人教新课标A版选修1-1 综合测试（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修1-1 综合测试（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 273.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-26 22:36:15 | ||
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文档简介
人教新课标A版选修1-1
综合测试
一、单选题
1.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数 ， ，若对任意的 ,存在 ，使 ，则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点 是抛物线 的准线上一点， 为抛物线的焦点， 为抛物线上的点，且 ，若双曲线 中心在原点， 是它的一个焦点，且过 点，当 取最小值时，双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，线段 与另一条渐近线交于点 ，且 的面积是 面积的 倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 ，则曲线 上任意一点处的切线的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知命题 ：在 中，若 ，则 ，命题 ：在等比数列 中，若 ，则 .下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
7.己知函数 ，在 处取得极大值，则实数c的值是（ ）
A. B. 2 C. 2或6 D. 6
8.设椭圆 ： ( )的左 右焦点分别为 ， ，直线 ： 交椭圆 于点 ， ，若 的周长的最大值为12，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.若函数 与 图像的交点为 , ，…， ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知函数f(x)= ,下列结论中错误的是（ ）
A. , f( )=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D. 若 是f（x）的极值点，则 ( )=0
11.已知 ， 其中 ．设两曲伐 ， 有公共点，且在该点的切线相同，则（ ）
A. 曲线 ， 有两条这样的公共切线 B.
C. 当 时，b取最小值 D. 的最小值为
二、填空题
12.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.
13.设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是 .（只需填写一个满足条件的 即可）
14.已知双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为 ．
15.点 在双曲线 的右支上，其左、右焦点分别为 、 ，直线 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 的垂直平分线恰好过点 ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
16.已知函数 ，对定义域内的任意 都有 ，则实数k的取值范围是________.
17.已知函数 ， ，对 ， ，使得 ，则 的最小值为________.
18.已知函数 ， ，若存在 ， ，使得 成立，则 的最小值为 .
19.在平面直角坐标系 中,记椭圆 的左右焦点分别为 ，若该椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________.
20.抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为________．
三、解答题
21.已知集合 ， ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
22.已知函数 .
（1）求定义域及单调区间；
（2）求 的极值点.
23.已知函数
（Ⅰ）求曲线 在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
24.已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】因为 ，
所以下焦点为 ，渐近线方程为 ，即 ，
则下焦点到 的距离为 ，
又因为 ，
解得 ，即 ，
所以渐近线方程为：
故答案为：B
【分析】 利用已知条件求出 ， 即可求解双曲线的渐近线方程．
2.【答案】 B
【解析】由题意可知 ，
，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， 取得最小值， ，
， ，
①当 时，函数单调递增， ，
即 ，解得： ，不成立；
②当 时， ，
即 ，解得： 或 ，不成立；
③当 时，函数单调递减，
即 ，解得： ，成立.
综上可知： .
故答案为：B
【分析】由题意可知 ，转化为分别求两个函数的最小值，函数 利用导数求最小值，函数 ，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
3.【答案】 C
【解析】由于 在抛物线准线上,故 ,故抛物线方程为 ,焦点坐标为 .当直线 和抛物线相切时, 取得最小值,设直线 的方程为 ,代入抛物线方程得 ,判别式 ,解得 ,不妨设 ,由 ,解得 ,即 .设双曲线方程为 ,将 点坐标代入得 ,即 ,而双曲线 ,故 ,所以 ,解得 ,故离心率为 ,
故答案为：C.
【分析】由题意可得 ， 可得抛物线的方程，焦点坐标，准线方程，当直线 和抛物线相切时, 取得最小值,设直线 的方程为 ,代入抛物线方程，运用判别式为0，求得k，P的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求的值。
4.【答案】 C
【解析】 为 的中点，则 ，即 ，
所以， ，所以， 为线段 的中点，
由图可知，直线 的方程为 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
因为点 ，所以点 的坐标为 ，
又点 在直线 上，则有 ， ，则 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：C.
【分析】 首先求得直线OP的方程和以OF2为直径的圆的方程，求得P的坐标，直线PF1的方程，与渐近线方程bx+ay=0，解得Q的坐标，由题意可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍，运用点到直线的距离公式和离心率公式，代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 C
【解析】∵ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立．
∴ ，
又 ，
∴ ，
即倾斜角 的取值范围是 ．
故答案为：C．
【分析】求导数，结合基本不等式求出导函数的最值，结合函数的几何意义，即可求出倾斜角的取值范围.
6.【答案】 A
【解析】设 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 ，故命题 是真命题.
因为 ，所以 ，所以 ，则命题 是假命题.
故 是真命题； ， ， 为假命题.
故答案为：A
【分析】先判断命题 是真命题和命题 是假命题，再判断 为真命题得到答案.
7.【答案】 D
【解析】函数 的导数为 ，
由 在 处有极大值，即有 ，即 ，
解得 或6，
若 时， ，可得 或 ，
由 在 处导数左负右正，取得极小值，
若 ， ，可得 或2，
由 在 处导数左正右负，取得极大值.
综上可得 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 ，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
8.【答案】 B
【解析】 的周长等于
，
因为 当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 ，
即 的周长的最大为 ，所以 ，解得： ，
由椭圆的方程可得： ，所以 ，
所以 的离心率为 ，
故答案为：B
【分析】先利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求的值，进而可求离心率。
9.【答案】 A
【解析】解：设函数 ，
的定义域为R ，
因为 ，
所以 为偶函数，
因为 是增函数，
故当 时， ，
所以当 时， 为增函数，
由奇偶性可知，当 时， 为减函数，
故函数 关于 对称，当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，
函数 是关于 对称的，
作出两个函数的图像，如图所示，
两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为 ，
由对称性可得 ，即 ，
故答案为：A。
【分析】对函数 的性质进行研究，可得出 关于 对称，且当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，函数 关于 对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于 对称，故可得结果。
10.【答案】 C
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定 x0∈R，f(x0)＝0，A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1 ， x2 ， 则极小值点x2＞x1 ， 即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然D中的结论正确.
故答案为：C
【分析】求导数，利用导数确定函数的单调性，根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性，根据奇偶函数的对称性确定函数的对称中心或对称轴，，结合单调性确定函数的极值，根据选项逐一判断即可.
11.【答案】 D
【解析】解：由 ， ， ，
则 ， ，
设两曲线的公切点为 ，由题意得，
，即 ，
由 得， ，解得 或 （舍去），
所以曲线 只有一条这样的共切线，A不符合题意；
，B不符合题意；
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以当 时，b取得最小值，为 ，
C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先分别对两个函数求导，由已知条件结合共切点的性质得出即求解出或 由此判断出选项A错误；由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项B错误；构造函数对其求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，由此判断出选项C错误选项D正确；由此得出答案。
二、填空题
12.【答案】 y=2x
【解析】 双曲线焦点到渐近线的距离 ，即
双曲线的渐近线方程为
故答案为：y=2x
【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为 可构造齐次式求得 ，由此可得渐近线方程.
13.【答案】 （ 的任意数均可）
【解析】由 得0故答案为 （ 的任意数均可）。
【分析】利用已知条件就结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出m可以取的值。
14.【答案】 2
【解析】解：双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），
过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，
所以AF的方程为：y＝ ，与bx+ay＝0联立，
可得 ， ，
l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，
可得B（ ， ），代入bx﹣ay＝0，可得：c2＝4a2 ，
则双曲线C的离心率为e＝2．
故答案为：2．
【分析】利用已知求出A坐标，再求出B坐标，代入双曲线的渐近线方程，求解离心率即可。
15.【答案】
【解析】如图，
是切点， 是 的中点，因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，又 ，根据双曲线的定义，有 ，即 ，两边平方并化简得 ，所以 ，因此 ，所以双曲线的渐近线的斜率为 。
【分析】利用双曲线的标准方程求出左、右焦点坐标，再根据已知条件求出点P的坐标，再利用中点坐标公式结合直线与圆的位置关系的判断方法，最后用双曲线的定义结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出求出的值，从而求出双曲线的渐近线的斜率。
16.【答案】
【解析】∵ ，∴ ， ，也即 在 时恒成立.
令 ， ，则 ， ，令 .易知 在 上单调递减， 在 上单调递增，
故 ，∴ .
故答案为：
【分析】不等式 分离变量,等价变形为 ，构造函数 ，函数求导 ，求出单调区间，可得函数最小值.
17.【答案】
【解析】∵ 的值域为 ， 值域为 ，
所以对 ， ，使得 ，
令 ，即 ，
，所以
令 ，则 的最小值，即为 的最小值，
∵ 在 单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， 取最小值 .
故答案为： .
【分析】 根据题意结合已知条件即可得到即构造函数h（x）=h（x）=g ， （x）-f ， （x），则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．
18.【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，又因为 ，所以 时， ； 时， ； 时， ，同时注意到 ，
所以若存在 ， ，使得 成立，
则 且 ，
所以 ，所以 ，
所以构造函数 ，而 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 ，即 。
故答案为： 。
【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 ，所以当 时， ；当 时， ；当 时， ，同时注意到 ，所以若存在 ， ，使得 成立，则 且 ，所以 ，所以 ，进而构造函数 ，再利用求导的方法求出其单调性，进而求出其最小值，从而求出 的最小值 。
19.【答案】
【解析】解：椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设P在第一象限， ，当 时，
，
即 ，解得
又因为 ，所以
当 时，
，
即 且
解得：
综上 或
【分析】椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限， ，再利用分类讨论的方法结合椭圆的定义和焦距的定义，进而结合已知条件得出a,c的关系式，再利用椭圆离心率公式变形，进而求出该椭圆的离心率的取值范围。
20.【答案】
【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，点A到准线的距离为 ，解得 或 ．当 时， ，故 舍去，所以抛物线方程为 ∴ ，所以 是正三角形，边长为 ，其内切圆方程为 ，如图所示，
∴ ．设点 （ 为参数），则 ，∴ ．
【分析】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到 为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点 的坐标，可利用内切圆的方程设出点 含参数的坐标，进而得到 ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：
因为 ，所以 或 ，即 或 ．
所以 的取值范围是 。
（2）解：因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，则 ，解得 ．
所以 的取值范围是
【解析】【分析】分别化简集合 ，（1）根据两集合交集为空集得出 的不等关系，解之即可；（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的子集，由子集的概念可得．
22.【答案】 （1） 的定义域是 ，
， ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 的递减区间是 ，递增区间是 .
（2）∵ ，∴ ，
由 得 ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ；
， ，∴ 在 单调递减，
在 单调递增，
极小值点是 ，无极大值点.
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（2）利用函数f(x)的解析式结合已知条件 求出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
23.【答案】 解： ， 的定义域是 ，
（Ⅰ） ，
故 （1） ， （1） ，
故切线方程是： ，
即 ；
（Ⅱ） ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 ， 递增，在 递减，在 ， 递增，
而 ， ， ， （2） ，
故 （2） ，
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数在给定区间的最值。
24.【答案】 （1）解：由解析式知： 的定义域为 且 ，
令 ，则
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，即 ，
∴ 在 上单调递增，即 的增区间为 ，无减区间.
（2）解：解法1：直接求导，分类讨论.
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，由 知： ，
①当 ，即 时， 即 ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，符合题意.
②若 ，即 ，
当 时， ，
∴ 在 单调递增，即 时， ，
故 不恒成立，不合题意.
③若 ，则 恒成立，所以 在 单调递增.
∴ 时， ，即 在 单调递增，
又 时， ，即 恒成立，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
解法2：
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
令 ，则 ，记 ，
①当 时， ，此时 ， 在 单调递减，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立.
②当 时， ， 在 上单调递增，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立，不符合题意.
③ 时，不等式化为 ，显然不成立.
④当 且 时，方程 的二根为 ， ，
若 ， ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不等式 不恒成立；
若 ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不等式 不恒成立.
综上所述， 的取值范围是 .
解法3：参数分离
当 ， 对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
记 ，则
，
记 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又 ，所以， 时， ，即 ，
所以 在 单调递减.所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，构造函数再由其导函数的性质得出该函数的单调性，由此即可得出从而得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2) 解法1 ：由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立.，构造函数结合其导函数的性质，对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，从而得出满足题意的a的取值范围。
解法2： 由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.，构造函数结合其导函数的性质对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可点到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
解法3 ：由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立，由分离参数法即可得到恒成立，构造函数 ， 结合导函数的性质即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。
综合测试
一、单选题
1.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数 ， ，若对任意的 ,存在 ，使 ，则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点 是抛物线 的准线上一点， 为抛物线的焦点， 为抛物线上的点，且 ，若双曲线 中心在原点， 是它的一个焦点，且过 点，当 取最小值时，双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第一象限的交点为 ，线段 与另一条渐近线交于点 ，且 的面积是 面积的 倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 ，则曲线 上任意一点处的切线的倾斜角 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知命题 ：在 中，若 ，则 ，命题 ：在等比数列 中，若 ，则 .下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
7.己知函数 ，在 处取得极大值，则实数c的值是（ ）
A. B. 2 C. 2或6 D. 6
8.设椭圆 ： ( )的左 右焦点分别为 ， ，直线 ： 交椭圆 于点 ， ，若 的周长的最大值为12，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.若函数 与 图像的交点为 , ，…， ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10.已知函数f(x)= ,下列结论中错误的是（ ）
A. , f( )=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D. 若 是f（x）的极值点，则 ( )=0
11.已知 ， 其中 ．设两曲伐 ， 有公共点，且在该点的切线相同，则（ ）
A. 曲线 ， 有两条这样的公共切线 B.
C. 当 时，b取最小值 D. 的最小值为
二、填空题
12.已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________.
13.设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是 .（只需填写一个满足条件的 即可）
14.已知双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，则双曲线C的离心率为 ．
15.点 在双曲线 的右支上，其左、右焦点分别为 、 ，直线 与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段 的垂直平分线恰好过点 ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
16.已知函数 ，对定义域内的任意 都有 ，则实数k的取值范围是________.
17.已知函数 ， ，对 ， ，使得 ，则 的最小值为________.
18.已知函数 ， ，若存在 ， ，使得 成立，则 的最小值为 .
19.在平面直角坐标系 中,记椭圆 的左右焦点分别为 ，若该椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________.
20.抛物线 上一点 到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为________．
三、解答题
21.已知集合 ， ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
22.已知函数 .
（1）求定义域及单调区间；
（2）求 的极值点.
23.已知函数
（Ⅰ）求曲线 在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
24.已知 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】因为 ，
所以下焦点为 ，渐近线方程为 ，即 ，
则下焦点到 的距离为 ，
又因为 ，
解得 ，即 ，
所以渐近线方程为：
故答案为：B
【分析】 利用已知条件求出 ， 即可求解双曲线的渐近线方程．
2.【答案】 B
【解析】由题意可知 ，
，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， 取得最小值， ，
， ，
①当 时，函数单调递增， ，
即 ，解得： ，不成立；
②当 时， ，
即 ，解得： 或 ，不成立；
③当 时，函数单调递减，
即 ，解得： ，成立.
综上可知： .
故答案为：B
【分析】由题意可知 ，转化为分别求两个函数的最小值，函数 利用导数求最小值，函数 ，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
3.【答案】 C
【解析】由于 在抛物线准线上,故 ,故抛物线方程为 ,焦点坐标为 .当直线 和抛物线相切时, 取得最小值,设直线 的方程为 ,代入抛物线方程得 ,判别式 ,解得 ,不妨设 ,由 ,解得 ,即 .设双曲线方程为 ,将 点坐标代入得 ,即 ,而双曲线 ,故 ,所以 ,解得 ,故离心率为 ,
故答案为：C.
【分析】由题意可得 ， 可得抛物线的方程，焦点坐标，准线方程，当直线 和抛物线相切时, 取得最小值,设直线 的方程为 ,代入抛物线方程，运用判别式为0，求得k，P的坐标，再由双曲线的定义和离心率公式计算可得所求的值。
4.【答案】 C
【解析】 为 的中点，则 ，即 ，
所以， ，所以， 为线段 的中点，
由图可知，直线 的方程为 ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
因为点 ，所以点 的坐标为 ，
又点 在直线 上，则有 ， ，则 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：C.
【分析】 首先求得直线OP的方程和以OF2为直径的圆的方程，求得P的坐标，直线PF1的方程，与渐近线方程bx+ay=0，解得Q的坐标，由题意可得F2到直线OP的距离为Q到直线OP的距离的2倍，运用点到直线的距离公式和离心率公式，代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 C
【解析】∵ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立．
∴ ，
又 ，
∴ ，
即倾斜角 的取值范围是 ．
故答案为：C．
【分析】求导数，结合基本不等式求出导函数的最值，结合函数的几何意义，即可求出倾斜角的取值范围.
6.【答案】 A
【解析】设 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 ，故命题 是真命题.
因为 ，所以 ，所以 ，则命题 是假命题.
故 是真命题； ， ， 为假命题.
故答案为：A
【分析】先判断命题 是真命题和命题 是假命题，再判断 为真命题得到答案.
7.【答案】 D
【解析】函数 的导数为 ，
由 在 处有极大值，即有 ，即 ，
解得 或6，
若 时， ，可得 或 ，
由 在 处导数左负右正，取得极小值，
若 ， ，可得 或2，
由 在 处导数左正右负，取得极大值.
综上可得 .
故答案为：D.
【分析】由题意可得 ，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件.
8.【答案】 B
【解析】 的周长等于
，
因为 当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 ，
即 的周长的最大为 ，所以 ，解得： ，
由椭圆的方程可得： ，所以 ，
所以 的离心率为 ，
故答案为：B
【分析】先利用椭圆的定义求出的周长的最大值可得的值，根据椭圆方程即可求的值，进而可求离心率。
9.【答案】 A
【解析】解：设函数 ，
的定义域为R ，
因为 ，
所以 为偶函数，
因为 是增函数，
故当 时， ，
所以当 时， 为增函数，
由奇偶性可知，当 时， 为减函数，
故函数 关于 对称，当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，
函数 是关于 对称的，
作出两个函数的图像，如图所示，
两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为 ，
由对称性可得 ，即 ，
故答案为：A。
【分析】对函数 的性质进行研究，可得出 关于 对称，且当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，函数 关于 对称，故可得两个函数的交点有两个，且关于 对称，故可得结果。
10.【答案】 C
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定 x0∈R，f(x0)＝0，A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1 ， x2 ， 则极小值点x2＞x1 ， 即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然D中的结论正确.
故答案为：C
【分析】求导数，利用导数确定函数的单调性，根据奇偶性的定义确定函数的奇偶性，根据奇偶函数的对称性确定函数的对称中心或对称轴，，结合单调性确定函数的极值，根据选项逐一判断即可.
11.【答案】 D
【解析】解：由 ， ， ，
则 ， ，
设两曲线的公切点为 ，由题意得，
，即 ，
由 得， ，解得 或 （舍去），
所以曲线 只有一条这样的共切线，A不符合题意；
，B不符合题意；
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以当 时，b取得最小值，为 ，
C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先分别对两个函数求导，由已知条件结合共切点的性质得出即求解出或 由此判断出选项A错误；由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项B错误；构造函数对其求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，由此判断出选项C错误选项D正确；由此得出答案。
二、填空题
12.【答案】 y=2x
【解析】 双曲线焦点到渐近线的距离 ，即
双曲线的渐近线方程为
故答案为：y=2x
【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为 可构造齐次式求得 ，由此可得渐近线方程.
13.【答案】 （ 的任意数均可）
【解析】由 得0
【分析】利用已知条件就结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出m可以取的值。
14.【答案】 2
【解析】解：双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），
过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为A，
所以AF的方程为：y＝ ，与bx+ay＝0联立，
可得 ， ，
l与C的另一条渐近线的交点为B，若A是线段FB的中点，
可得B（ ， ），代入bx﹣ay＝0，可得：c2＝4a2 ，
则双曲线C的离心率为e＝2．
故答案为：2．
【分析】利用已知求出A坐标，再求出B坐标，代入双曲线的渐近线方程，求解离心率即可。
15.【答案】
【解析】如图，
是切点， 是 的中点，因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，又 ，根据双曲线的定义，有 ，即 ，两边平方并化简得 ，所以 ，因此 ，所以双曲线的渐近线的斜率为 。
【分析】利用双曲线的标准方程求出左、右焦点坐标，再根据已知条件求出点P的坐标，再利用中点坐标公式结合直线与圆的位置关系的判断方法，最后用双曲线的定义结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出求出的值，从而求出双曲线的渐近线的斜率。
16.【答案】
【解析】∵ ，∴ ， ，也即 在 时恒成立.
令 ， ，则 ， ，令 .易知 在 上单调递减， 在 上单调递增，
故 ，∴ .
故答案为：
【分析】不等式 分离变量,等价变形为 ，构造函数 ，函数求导 ，求出单调区间，可得函数最小值.
17.【答案】
【解析】∵ 的值域为 ， 值域为 ，
所以对 ， ，使得 ，
令 ，即 ，
，所以
令 ，则 的最小值，即为 的最小值，
∵ 在 单调递增，且 ，
当 时， ，当 时， ，
故当 时， 取最小值 .
故答案为： .
【分析】 根据题意结合已知条件即可得到即构造函数h（x）=h（x）=g ， （x）-f ， （x），则b-a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．
18.【答案】
【解析】函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，又因为 ，所以 时， ； 时， ； 时， ，同时注意到 ，
所以若存在 ， ，使得 成立，
则 且 ，
所以 ，所以 ，
所以构造函数 ，而 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 ，即 。
故答案为： 。
【分析】利用求导的方法判断函数f(x)的单调性，又因为 ，所以当 时， ；当 时， ；当 时， ，同时注意到 ，所以若存在 ， ，使得 成立，则 且 ，所以 ，所以 ，进而构造函数 ，再利用求导的方法求出其单调性，进而求出其最小值，从而求出 的最小值 。
19.【答案】
【解析】解：椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设P在第一象限， ，当 时，
，
即 ，解得
又因为 ，所以
当 时，
，
即 且
解得：
综上 或
【分析】椭圆上恰好有6个不同的点 ,使得 为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限， ，再利用分类讨论的方法结合椭圆的定义和焦距的定义，进而结合已知条件得出a,c的关系式，再利用椭圆离心率公式变形，进而求出该椭圆的离心率的取值范围。
20.【答案】
【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，点A到准线的距离为 ，解得 或 ．当 时， ，故 舍去，所以抛物线方程为 ∴ ，所以 是正三角形，边长为 ，其内切圆方程为 ，如图所示，
∴ ．设点 （ 为参数），则 ，∴ ．
【分析】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到 为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点 的坐标，可利用内切圆的方程设出点 含参数的坐标，进而得到 ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：
因为 ，所以 或 ，即 或 ．
所以 的取值范围是 。
（2）解：因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，则 ，解得 ．
所以 的取值范围是
【解析】【分析】分别化简集合 ，（1）根据两集合交集为空集得出 的不等关系，解之即可；（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的子集，由子集的概念可得．
22.【答案】 （1） 的定义域是 ，
， ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 的递减区间是 ，递增区间是 .
（2）∵ ，∴ ，
由 得 ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ；
， ，∴ 在 单调递减，
在 单调递增，
极小值点是 ，无极大值点.
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间。
（2）利用函数f(x)的解析式结合已知条件 求出函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点。
23.【答案】 解： ， 的定义域是 ，
（Ⅰ） ，
故 （1） ， （1） ，
故切线方程是： ，
即 ；
（Ⅱ） ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 ， 递增，在 递减，在 ， 递增，
而 ， ， ， （2） ，
故 （2） ，
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数在给定区间的最值。
24.【答案】 （1）解：由解析式知： 的定义域为 且 ，
令 ，则
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，即 ，
∴ 在 上单调递增，即 的增区间为 ，无减区间.
（2）解：解法1：直接求导，分类讨论.
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，由 知： ，
①当 ，即 时， 即 ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ，符合题意.
②若 ，即 ，
当 时， ，
∴ 在 单调递增，即 时， ，
故 不恒成立，不合题意.
③若 ，则 恒成立，所以 在 单调递增.
∴ 时， ，即 在 单调递增，
又 时， ，即 恒成立，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
解法2：
对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
令 ，则 ，记 ，
①当 时， ，此时 ， 在 单调递减，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立.
②当 时， ， 在 上单调递增，又 ，
所以 时， ，即对任意 ， 恒成立，不符合题意.
③ 时，不等式化为 ，显然不成立.
④当 且 时，方程 的二根为 ， ，
若 ， ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不等式 不恒成立；
若 ， ，则 在 单调递增，又 ，所以 时， ，即不等式 不恒成立.
综上所述， 的取值范围是 .
解法3：参数分离
当 ， 对任意 ，不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.
记 ，则
，
记 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又 ，所以， 时， ，即 ，
所以 在 单调递减.所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
【解析】【分析】(1)根据题意首先对函数求导，构造函数再由其导函数的性质得出该函数的单调性，由此即可得出从而得出函数f(x)的单调性以及单调区间。
(2) 解法1 ：由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ，不等式 恒成立.，构造函数结合其导函数的性质，对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，从而得出满足题意的a的取值范围。
解法2： 由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立.，构造函数结合其导函数的性质对a分情况讨论即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可点到关于a的不等式，求解出a的取值范围即可。
解法3 ：由已知条件即可得出 不等式 恒成立等价于对任意 ， 恒成立，由分离参数法即可得到恒成立，构造函数 ， 结合导函数的性质即可得出该函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可得出a的取值范围。