．（2020高三上·北京月考）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 ，所以周期 .
故答案为：C
【分析】根据正切型周期公式计算即可.
3．（2020高一下·太原期中）若 ，则（ ）
A．f(0)>f(－1)>f(1) B．f(0)>f(1)>f(－1)
C．f(1)>f(0)>f(－1) D．f(－1)>f(0)>f(1)
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 在 上是增函数， ，又 ，所以 ，
故答案为：A．
【分析】利用正切型函数的图象在区间上的单调性，再利用正切型函数的最小正周期，从而比较出三个函数值的大小关系。
4．（2020高一下·开鲁期末）如图所示，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在 中，令 ，得 ，故 ，
又因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，
∴ ，
故答案为：A。
【分析】利用函数图象与y轴的交点为D，令 ，得 ，从而求出点D的坐标，从而求出OD的长，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出EF的长，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。
5．（2020高一下·江西期中）若函数 ， 的图象都在 轴上方，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
函数 ， 的图象都在 轴上方，
即对任意的 ，都有 ，即 ，
∵ ，∴ ， .
故答案为： .
【分析】计算 ， 恒成立，得到答案.
6．（2020高一下·抚顺期末）函数y＝tan 的定域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，
， ，
， ，
函数的定义域是 ，
故答案为：C．
【分析】由正切函数的定义得， ， ，求出x的取值范围．
7．（2020高一下·林州月考）函数 落在区间 的所有零点之和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为点 既是函数 的对称中心，也是函数 的对称中心，
又因为函数 的周期是 ，
所以两函数有两个交点，有 ，
即 ，所以零点之和为2.
故选：B
【分析】根据点 既是函数 的对称中心，也是函数 的对称中心，且函数 的周期是 ，得到交点的个数，再利用对称性求解.
8．（2019高一上·苏州月考）已知函数 在 内是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数 在 内是减函数.
所以 ，且 ，解得： .
故答案为：C
【分析】由正切函数的图象与性质，得出关于 的不等式组，求出解集即可．
9．（2019·哈尔滨模拟）已知函数 ，点 和 是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由正切函数相邻的两个对称中心的距离为 ，
所以函数 的周期为 ，即 ，解得 ，
由函数 在区间 内单调递减，所以 ，
所以 ，
又由 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的图象与性质，求出 得值，进而得出 的值，得到答案.
10．（2019高一上·长沙月考）下列关于函数y＝tan( 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点 成中心对称
D．图象关于直线x＝ 成轴对称
【答案】B
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令 ，解得 ，显然
不满足上上述关系式，故 错误；
易知该函数的最小正周期为 ，故 正确；
令 ，解得 ， ，任取 值不能得到 ，故 错误；
正切曲线没有对称轴，因此函数 的图象也没有对称轴，故 错误，
故答案为：B。
【分析】利用换元法将正切型函数转化为正切函数，再利用正切函数图象求出正切型函数的单调性和对称性，再利用正切型函数的最小正周期公式，从而求出正切型函数的最小正周期，从而选出说法正确的选项。
11．（2019高三上·成都月考）关于函数 的性质，下列叙述不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 是偶函数
C． 的图像关于直线 对称
D． 在每一个区间 内单调递增
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 ，所以A不符合题意； ，所以函数 是偶函数，B符合题意；由 的图像可知，C、D均正确，
故答案为：A.
【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.
12．（2019高一下·揭阳期中）函数 在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】方法一：
由题意得函数的周期为 ，故可排除B，C，D，
故答案为：A．
方法二：
令 ，则有 ，
故 ，
当k＝0时，得 ，
可知函数图象与x轴一交点的横坐标为 ，故可排除C、D，
令 ，得 ，
即函数图象的一条渐近线为 ，故排除B，
故答案为：A．
【分析】本题可利用三角型函数的最小正周期公式求出三角型函数的最小正周期，再利用排除法找出 函数 在一个周期内的图象；也可利用特殊值法结合赋值法求出函数图象与x轴一交点的横坐标，再利用求函数图象一条渐近线的方法，最后由排除法选出函数 在一个周期内的图象。
13．（2019·长沙模拟）函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 ，则方程 所有解的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 ，可得： .解得： .
所以
将 代入上式得： =0，解得： = ，
又 ，所以 .
所以 .
令 = ，则
所以 的图像关于点 对称。
令 ，且 = ，
解得： .
所以 的图像关于点 对称.
所以函数 与 的图像关于点 对称.
在同一坐标系中，作出 与 的图像，如图：
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.
所以方程 有且只有两个零点 ，且 .
所以方程 所有解的和为： .
故答案为：A.
【分析】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 结合三角型函数的最小正周期公式可得： .解得： ，将 代入三角型函数解析式结合的取值范围求出的值，从而求出三角型函数的解析式，再分别作出三角型函数 和 的图像，
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.所以方程 有且只有两个零点 ，且 ，所以方程 所有解的和为： .
二、多选题
14．（2020高三上·武平月考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的周期是
B． 的值域是 ，且
C．直线 是函数 图象的一条对称轴
D． 的单调递减区间是 ，
【答案】A,D
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A： 的周期为 ，选项A符合题意；
对于B： 的值域是 ，选项B不正确；
对于C：当 时， ， ，即直线 不是函数 对称轴，选项C不正确；
对于D：令 ， ，解得： ，
所以 的单调递减区间是 ， ，选项D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对四个选项逐一判断即可得正确答案.
三、填空题
15．（2020高一上·舒城期末）函数y=tan（ + ），x∈（0， ]的值域是 ．
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由 ， ， ，
结合正切函数的性质可得： ．
故答案为 ， ．
【分析】根据 ， ，求解 的范围，结合正切函数的性质可得值域；
16．（2020高一下·黄浦期末）函数 的单调递增区间为 .
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令 ，解得 ，
则函数的单调递增区间为 ，
故答案为： .
【分析】由正切函数的单调性可得 ，解不等式即可求出函数的递增区间.
17．（2020高一下·内蒙古期末）函数y＝3tan(2x＋ )的对称中心的坐标为 ．
【答案】( － ，0)(k∈Z)
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】令2x＋ ＝ (k∈Z)，得x＝ － (k∈Z)，
∴对称中心的坐标为( － ，0)(k∈Z)．
故答案为( － ，0)(k∈Z)
【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.
18．（2020高一上·淮南期末）在区间 范围内,函数 与函数 的图象交点有 个.
【答案】1
【知识点】正弦函数的图象；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】∵函数图象交点个数等价于方程 在 根的个数，
∴ ，解得： ，
∴方程只有一解，
∴函数 与函数 的图象交点有1个.
故答案为：1.
【分析】将函数图象交点个数等价于方程 在 根的个数，即可得答案.
19．（2020高一上·宁波期末）已知函数 的最小正周期是3.则 的对称中心为 .
【答案】；
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 的最小正周期是3，
则 ，得 ，
所以函数 ，
由 ，
得 ， ，
故对称中心为 .
故答案为： ； .
【分析】根据正切的周期求出 ，利用整体法求出对称中心即可.
20．（2019高一上·长沙月考）不等式 的解集是 .（结果写成集合形式）
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】由 得 ， ，
故答案为： ．
【分析】根据正切函数性质求解．
四、解答题
21．（2019高一上·长沙月考）求函数 在 时的值域.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 时， ，
函数无最大值，
∴所求值域为 ．
故答案为：
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】先求出 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
22．（2019高一上·长沙月考）已知 ， ，其中 .
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数．
【答案】（1）解：当 时， ， ，
根据二次函数的性质可得：当 时， 的最大值为
（2）解：函数 图象的对称轴为 ，
∵ 在 上是单调函数，
∴ 或 ，
即 或 .
因此， 角的取值范围是
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；正切函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据 得 ，由二次函数的性质，即可得出结果；（2）由题意，得到 ，根据二次函数的性质，得到 或 ，求解，即可得出结果.
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