2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
1.2 空间向量基本定理
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示(平面向量基本定理). 类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 来表示呢
共面向量定理: 如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一实数对x,y，使
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
如图示, 设 是空间中三个两两垂直的向量, 且表示它们的有向线段有公共起点O. 对于任意一个空间向量 , 设 为 在 所确定的平面上的投影向量.
因此，如果 是空间三个两两垂直的向量, 那么对任意一个空间向量 , 存在唯一的有序实数组(x, y, z), 使得
O
Q
P
探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量 代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗
空间向量基本定理：
定理 如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得
(1) 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底;
(3) 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.
其中 叫做空间的一个基底， 叫做基向量.
说明: 对于基底 ，除了应知道 不共面，还应明确:
(2) 由于 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 ;
1. 已知向量 是空间的一个基底，从 中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底
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练习
2. 已知O, A, B, C为空间的四个点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点O, A, B, C是否共面
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练习
单位正交基底：
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
O
B
A
例1 如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示
C
O
B
A
M
N
P
解：
3.如图，已知平行六面体OABC-O′A′B′C′. 点G是侧面BB′C′C的中心，且
(1) 是否构成空间的一个基底
(2) 如果 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量:
A
C
O
B
C′
O′
B′
A′
G
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练习
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, AB=4, AD=4, AA1=5, ∠DAB=60°, ∠BAA1= 60°, ∠DAA1=60°, M, N分别为D1C1, C1B1的中点. 求证：MN⊥AC1.
A
C
D
B
C1
D1
B1
A1
N
M
例3 如图示, 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D', D'D的中点.
(1) 求证：EF//AC； (2) 求CE与AG所成角的余弦值.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
G
F
E
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练习
1. 已知四面体OABC，OB = OC, ∠AOB =∠AOC = θ. 求证: OA⊥BC .
C
O
B
A
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练习
2. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值.
A
C
D
B
C′
D′
B′
A′
3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO.
求证：AO⊥CD'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
O
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练习
3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO.
求证：AO⊥CD'.
B
D
C
A′
B′
C′
D′
A
O
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练习
课后作业：
教材第15页习题1.2 第 1~8题.