高中数学人教新课标A版必修四 第一章 三角函数 单元试卷

高中数学人教新课标A版必修四 第一章 三角函数 单元试卷
一、单选题
1．函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2018·凯里模拟）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2018高一下·沈阳期中）若点 在第一象限，则在 内 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
4．（2017·重庆模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得函数y=f（x）为偶函数时，则φ的一个值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2019·浙江模拟）已知函数 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 的图像向左平移 后得到偶函数 的图像，则函数 的一个单调递减区间为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019高二上·浙江期末）函数 的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2017·抚顺模拟）已知 满足 ，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间 [0，] 上的最大值为（　　）
A．4 B． C．1 D．﹣2
9．（2018高一下·枣庄期末）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019·长沙模拟）函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 ，则方程 所有解的和为（　　）
A． B． C． D．
11．（2019·邢台模拟）已知函数 的图象经过点 和 .若函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2018高三上·长春期中）已知函数 （其中 ）的图象关于点 成中心对称，且与点 相邻的一个最低点为 ，则对于下列判断：①直线 是函数 图象的一条对称轴；②点 是函数 的一个对称中心；③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 .其中正确的判断是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
13．（2018高一上·南通月考） 的值为　 　．
14．（2018高二下·甘肃期末）若 ，则 的值为　 　.
15．（2018·吕梁模拟）将函数 的图象向右平移 个单位后，再向下平移1个单位得到函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为　 　．
16．（2018高一下·鹤壁期末）已知 ， ，且 在区间 只有最小值，没有最大值，则 的值是　 　．
三、解答题
17．（2016高一上·宿迁期末）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧 、 所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ= ，r1=3，r2=6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？
18．（2017高一下·桃江期末）化简计算：
（1）化简： ．
（2）已知：sinαcosα= ，且 ＜α＜ ，求cosα﹣sinα的值．
19．（2020高一上·遂宁期末）已知角α的终边经过点 ， 且 为第二象限角．
（1）求 、 、 的值；
（2）若 ，求 的值．
20．（2018高一下·龙岩期中）设函数 ， 图像的一条对称轴是直线 ．
（Ⅰ）求 的值并画出函数 在 上的图像；
（Ⅱ）若将 向左平移 个单位，得到 的图像，求使 成立的 的取值范围.
21．（2016高一上·杭州期末）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
22．（2017高一下·新余期末）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）的图象
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣ ， ]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意，由于函数有意义的变量x的取值集合为，结合三角函数的图象可知，满足不等式的解集为，选D.
2．【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】
故
故答案为：
【分析】分别确定三个数的范围，即可得出结论。
3．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】因为点 在第一象限，所以 ，又因为 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】先根据点P在第一象限，得到三角方程：sinα-cosα＞0，tanα＞0，解三角方程可解出α的范围．
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，
∴ =π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x+ ）
∴将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，得到的函数解析式为：y=sin[2（x+φ）+ ]=sin（2x+2φ+ ）
∵所得函数y=f（x）为偶函数，
∴2φ+ =kπ ，k∈Z可解得：φ= ，k∈Z
∴当k=0时，φ= ．
故选：D．
【分析】由已知先求得ω的值，从而确定解析式，根据图象变换规律求出平移后的解析式，由已知可解得：φ= ，k∈Z，从而得解．
5．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
则：T＝π，
所以：ω＝2
将函数f（x）的图象向左平移 后，
得到g（x）＝sin（2x θ）是偶函数，
故： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
由于： ，
所以：当k＝0时 ．
则 ，
令： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[ ]，
由于[ ] [ ]，
故答案为：B．
【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得出函数 的解析式，即可得出函数 的一个单调递减区间 .
6．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（﹣x） f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
排除B，D，
函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
由f（x）＝0得 sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，
则f（ ） 0，排除C，
故答案为：A．
【分析】利用函数的奇偶性，定义域和特值法进行判断，即可得到函数图象.
7．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
8．【答案】B
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：∵f（0）= ，∴sinφ= ，∴φ= ．
∵f（x）=﹣f（x+ ），∴
∴ ，即ω=2．
∴ ，
∵x∈[0， ]，∴
∴当2x+ = 时，g（x）取得最大值， ．
故选：B．
【分析】求出ω，φ得到g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和x的范围得出g（x）的最值．
9．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 ，
得 ，
∴函数 的单调递减区间为 ．
∵函数 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为：A．
【分析】由正弦函数的单调递减性质：，代入数据计算，即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 ，可得： .解得： .
所以
将 代入上式得： =0，解得： = ，
又 ，所以 .
所以 .
令 = ，则
所以 的图像关于点 对称。
令 ，且 = ，
解得： .
所以 的图像关于点 对称.
所以函数 与 的图像关于点 对称.
在同一坐标系中，作出 与 的图像，如图：
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.
所以方程 有且只有两个零点 ，且 .
所以方程 所有解的和为： .
故答案为：A.
【分析】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 结合三角型函数的最小正周期公式可得： .解得： ，将 代入三角型函数解析式结合的取值范围求出的值，从而求出三角型函数的解析式，再分别作出三角型函数 和 的图像，
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.所以方程 有且只有两个零点 ，且 ，所以方程 所有解的和为： .
11．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意得 ， ，得 ，故 ，因为 ， ，所以 .由 ，得 ，因为 ，故 ，所以 ，从而当 时， ，令 ，则由题意得 在 上有唯一解，故由正弦函数图象可得 或 ，解得 .
故答案为：D
【分析】由函数 的图象经过点 和 .，将两点坐标代入函数解析式求出的值，从而求出三角形函数解析式，再利用零点存在性定理结合三角型函数换元得到的正弦函数图象求出m的取值范围。
12．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为（ ，﹣3），
则： ，
所以：T=π，
进一步解得： ，A=3
由于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，所以： （k∈Z），
解得： ，
由于0＜φ＜π，
所以：当k=1时， ．
所以：f（x）=3 ．
①当x= 时，f（ ）=﹣3sin =﹣ ，故错误．
②当x= 时，3sin（- ）=0，故正确．
③由于：﹣ ≤x≤ ，
则： ，
所以函数f（x）的图象与y=1有6个交点．
根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，
根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．
故答案为：C.
【分析】1，结合三角函数性质，计算参数，即可得出答案。2.结合对称中心所在方程，即可得出答案。3.计算y=1对应x的值，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】依题意得 .
【分析】根据诱导公式，结合特殊件的余弦值即可求出相应的值.
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由 ，
则 ．
【分析】利用同角三角关系式以及诱导公式，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，
由 ， 得，
，所以 ，即 .
由 ，得 ，
当 ， 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】利用三角型函数的图象变换结合已知条件 和 求出的最小值。
16．【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意 是函数 的最小值点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ．
【分析】已知 f ( x ) = sin ( φ x + ) ( φ > 0 ) ， 由 f ( ) = f ( )知 ，当 x = 是函数 f ( x ) 的最小值点，要使且 f ( x ) 在区间 ( ， ) 只有最小值，没有最大值，则 有所以 ω + = 2 k π + ， k ∈ Z ，即 ω = 8 k + ， k ∈ Z ，又 T =ω ≥ ，所以 0 < ω ≤ 12 ，所以 ω = ．
17．【答案】（1）解：设花坛的面积为S平方米.
= =
答：花坛的面积为 ；
（2）解： 的长为r1θ米， 的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米
由题意知60 2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200
即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*
由*式知，
记r2﹣r1=x，则0＜x＜10
所以 =
当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）设花坛的面积为S平方米. ，即可得出结论；（2）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10，所以 = ，即可得出结论．
18．【答案】（1）解：原式= = =﹣1
（2）解：∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）﹣2sinαcosα；
又∵sin2α+cos2α=1，sinαcosα=
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2× =
∵ ＜α＜
∴cosα﹣sinα=﹣
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）原式化简成平方和，即可求解；（2）根据sin2α+cos2α=1、完全平方差公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2解答sinα﹣cosα的值即可．
19．【答案】（1）解：由三角函数的定义可知 ，解得 ，
因为 为第二象限角，∴ ，即点 ，则 ，
由三角函数的定义，可得
（2）解：由（1）知 和 ，
可得
= .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由三角函数的定义和 为第二象限角，求得 ，即点 ，再利用三角函数的定义，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式化简，代入即可求解.
20．【答案】解：（Ⅰ）依题有2x+ = .又 . ＝－ . ，列表如下：
描点连线，可得函数 在区间 上的图像如下：（Ⅱ）依题有：
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）利用对称轴求 的值，利用五点法画出函数 在 上的图像；（Ⅱ）求出g(x)的解析式，利用正弦函数的性质解不等式。
21．【答案】（1）解：角φ的终边经过点P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．
由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．
∴f（x）=2sin（3x﹣ ）
（2）解：∵x∈（ ， ），
∴3x﹣ ∈（0，π），
∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，
问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．
∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）． 作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．
∵t= 时，y=﹣ ；t=0时，y=0；t=2时，y=10．
∴当﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：m= 或﹣10＜m≤0．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意，先求tanφ=﹣ ，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象，讨论即可得解m的求值范围．
22．【答案】（1）解：把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；
再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的图象，
故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+ ）．
（2）解：若对任意的x∈[﹣ ， ]，2x+ ∈[0， ]，f（x）=sin（2x+ ）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，
令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．
（3）解：∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点，故f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点．
在[0，π]上，2x+ ∈[ ， ]．
①当a＞1，或a＜﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上无交点．
②当a=1，或a=﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]仅有一个交点，
此时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，则n=2017．
③当﹣1＜a＜ ，或 ＜a＜1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有2个交点，
f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有偶数个交点，不会有2017个交点．
④当a= 时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有3个交点，
此时，n=1008，才能使f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有2017个交点．
综上可得，当a=1，或a=﹣1时，n=2017；当a= 时，此时，n=1008．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根据二次函数的性质可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范围．（3）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，分类讨论，求得a、n的值．
1 / 1高中数学人教新课标A版必修四 第一章 三角函数 单元试卷
一、单选题
1．函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意，由于函数有意义的变量x的取值集合为，结合三角函数的图象可知，满足不等式的解集为，选D.
2．（2018·凯里模拟）设 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】
故
故答案为：
【分析】分别确定三个数的范围，即可得出结论。
3．（2018高一下·沈阳期中）若点 在第一象限，则在 内 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】因为点 在第一象限，所以 ，又因为 ，所以 ，
故答案为：B
【分析】先根据点P在第一象限，得到三角方程：sinα-cosα＞0，tanα＞0，解三角方程可解出α的范围．
4．（2017·重庆模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得函数y=f（x）为偶函数时，则φ的一个值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+ ）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，
∴ =π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x+ ）
∴将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，得到的函数解析式为：y=sin[2（x+φ）+ ]=sin（2x+2φ+ ）
∵所得函数y=f（x）为偶函数，
∴2φ+ =kπ ，k∈Z可解得：φ= ，k∈Z
∴当k=0时，φ= ．
故选：D．
【分析】由已知先求得ω的值，从而确定解析式，根据图象变换规律求出平移后的解析式，由已知可解得：φ= ，k∈Z，从而得解．
5．（2019·浙江模拟）已知函数 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 ，若将函数 的图像向左平移 后得到偶函数 的图像，则函数 的一个单调递减区间为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0， ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
则：T＝π，
所以：ω＝2
将函数f（x）的图象向左平移 后，
得到g（x）＝sin（2x θ）是偶函数，
故： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
由于： ，
所以：当k＝0时 ．
则 ，
令： （k∈Z），
解得： （k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[ ]，
由于[ ] [ ]，
故答案为：B．
【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得出函数 的解析式，即可得出函数 的一个单调递减区间 .
6．（2019高二上·浙江期末）函数 的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（﹣x） f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
排除B，D，
函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
由f（x）＝0得 sinx＝0，得距离原点最近的零点为π，
则f（ ） 0，排除C，
故答案为：A．
【分析】利用函数的奇偶性，定义域和特值法进行判断，即可得到函数图象.
7．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
8．（2017·抚顺模拟）已知 满足 ，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间 [0，] 上的最大值为（　　）
A．4 B． C．1 D．﹣2
【答案】B
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】解：∵f（0）= ，∴sinφ= ，∴φ= ．
∵f（x）=﹣f（x+ ），∴
∴ ，即ω=2．
∴ ，
∵x∈[0， ]，∴
∴当2x+ = 时，g（x）取得最大值， ．
故选：B．
【分析】求出ω，φ得到g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和x的范围得出g（x）的最值．
9．（2018高一下·枣庄期末）已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 ，
得 ，
∴函数 的单调递减区间为 ．
∵函数 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为：A．
【分析】由正弦函数的单调递减性质：，代入数据计算，即可得出答案。
10．（2019·长沙模拟）函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于点 ，则方程 所有解的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 ，可得： .解得： .
所以
将 代入上式得： =0，解得： = ，
又 ，所以 .
所以 .
令 = ，则
所以 的图像关于点 对称。
令 ，且 = ，
解得： .
所以 的图像关于点 对称.
所以函数 与 的图像关于点 对称.
在同一坐标系中，作出 与 的图像，如图：
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.
所以方程 有且只有两个零点 ，且 .
所以方程 所有解的和为： .
故答案为：A.
【分析】由函数 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点 结合三角型函数的最小正周期公式可得： .解得： ，将 代入三角型函数解析式结合的取值范围求出的值，从而求出三角型函数的解析式，再分别作出三角型函数 和 的图像，
由图可得：函数 与 的图像在 上有两个交点，这两个交点关于点 对称.所以方程 有且只有两个零点 ，且 ，所以方程 所有解的和为： .
11．（2019·邢台模拟）已知函数 的图象经过点 和 .若函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的图象；函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意得 ， ，得 ，故 ，因为 ， ，所以 .由 ，得 ，因为 ，故 ，所以 ，从而当 时， ，令 ，则由题意得 在 上有唯一解，故由正弦函数图象可得 或 ，解得 .
故答案为：D
【分析】由函数 的图象经过点 和 .，将两点坐标代入函数解析式求出的值，从而求出三角形函数解析式，再利用零点存在性定理结合三角型函数换元得到的正弦函数图象求出m的取值范围。
12．（2018高三上·长春期中）已知函数 （其中 ）的图象关于点 成中心对称，且与点 相邻的一个最低点为 ，则对于下列判断：①直线 是函数 图象的一条对称轴；②点 是函数 的一个对称中心；③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 .其中正确的判断是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为（ ，﹣3），
则： ，
所以：T=π，
进一步解得： ，A=3
由于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，所以： （k∈Z），
解得： ，
由于0＜φ＜π，
所以：当k=1时， ．
所以：f（x）=3 ．
①当x= 时，f（ ）=﹣3sin =﹣ ，故错误．
②当x= 时，3sin（- ）=0，故正确．
③由于：﹣ ≤x≤ ，
则： ，
所以函数f（x）的图象与y=1有6个交点．
根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，
根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．
故答案为：C.
【分析】1，结合三角函数性质，计算参数，即可得出答案。2.结合对称中心所在方程，即可得出答案。3.计算y=1对应x的值，即可得出答案。
二、填空题
13．（2018高一上·南通月考） 的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】依题意得 .
【分析】根据诱导公式，结合特殊件的余弦值即可求出相应的值.
14．（2018高二下·甘肃期末）若 ，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由 ，
则 ．
【分析】利用同角三角关系式以及诱导公式，即可得出答案。
15．（2018·吕梁模拟）将函数 的图象向右平移 个单位后，再向下平移1个单位得到函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 ，
由 ， 得，
，所以 ，即 .
由 ，得 ，
当 ， 时， 取得最小值 .
故答案为： .
【分析】利用三角型函数的图象变换结合已知条件 和 求出的最小值。
16．（2018高一下·鹤壁期末）已知 ， ，且 在区间 只有最小值，没有最大值，则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意 是函数 的最小值点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ．
【分析】已知 f ( x ) = sin ( φ x + ) ( φ > 0 ) ， 由 f ( ) = f ( )知 ，当 x = 是函数 f ( x ) 的最小值点，要使且 f ( x ) 在区间 ( ， ) 只有最小值，没有最大值，则 有所以 ω + = 2 k π + ， k ∈ Z ，即 ω = 8 k + ， k ∈ Z ，又 T =ω ≥ ，所以 0 < ω ≤ 12 ，所以 ω = ．
三、解答题
17．（2016高一上·宿迁期末）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧 、 所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ= ，r1=3，r2=6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？
【答案】（1）解：设花坛的面积为S平方米.
= =
答：花坛的面积为 ；
（2）解： 的长为r1θ米， 的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米
由题意知60 2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200
即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*
由*式知，
记r2﹣r1=x，则0＜x＜10
所以 =
当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）设花坛的面积为S平方米. ，即可得出结论；（2）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10，所以 = ，即可得出结论．
18．（2017高一下·桃江期末）化简计算：
（1）化简： ．
（2）已知：sinαcosα= ，且 ＜α＜ ，求cosα﹣sinα的值．
【答案】（1）解：原式= = =﹣1
（2）解：∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）﹣2sinαcosα；
又∵sin2α+cos2α=1，sinαcosα=
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2× =
∵ ＜α＜
∴cosα﹣sinα=﹣
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）原式化简成平方和，即可求解；（2）根据sin2α+cos2α=1、完全平方差公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2解答sinα﹣cosα的值即可．
19．（2020高一上·遂宁期末）已知角α的终边经过点 ， 且 为第二象限角．
（1）求 、 、 的值；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解：由三角函数的定义可知 ，解得 ，
因为 为第二象限角，∴ ，即点 ，则 ，
由三角函数的定义，可得
（2）解：由（1）知 和 ，
可得
= .
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由三角函数的定义和 为第二象限角，求得 ，即点 ，再利用三角函数的定义，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式化简，代入即可求解.
20．（2018高一下·龙岩期中）设函数 ， 图像的一条对称轴是直线 ．
（Ⅰ）求 的值并画出函数 在 上的图像；
（Ⅱ）若将 向左平移 个单位，得到 的图像，求使 成立的 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）依题有2x+ = .又 . ＝－ . ，列表如下：
描点连线，可得函数 在区间 上的图像如下：（Ⅱ）依题有：
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）利用对称轴求 的值，利用五点法画出函数 在 上的图像；（Ⅱ）求出g(x)的解析式，利用正弦函数的性质解不等式。
21．（2016高一上·杭州期末）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：角φ的终边经过点P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．
由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．
∴f（x）=2sin（3x﹣ ）
（2）解：∵x∈（ ， ），
∴3x﹣ ∈（0，π），
∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，
问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．
∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）． 作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．
∵t= 时，y=﹣ ；t=0时，y=0；t=2时，y=10．
∴当﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：m= 或﹣10＜m≤0．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由题意，先求tanφ=﹣ ，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象，讨论即可得解m的求值范围．
22．（2017高一下·新余期末）将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）的图象
（1）写出函数f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣ ， ]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求实数a和正整数n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点．
【答案】（1）解：把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；
再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的图象，
故函数f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+ ）．
（2）解：若对任意的x∈[﹣ ， ]，2x+ ∈[0， ]，f（x）=sin（2x+ ）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，
令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．
（3）解：∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017个零点，故f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点．
在[0，π]上，2x+ ∈[ ， ]．
①当a＞1，或a＜﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上无交点．
②当a=1，或a=﹣1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]仅有一个交点，
此时，f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，则n=2017．
③当﹣1＜a＜ ，或 ＜a＜1时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有2个交点，
f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有偶数个交点，不会有2017个交点．
④当a= 时，f（x）的图象和直线y=a在[0，π]上恰有3个交点，
此时，n=1008，才能使f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上有2017个交点．
综上可得，当a=1，或a=﹣1时，n=2017；当a= 时，此时，n=1008．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．（2）令t=f（x）∈[0，1]，则g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根据二次函数的性质可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范围．（3）由题意可得f（x）的图象和直线y=a在[0，nπ]上恰有2017个交点，分类讨论，求得a、n的值．
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