(共41张PPT)
第三章 指数函数和对数函数
理解教材新知
§3
指数函数
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
考点一
考点二
考点三
第一
课时
指数
函数
的概念及
图像
和性质
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.
问题1：2004年我国的GDP可望是2000年的多少倍？
提示：(1＋7.3%)4倍．
问题2：记x年后，我国的GDP是2000年的y倍，x与y的关系式是什么？
提示：y＝(1＋7.3%)x＝1.073x(x∈N＋，0
函数 叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R.
y＝ax
对于给定的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)．
问题1：根据指数幂的运算，当x>0时，ax的取值情况怎样？
提示：若x>0，当a>1时，ax>1，当0问题2：在a>1或0提示：a>1时，ax是增加的，0问题3：当x＝0时，y的值是多少？这说明图像的什么特点？
提示：x＝0时，y＝1，说明图像过定点(0,1)．
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性
质 定义域
值域
定点 过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化 x＞0时， ；
x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，0＜y＜1
x＜0时，
单调性 是R上的 是R上的
R
(0，＋∞)
y＞1
y＞1
增函数
减函数
a＞1 0＜a＜1
2．对指数函数图像与性质的理解：
(1)底数a的取值范围确定函数的单调性；
(2)底数变化决定指数函数图像的变化：
指数函数y＝ax的图像如右图所示，
由指数函数y＝ax的图像与x＝1
相交于点(1，a)可知：
①在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；
②在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
图中的底数的大小关系为0[精解详析] (1)、(5)、(8)为指数函数．
(2)底数不是常数，故不是指数函数；
(3)是－1与指数函数3x的乘积；
(4)中底数－3<0，故不是指数函数；
(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；
(7)中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义．
[一点通] 判断一个函数是否为指数函数，①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，只是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．
答案：③
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
[一点通] 求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式较复杂的函数，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错．
答案：B
[一点通]
比较指数式大小的方法
(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断．
(2)中间量法：比较不同底数且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
答案：D
解：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y＝0.9x的两个函数值，由于底数0.9<1，
所以指数函数y＝0.9x在R上是减函数，
因为0.1<0.2，
所以0.90.1>0.90.2；
1．在指数函数定义中y＝ax具备的特点：
2．对于函数y＝af(x)．
定义域：使f(x)有意义的x的取值范围．
值域：分两步求得：第一步求u＝f(x)的值域．
第二步利用y＝au的单调性求得此函数的值域．
3．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
点击下列图片进入应用创新演练(共42张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
理解教材新知
§5
对数函数
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
5.3
对数
函数
的图
像和
性质
问题1：函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；
0单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性
质 定义域：
值域：
图像过定点：
当x＞1时，y 0，
当0＜x＜1时，y 0 当x＞1时，y 0，
当0＜x＜1时，y 0
增区间： 减区间：
奇偶性：
(0，＋∞)
R
(1,0)
＞
＜
＜
＞
(0，＋∞)
(0，＋∞)
非奇非偶函数
a＞1 0＜a＜1
1．同底数的指数函数与对数函数的相同点及联系
(1)a>1时同为增函数，0(2)互为反函数，图像关于y＝x对称；
(3)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．
2．对数式logax的符号(x>0，a>0，且a≠1)
(1)当01，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，也就是为正数，简称为“同正”；
(2)当01或x>1,0[例1] 比较大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)log67，log76；
(4)log3π，log20.8；
(5)log7 12，log8 12.
[思路点拨] ①(1)(2)底数相同，可利用单调性比较；
②(3)与(4)可分别与“1”和“0”比较大小；
③(5)可结合图像比较大小．
[精解详析] (1)考查对数函数y＝log2x，
∵2>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．
∴log23.4(2)考查对数函数y＝log0.3x，
∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.31.8>log0.32.7；
(3)∵log67>log66＝1，log76∴log67>log76；
(4)∵log3π>log31＝0，log20.8∴log3π>log20.8；
(5)在同一坐标系中作出
函数y＝log7x与y＝log8x的图
像，由底数变化对图像位置
的影响知：
log712>log812.
[一点通]
比较对数大小的思路：
(1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；
(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”．
答案：D
答案：B
[例2] 作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇偶性，并求出f(x)>0的解集．
[思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx
(x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数，f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
[一点通]
1．作函数图像的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)的图像在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图像，即可得到y＝f(|x|)的图像．y＝|f(x)|的图像可先作出y＝f(x)的图像，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝|f(x)|的图像．
2．如果只需要作出函数的大致图像时可采用图像变换．
3．如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关
系是 ( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：y＝logax的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a>1，函数y＝logbx，y＝logcx的图像在(0，＋∞)上都是下降的．因此b，c∈(0,1)，又易知c>b，故a>c>b.
答案：D
4．若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，
则函数f(x)＝loga(x＋1)的图像大致是 ( )
答案：D
5．方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的实数解的个数为
________．
答案：1
当0logat1，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)单调递增．
当a>1时，logat2∴f(x)在(1，＋∞)单调递减．
∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴当0当a>1时，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减．
[一点通]
1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．
2．判断函数的单调性利用单调性的定义．
3．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反．
6．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则
a的取值范围是 ( )
A．01
C．1答案：C
7．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的增减性；
(3)当a取何值时，图像在y轴的左侧？
解：(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0，
当0故当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，任设x1ax1，
∴ax2－1>ax1－1，
∴loga(ax2－1)>loga(ax1－1)，
即f(x2)>f(x1)。
∴当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
同理，当0(3)∵图像在y轴的左侧，
∴定义域为(－∞，0)，
由(1)知此时01．对数值比较大小常用的方法：
(1)直接法：利用对数函数的单调性比较大小．
(2)作商法：将同号的两数相除，其商再与1比较大小．
(3)作差法：可利用对数的运算，比较其差与1的大小．
(4)搭桥法：主要根据对数函数值分析．借助于“0”和“1”比较大小．
(5)图像法：主要利用不同底数在同一坐标系下的图像
位置关系．
(6)转化法：主要利用指数或对数的有关性质，将两数
作合理变形，转化为两个新数进行大小比较．
2．数形结合是重要的数学思想方法之一，因此解决对
数函数问题时，心中要时刻装有图像，对数函数图像是解决
相关问题的基础．
3．解决对数的综合问题时，要遵循“定义域优先”的原则．
点击下列图片进入应用创新演练(共40张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
理解教材新知
§5
对数函数
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
5.1
&
5.2
对数函数的概念
y=log2x
的图像和性质
知识点一
知识点二
在前面我们讲过了指数函数：y＝ax(a>0，且a≠1)．
问题1：将指数式化成对数式得到什么？
提示：x＝logay.
问题2：在上述关系中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？
提示：y＝logax.
1．对数函数的概念
函数y＝ (a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的 ，x是自变量．
2．特殊的对数函数
logax
底数
常用对数函数 以 为底的对数函数
自然对数函数 以 为底的对数函数
10
y＝lgx
无理数e
y＝lnx
考察指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)．
问题1：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)x、y的范围是什么？
提示：自变量x∈(－∞，＋∞)，函数值y∈(0，＋∞)．
问题2：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，x、y的范围是什么？
提示：x∈(0，＋∞)， y∈(－∞，＋∞)．
问题3：这两个函数具有什么关系？
提示：它们的定义域和值域互反，即y＝ax的定义域是y＝logax的值域；y＝ax的值域是y＝logax的定义域．
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)之间的关系：
原函数 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 对数函数 (a>0，且a≠1)
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1) 指数函数 (a>0，
且a≠1)
y＝logax
y＝ax
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的 和 ；反过来，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数
y＝ax(a>0，a≠1)的 和 ，这样的两个函数叫作互为反函数.
值域
定义域
值域
定义域
1．对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logax
(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax
(a>0且a≠1，x>0)互为反函数，它们定义域与值域互反．
[一点通] 求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
答案：B
解：(1)∵当1－x>0，即x<1时，函数y＝log3(1－x)有意义，
∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)；
[一点通]
反函数的求法：
(1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)．
(2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax
(或y＝ax)．
(3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域．
3．已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说
法不正确的是 ( )
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内增减性相同
D．y＝ax的图像经过平行移动可得到y＝logax的图像
.
解析：由于y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称，知A、B正确，当a>1时，它们均为增函数，当0答案：D
4．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的
图像只能是图中的 ( )
解析：y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
∵在y＝loga(－x)中，－x>0即x<0，
∴排除A、C.当0答案：B
[例3] 根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．
[思路点拨] 可先作出y＝log2x的图像，利用图像考察单
调性解决问题．
[精解详析] 函数y＝log2x
的图像如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，
若f(a)>f(2)，即log2a>log22，
则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)；
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
[一点通] 函数f(x)＝log2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式、求函数值域、比较对数值的大小．
5．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，
f(x)等于 ( )
A．－log2x B．log2(－x)
C．logx2 D．－log2(－x)
解析：∵x<0，∴－x>0.∴f(－x)＝log2(－x)．
又∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－log2(－x)．
答案：D
1．解与对数有关的问题，要首先保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1.
2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们定义域与值域互反，图像关于直线y＝x对称．
3．应注意数形结合思想在解题中的应用．
点击下列图片进入应用创新演练(共34张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
§3
指数函数
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
第二
课时
指数
函数
的图
像和
性质
（习题课）
[一点通]
1．平移规律
分左、右平移和上、下平移两种，遵循“左加右减，上加下减”．
若已知y＝ax的图像，把y＝ax的图像向左平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像；把y＝ax的图像向右平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax－b的图像；把y＝ax的图像向上平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax＋b的图像；向下平移b(b>0)个单位，则得到y＝ax－b的图像．
2．对称规律
函数y＝ax的图像与y＝a－x的图像关于y轴对称；
y＝ax的图像与y＝－ax的图像关于x轴对称；函数y＝ax的图像与y＝－a－x的图像关于坐标原点对称．
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的
图像上所有的点 ( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案：A
2.如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx
的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为 ( )
A．aB．bC．1D．a解析：由图像可知③、④的底数必大于1，①、②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1答案：B
3．函数y＝a|x|(0解析：y＝a|x|(0答案：C
[例2] 求不等式a5x>ax＋8(a>0，且a≠1)的解集．
[思路点拨] 讨论a的取值根据单调性列不等式，最后解不等式得解集．
[精解详析] (1)当a>1时，由a5x>ax＋8得5x>x＋8，解得x>2.
(2)当0ax＋8得5x综上所述，当a>1时，此不等式的解集为{x|x>2}．
当0[一点通] 解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为
4．若2x＋1<1，则x的取值范围是 ( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：由2x＋1<20，函数y＝2t在R上是增函数，
所以x＋1<0，得x<－1.
答案：D
5．已知ax＋5>ax＋8，则a的取值范围是________．
解析：∵x＋5ax＋8，由指数函数y＝ax
的性质知，当0答案：(0,1)
[一点通]
函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性及其特性，在这些性质中，定义域应优先求出，其求法分别如下：
(1)定义域：即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)．
(2)求函数的单调性有以下三种思路：①可借助于已知函数，如y＝－2x在R上单调递减；②可利用定义法；③若是复合函数，应利用复合函数的性质．
(3)求值域的方法较多，到目前为止可以使用的方法有：①借助于已知函数；②利用单调性．
(4)对于奇偶性，应理解掌握它们的定义及式子的变形，如f(－x)±f(x)＝0.特别对于奇函数在原点处有定义时，有f(0)＝0.
8．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，
求函数f(x)的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，
令t＝ax，
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t＝ax≥1.
∴由二次函数的图像可知y≥2，
当0∴由二次函数的图像可知－1∴综上所述
当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)，
当0解指数不等式问题，需注意三点：
1．(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；
(3)形如ax>bx的形式，利用图像求解．
2．在一些较复杂的函数问题中，基本函数的性质可以直接在解题过程中应用．同时注意将复杂函数问题转化为基本函数问题．
点击下列图片进入应用创新演练(共13张PPT)
第三章 指数函数和对数函数
核心要点归纳
章末小结
知识整合与
阶段检测
阶段质量检测
一、正整数指数函数
函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫做正整数指数函数，其中x是自变量，a是常数，要注意x的取值范围是N＋.
二、指数概念的扩充
1．有理数指数幂的运算性质和实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的．能合理地使用运算性质进行指数幂的运算
三、指数函数和对数函数
1．指数函数与对数函数像幂函数一样都是形式定义，在判断时要根据函数式的特征进行判断．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其中一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域．
3．互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．
四、对数及其运算
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b可以相互转化．这里a>0且a≠1，N>0.
2．对数有三条性质，务必要记忆清楚．即①底的对数等于1，即logaa＝1；②1的对数等于0，即loga1＝0；
③零和负数无对数，即logaN中N>0.
3．对数的运算性质是对数运算的基础，不能混淆，不要使用错误的结论，还要注意性质成立的条件．
4．换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数和自然对数，然后查表求值．换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．化简中，要注意几个常见结论的使用．
五、指数函数的图像和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是描述客观世界中许多事物发展变化的一类重要模型．研究指数函数应从a>1和02．指数函数的性质除了分两类情况外，应从以下几方面研究：①定义域；②值域；③函数值的变化；④单调性；⑤定点．
3．指数函数的图像在y轴右侧具有“图高底大”的规律．
六、对数函数的图像和性质
1．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是另一种重要的函数模型．研究对数函数也应从a>1和02．对数函数的性质也是从定义域、值域、函数值的变化、单调性和定点几方面展开讨论的．要记牢记准性质，才可灵活解题．
3．在处理对数函数和指数函数时，要注意两种数学思想，即数形结合的思想和分类讨论的思想，解题中应用非常广泛．
七、指数函数、幂函数和对数函数增长的比较
1．对于函数y＝ax(a>1)，y＝xn(x>0，n>1)，y＝logax
(a>1)尽管都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(x>0，n>1)的增长速度，而y＝logax
(a>1)的增长速度则越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax2．了解指数函数、幂函数、对数函数的增长对比特点，弄清它们的增长速度的规律，对于在实际问题中的模型的选取与建立具有一定指导意义．
点击下列图片进入阶段质量检测(共43张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
理解教材新知
§6
指数函数、幂函数、对数
函数增长
的 比较
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x为例探究一下它们的差异．
问题1：这三种函数在(0，＋∞)上的单调性怎样？
提示：都是单调递增．
问题2：右图是同一直角坐标系中三个函数的图像，当log2x<2x提示：2问题3：当log2x取值范围是什么？
提示：04.
问题4：从三种函数图像的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？
提示：2x的值迅速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．
当a＞1时，指数函数y＝ax是 ，并且当a越
时，其函数值的增长就越快．
当a＞1时，对数函数y＝logax是 ，并且当a越 时，其函数值的增长就越快．
当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn显然也是 ，并且当x>1时，n越 其函数值的增长就越快．
增函数
大
增函数
小
增函数
大
1．对数函数y＝logax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．
2．指数函数y＝ax，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．
3．幂函数y＝xn，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．
[例1] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像，如图所示．
设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 010)，g(2 010)的大小．
[思路点拨] 先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．
[精解详析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x；
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)．
∴1∴x1<8从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 010)>g(2 010)>g(8)>f(8)．
[一点通] 底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长要快， 从这个实例我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增大的含义．
解析：a、c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.
答案：C
2．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.
答案：y2
(2)令函数y1＝x2，y2＝log2x，y3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log20.3<0.32<20.3.
[一点通] 解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性， 也可以借助幂函数与指数函数的图像．
答案：D
[例3] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报
10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
[思路点拨] 首先确立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．
[精解详析] 设第x天所得回报是y元．
由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；
方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
天数
累积
收益
方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 …
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 …
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 …
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
[一点通] 解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系．
5．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图：
那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝
数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？ ( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
解析：把t＝1,2,3代入验证易得结果．
答案：A
6．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到
西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：
天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝a·logbt.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
1．正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数增长差异．
直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上．
2．实际问题中对几种增长模型的选择
(1)指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；
(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(3)而幂函数增长模型介于上述两者之间，适合一般增长的变化规律．
点击下列图片进入应用创新演练(共40张PPT)
第三章 指数函数和对数函数
理解教材新知
§2
指数扩充及其运算性质
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
考点一
考点二
考点三
1．分数指数幂概念
给定 a，对于任意给定的 m、n(m、n互素)，存在唯一的正实数b，使得 ，把b叫做a的
次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
正实数
整数
bn＝am
0
没有意义
指数运算的性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n，
(2)(am)n＝amn，
(3)(ab)n＝anbn.
[一点通] 对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．
解析：由于2所以2－a<0,3－a>0.
所以原式＝a－2＋3－a＝1.
答案：C
[一点通] 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
答案：A
答案：ab－1
[一点通] 解决此类问题的思路步骤如下：
答案：B
7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
解：∵x－3＋1＝a，
∴x－3＝a－1，
又∵x－6＝(x－3)2，
∴x－6＝(a－1)2，
∴a2－2ax－3＋x－6
＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
点击下列图片进入应用创新演练(共40张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
理解教材新知
§4
对数
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
4.1
对数及其运算
知识点一
知识点二
知识点三
一个细胞经过一次分裂变成2个细胞，经过两次分裂变成4个，……
问题1：经过4次分裂变成了多少个细胞？
提示：24＝16.
问题2：经过多少次分裂后，细胞的个数是512
提示：9次．
问题3：经过x次分裂后，细胞个数是y，则y＝2x.如何用y表示x
提示：x＝log2y.
1．对数的定义
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫作以a为底N的对数．记作 .
其中，a的范围是 ，N的范围是 ，b的取值范围是 .
ab＝N
logaN＝b
a>0且a≠1
N>0
b∈R
2．几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 以a(a＞0且a≠1)为底的对数
自然对数 以 为底的对数
常用对数 以 为底的对数
e
10
logaN
lnN
lgN
根据对数的定义：ab＝N化成对数式为
b＝logaN.
问题1：计算logaa和loga1的值；
提示：logaa＝1，loga1＝0.
问题2：零和负数有对数吗？为什么？
提示：没有，因为N＝ab>0.
指数式与对数式的互化 ab＝N
对数恒等式 alogaN＝
对数的性质 ①底的对数等于 ，即logaa＝
②1的对数等于 ，即loga1＝
③零和负数没有对数
b＝logaN
N
1
1
零
0
对数运算可以看成指数运算的逆运算．参照指数的运算性质，对数的运算性质有哪些呢？
问题1：计算下列各组对数值：
(1)log28，log216，log2(8×16)；
(2)log39，log381，log3 ；
(3)lg1 000,3lg10.
提示：(1)3,4,7.
(2)2,4，－2.
(3)3,3.
1．如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga ＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
1．对数式logaN＝b可看作一种记号，表示关于b的方程ab＝N(a>0，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN＝b又可看作幂运算的逆运算．
2．在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M>0，N>0，a>0，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．
解析：对数式logaN中，要求底数a>0，且a≠1，真数N>0.
答案：C
[一点通]
1．对数的基本性质为：loga1＝0，logaa＝1(a>0, 且a≠1)．
2．对数恒等式alogab＝b(a>0, 且a≠1，b>0)．
以上各式对符合题意的a，b均成立．
3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若
10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确
的是 ( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
解析：lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正
确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；若e＝lnx，则
x＝ee，故④错误．
答案：C
答案：C
答案：5
[一点通]
对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
答案：A
7．2log510＋log50.25＝ ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝
log5(100×0.25)＝log525＝2.
答案：C
1．在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39＝2，只有符合a>0，a≠1，且N>0时才有ax＝N x＝logaN.
2．利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
点击下列图片进入应用创新演练(共39张PPT)
第三章 指数函数和对数函数
理解教材新知
§1
正整数指数函数
把握热点考向
应用创新演练
知识点一
知识点二
考点一
考点二
考点三
在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：
问题1：计算32·33的值．
提示：32·33＝35＝243.
问题2：计算(23)2和(22)3的值．
提示：(23)2＝82＝64，(22)3＝43＝64.
问题3：计算35÷32的值．
提示：35÷32＝33＝27.
若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝ ；
(2)(am)n＝ ＝ ；
(3)(a·b)n＝ ；
am＋n
am·n
(an)m
an·bn
am－n
1
一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.
问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？
提示：1＋20%＝1.2(倍)．
问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的
函数关系式是什么？
提示：y＝a×1.2x.
函数 (a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
y＝ax
1．正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意(ab)n与anam等的含义，才能正确地运算．
2．正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别．虽都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)这种形式的函数才是正整数指数函数．
1．下列各式运算错误的是 ( )
A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
解析：A中，原式＝a7b8；B中，原式＝a3b3；C中，
原式＝－a6b6；D中，原式＝－a18b18.
答案：C
2．计算：
(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．
解：原式＝[2×(－6)÷(－3)]a3＋2＋1b－2－4＋5
＝4a6b－1.
[一点通]
正整数指数函数的图像特点：
(1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(2)当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
答案：C
[例3] (12分)某林区2011年木材蓄积200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求
y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？
[思路点拨] 根据增长率为5%，可分别列出经过1年、2年的木材蓄积量，然后列出y＝f(x)的表达式，第(2)问可根据正整数指数函数的图像来求．
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图像见下图，
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.5 …
(8分)
作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万m3时)所经过的时间x年的值,因为8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)．即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.?
(12分)
[一点通]
1.人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，
α为变化率，x为自变量，x∈N＋，y为x年变化后的函数值；
2.作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当a>0，α>0时，y＝a(1＋α)x是增函数．
5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2007年
某地区农民人均收入为3 150元(其中工资收入为1 800元，
其他收入为1 350元)，预计该地区自2008年起的5年内，
农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收
入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民
人均收入介于 ( )
A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元
C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元
解析：设自2008年起的第n年农民的工资收入为y＝1 800×
(1＋6%)n.其他收入为y2＝1 350＋160n，
则第n年的收入y＝y1＋y2＝1 800×(1＋6%)n＋1 350＋160n，
所以2012年农民人均收入为1 800×(1＋6%)5＋1 350＋160×5≈4 558.8(元)．
答案：B
6．已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量
为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求
y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质
量．(可以用计算器)
解：镭原来质量为20克；
100年后镭的质量为20×95.76%(克)；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．
1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：
(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；
(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；
(3)要注意运算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；
(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．
2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P) x.
3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比
x a(α) 形式
指数函数y＝ax 指数 底数 幂
幂函数y＝xα 底数 指数 幂
点击下列图片进入应用创新演练(共34张PPT)
第三章
指数函数和对数函数
理解教材新知
§4
对数
把握热点考向
应用创新演练
考点一
考点二
考点三
4.2
换底公式
对数的换底公式：logbN＝ (a，b>0，a，b≠1，N>0)．
换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为同底的对数，再运用运算性质进行运算．
答案：C
答案：D
[例2] 已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
[思路点拨] 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
[精解详析] 法一：因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818
[一点通]
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换．
(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键．
(3)注意一些派生公式的使用．
3．已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝__________.
(用p、q表示)
4．已知log1227＝a，求log616的值．
[思路点拨] 解答本题可先求强度值y与玻璃板x之间的函数关系，再解决第二个问题．
[一点通] 解决对数应用题的一般步骤：
5．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的
常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日
本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，
1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是
8.3级的几倍？7.1级的几倍？(lg2＝0.3)
解：由题意可设lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz＝7.1，
则lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，
从而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)．
∴x＝4y.
lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg26＝lg64，
从而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)．∴x＝64z.
故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．
6．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声
压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5
帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值
取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听
力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以
下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
(3)2008年北京奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到90dB，试求此时鸟巢内的声压是多少？
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底进行运算．②直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．
点击下列图片进入应用创新演练