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第9讲 根的判别式及其应用-学生版
教学内容
进门测试如何求根呢？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．【例题精讲】选择：下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判别方程的根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根方程的根的情况是( )（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根 （C）没有实根 （D）无法确定一元二次方程的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根【答案】【答案】不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】【答案】关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？【答案】【答案】已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值．【答案】【答案】已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】【答案】当取何值时，关于的方程，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）． 已知关于的方程有两个相等的实数根？求的值及这时方程的根． 已知关于的方程．（1）有两个不相等的实根，求的取值范围；（2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根；（3）有实根，求的最大整数值． 【知识梳理】（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【例题精讲】证明：方程有两个不相等的实数根． 当为何值时，方程，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．如果是实数,且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何 已知关于的方程总有实数根,求的取值范围．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：原方程恒有两个实数根．
（2）若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求的取值范围．已知，关于的一元二次方程， （1）若，求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的整数，且方程有两个整数根，求的值． 已知是三角形的三边长，求证：方程没有实数根．【知识梳理】韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，．那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系．【例题精讲】写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积（1），________；________； （2）， ________；________．已知方程的一个根是，求另一根及值．已知：关于x的方程的一个根是，求另一根及值．如果是方程的一个根，求另一个根及值．已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）； （2）．设是方程的两个根，求的值．已知方程的两个实根的平方和为，求的值；已知方程的两个实根的平方和为等于，求的值．设是方程的两个实数根，求和的值．已知关于的方程问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．已知是方程的一个根，求另一根及值．设是方程的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．设是方程的两个实根，且，求值．当堂检测方程有两个相等的实数根，则___________． 若关于的方程有实数根，则的非负整数值是__________． 若关于的方程是一元二次方程，则要满足的条件是_________． 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 已知且方程有两个相等的实数根，则． 当不小于时，方程根的情况是___________． 如果关于的方程只有一个实数根，试判断关于的方程的根的情况．已知关于的一元二次方程的两个实根为，且满足，则的值是多少？关于的方程只有一个根（相同根算一根），试求的值．当________时，方程有两个实根．求证：不论为任何实数，关于的方程总有两个不相等的实数根．已知：关于的方程没有实数根，求证：关于的方程 一定有两个不相等的实数根.试证明关于的方程，无论取何值，该方程都是一元二次方程．已知关于的一元二次方程有两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．已知：关于的一元二次方程， 求证：（1）不论取何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若方程的两实数根满足，求的值．已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程两实数根之积等于，求的值．课堂检测二不解方程判断下列方程根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）.已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的范围．已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）； （2）．取什么值时，方程有两个不相等的实数根？已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并求方程的根．已知关于的方程有实数根，求正整数的值，并求方程的根．若一元二次方程无实数根，求的最小整数值．若为任意实数，试判断关于的方程的根的情况．已知关于的方程的两个实数根是，且，求实数的值及原方程的根．已知关于的方程，（1）如果方程有两个相等的实根，试求的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于224？如果存在，求出满足条件的的值；如果不存在，请说明理由．温故知新1. 根的判别式 2. 运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
模块一：判别式的值与根的关系
模块二：根的判别式的应用
模块三：韦达定理
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第9讲 根的判别式及其应用-教师版
教学内容
进门测试如何求根呢？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．【例题精讲】选择：下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）不解方程，判别方程的根的情况是（ ）（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根方程的根的情况是( )（A）有两个相等实根 （B）有两个不等实根 （C）没有实根 （D）无法确定一元二次方程的根的情况为（ ）（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根（C）只有一个实数根 （D）没有实数根【难度】★【答案】（1）D；（2）D；（3）B；（4）A．【答案】【答案】【教师】（1）A：，，，，方程无实根；B：，，，，方程有两个相等实根；C：，，，，方程无实根；D：，，，，方程有两不等实根实根，故选D；（2），，，，方程无实根，故选D；（3），，，，方程有两不等实根，故选B；（4），，，，方程有两个相等实根，故选A．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【教师】（1），，，，方程有两不等实根；，，，，方程无实数根；，，，，方程有两相等实根；（4），，，，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？【难度】★【答案】一定有．【答案】【答案】【教师】∵，，，∴恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的值进行化简分析即可确定的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况．已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值．【难度】★【答案】0．【答案】【答案】【教师】∵，，，∴，整理即得，解得：，，同时方程是一元二次方程，知，故，由此得．【总结】考查一元二次方程根的判别 ( http: / / www.21cnjy.com )式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况． 【难度】★★【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【教师】方程组的解是，代入即得：，可解得：，此时方程即为，其中，，，，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其值，判定方程解的情况．当取何值时，关于的方程，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）． 【教师】对此方程，，，，则 ，由此可知，（1）当，即时，方程有两个不相等的实数根；（2）当，即时，方程有两两个相等的实数根；（3）当，即时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）．【难度】★★【答案】时，方程有实数根；方程的根为． 【答案】【答案】【教师】对此方程，，，，则，因为方程有实数根，则有，即时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，在确定方程有实根的情况下可根据求根公式求解方程．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及这时方程的根．【难度】★★★【答案】或【答案】【答案】；时，方程根为；时，方程根为．【教师】化为一般式，即为：，其中，，，则，因为方程有两相等实数根，则有，解得：，；时，方程化为，解得方程根为：；时，方程化为，解得方程根为．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有两相等实根即其值为0．已知关于的方程．（1）有两个不相等的实根，求的取值范围；（2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根；（3）有实根，求的最大整数值．【难度】★★★【答案】（1）；（2），此时方程根为；（3）．【答案】【答案】【教师】，，，， 由此可知：（1）当，即时，方程有两个不相等的实根；（2）当，即时，方程有两个相等的实根，此时方程即为 ，解得方程根为：；（3）当，即时，方程有实根，此时最大整数值为．【总结】可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有实数根，即其，可在此基础上进行分类讨论． 【知识梳理】（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【例题精讲】证明：方程有两个不相等的实数根．【难度】★【答案】略．【答案】【答案】【教师】证明：对原方程进行整理，即为：其中，，，则恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的值即可以确定下来．当为何值时，方程，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【难度】★★【答案】（1）且；（2）；（3）．【答案】【答案】【教师】将方程整理成关于的一元二次方程的一般形式，即得：，此时，，，，由方程为一元二次方程，可知，故；，由此可知，（1）当，即且时，方程有两不等实根；（2）当，即时，方程有两相等实根；（3）当，即时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其值，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．【难度】★★【答案】且．【答案】【答案】【教师】由原方程是一元二次方程，可知，即；对此方程，其中，，，方程有实根，则必有：，可解得；即的取值范围为且．【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何 【难度】★★【答案】方程无实根．【答案】【答案】【教师】由的解集是，可知，即，对一元二次方程而言，其中，，，则，时，恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其值确定相关方程根的情况．已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．【难度】★★【答案】．【答案】【答案】【教师】（1）当，即时，方程为一元一次方程，方程有实根；当，即时，方程为一元二次方程，其中，，，方程有实根，则必有：，可解得且；综上所述，的取值范围为．【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：原方程恒有两个实数根．
（2）若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）或．【教师】（1）证明：对于一元二次方程而言，其中，，，则恒成立，由此即可证得方程恒有两个实数根．由（1）中值，解方程得方程两根为，，两根大小关系不确定，需要分类讨论：①，，即时，解不等式组得；②，，即时，解不等式组得【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，为完全平方数或完全平方式时，方程可直接分解因式，进而求解讨论，注意本题在第（2）问中的分类讨论．已知，关于的一元二次方程， （1）若，求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的整数，且方程有两个整数根，求的值．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）．【教师】（1）证明：对于一元二次方程而言，其中，，，则，当时，恒成立，由此即可证得方程有两个不相等的实数根．（2）由（1）中值，解方程得方程两根为，，方程有两整数根，则必为平方数，由，可得，为整数，则为奇数，这之间的平方数且为奇数的仅有49，即，解得：．【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，为完全平方数或完全平方式时，方程可直接分解因式，进而求解讨论． 已知是三角形的三边长，求证：方程没有实数根．【难度】★★★【答案】略．【答案】【答案】【教师】证明：对于一元二次方程而言，， 因为是三角形的三边长，根据三角形三边关系可得，，，，故恒成立，即证方程没有实数根．【总结】考查对于一元二次方程根的判别式的应用，在于利用题目条件对题中的进行化简计算即可．【知识梳理】韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，．那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系．【例题精讲】写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积（1），________；________； （2）， ________；________．【难度】★【答案】（1）3，1；（2），【答案】【答案】．【教师】（1），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，；（2），，，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的、、值即可快速得到结果．已知方程的一个根是，求另一根及值．【难度】★【答案】方程另一根为，【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，，，令，则可求得，代入可得，可得．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．已知：关于x的方程的一个根是，求另一根及值．【难度】★【答案】方程另一根为，【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，，，令，则可求得，代入可得，可得．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．如果是方程的一个根，求另一个根及值．【难度】★【答案】方程另一根为，【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，，，令，则可求得，代入可得，可得．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），；（2），．【答案】【答案】【教师】（1）根据韦达定理，可得，，可得，；（2）根据韦达定理，可得，，可得，．【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．设是方程的两个根，求的值．【难度】★★【答案】【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，由此．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．已知方程的两个实根的平方和为，求的值；【难度】★★【答案】【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有，即，整理即得，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．已知方程的两个实根的平方和为等于，求的值．【难度】★★【答案】．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有，即，整理即得，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．设是方程的两个实数根，求和的值．【难度】★★★【答案】（1）；（2）18．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得，，由此：；（2）．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．已知关于的方程问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有，即，整理即得，解得，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．已知是方程的一个根，求另一根及值．【难度】★★★【答案】方程另一根为，【答案】【答案】．【教师】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，，，令，则可求得，代入可得【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【例29】 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2；（5）4．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得，，由此：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【例30】设、是方程的两个实根，且，求值．【难度】★★★【答案】．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有 ，即，整理即得，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．当堂检测方程有两个相等的实数根，则___________．【难度】★【答案】【答案】【答案】．【教师】由题意可得：．【总结】考查一元二次方程根的判别式，方程有两相等实根，即．若关于的方程有实数根，则的非负整数值是__________．【难度】★【答案】0，1．【答案】【答案】【教师】（1）时，方程为一元一次方程，方程有实数根；时，方程是一元二次方程，方程有实数根，则，可得，的非负整数值是1；综上所述，的非负整数值是0或1．【总结】考查一元二次方程根的判别式，有两相等实根，即，同时注意方程二次项系数含有字母时，需确定二次项系数是否为0．若关于的方程是一元二次方程，则要满足的条件是_________．【难度】★【答案】且【答案】【答案】．【教师】由题意，可得：，解得：且．【总结】考查一元二次方程的概念和条件，必满足二次项系数．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________．【难度】★【答案】且．【答案】【答案】【教师】因为方程有两不等实根，则有， 且，解得，综上所述，且．【总结】对于形如的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．已知且方程有两个相等的实数根，则．【难度】★★【答案】3．【答案】【答案】【教师】将方程进行整理，即为，方程有两相等实根，即可得，整理得，解得：，，结合，可得：．【总结】考查一元二次方程根的判别式，方程有两相等实根，即．当不小于时，方程根的情况是___________．【难度】★★【答案】至少有一个实数根．【答案】【答案】【教师】（1）当，即时，方程为一元一次方程，有一个实数根；，即且时，方程为一元二次方程，此时恒成立，方程有两相等实根或方程有两不等实根；综上所述，方程至少有一个实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式，对于二次项系数有字母的情况，要根据题意确定二次项系数能否为0．如果关于的方程只有一个实数根，试判断关于的方程的根的情况．【难度】★★【答案】方程有两相等实根【答案】【答案】【教师】因为方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，即可得，解得：，代入第二个方程，即，，所以方程有两相等实根．【总结】方程只有一个实数根，说明为一元一次方程，注意方程只有一个实根与方程有两相等实根区分开来．已知关于的一元二次方程的两个实根为，且满足，则的值是多少？【难度】★★【答案】．【答案】【答案】【教师】根据韦达定理，可得，，又，即得：，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．关于的方程只有一个根（相同根算一根），试求的值．【难度】★★【答案】或【答案】【答案】．【教师】（1）当时，方程为一元一次方程，有唯一解；（2）当时，方程为一元二次方程，时，方程有两相等实根视作唯一解，则有，即，解得；综上所述，或．【总结】解决形如的方程时，要注意根据题目条件判断二次项系数能否为0．当________时，方程有两个实根．【难度】★★【答案】且．【答案】【答案】【教师】方程有两个实根，则必为一元二次方程，故，即得；同时，，解得：． 综上，且．【总结】方程有两个实根，即方程为一元二次方程且．求证：不论为任何实数，关于的方程总有两个不相等的实数根．【难度】★★【答案】略．【答案】【答案】【教师】证明：对于一元二次方程而言，其中，，，则恒成立，由此即可证得方程恒有两个不等实根．【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明恒成立即可．已知：关于的方程没有实数根，求证：关于的方程 一定有两个不相等的实数根.【难度】★★【答案】略．【答案】【答案】【教师】证明：因为方程没有实数根，可知，得；对于一元二次方程而言，其中，，，则，当时，恒成立，由此即可证得方程恒有两个不等实根．【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明恒成立即可．试证明关于的方程，无论取何值，该方程都是一元二次方程．【难度】★★【答案】略．【答案】【答案】【教师】证明：恒成立，即无论取何值，二次项系数都不可能为零，即证该方程是一元二次方程．【总结】含有字母系数的方程恒为一元二次方程，证明其二次项系数大于零或小于零恒成立即可．已知关于的一元二次方程有两个实根．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．【难度】★★【答案】（1）；（2）【答案】【答案】．【教师】（1）方程有两实根，则，解得：；，即有或，时，，解得；时，根据韦达定理，则有，解得不满足，应舍去．【总结】考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用．已知：关于的一元二次方程， 求证：（1）不论取何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若方程的两实数根满足，求的值．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）【答案】【答案】．【教师】（1）证明：对于一元二次方程而言，其中，，，则，即无论m取何值，恒成立，由此即可证得方程恒有两个不等实根．根据韦达定理，可知，，根据题意有，解得：．【总结】含有字母系数的方程恒有两不等实根，证明恒成立即可，结合韦达定理综合应用．已知关于的一元二次方程， （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程两实数根之积等于，求的值．【难度】★★★【答案】（1）或；（2）4．【答案】【答案】【教师】（1）方程有两相等实根，则有，解得：或；（2）根据韦达定理，可知，又，则有，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立；综上所述，可得：．所以的值为4．【总结】考查韦达定理的应用，注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即需满足．课堂检测二不解方程判断下列方程根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）.【难度】★【答案】（1）两不等实根；（2）无实数根；（3）无实数根；（4）两相等实根．【答案】【答案】【教师】（1）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为，其中， ，，，故原方程有两不等实根；（2）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为，其中，，，，故原方程无实根；（3）将方程整理成一元二次方程一般形式，即为，其中，，，，故原方程无实根；（4），，，，故原方程有两相等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的范围．【难度】★【答案】．【教师】对于方程而言，方程有两不等实根，则方程为一元二次方程，则有，同时，即有且已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出的值．（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），；（2）， 【教师】（1）根据韦达定理，可得，，可得，；（2）根据韦达定理，可得，，可得，．【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．取什么值时，方程有两个不相等的实数根？【难度】★★【答案】且． 【教师】对于方程而言，方程有两不等实根，则方程为一元二次方程，则有，得，同时，即有且【答案】．【总结】考查一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并求方程的根．【难度】★★【答案】或 ；时，方程根为；时，方程根为．【教师】方程有两相等实根，则有，整理即得，解得：，；时，方程即为，解得方程根为：；时，方程即为，解得方程根为．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有两相等实根即其值为0．已知关于的方程有实数根，求正整数的值，并求方程的根．【难度】★★【答案】1，2，3．当时，方程的根为：；当时，方程的根为：；当时，方程的根为： ．【教师】对一元二次方程方程而言，方程有实根，则必有：，可解得，则a的正整数值为1，2，3．当时，原方程化为：，解得：；当时，原方程化为：，解得：；当时，原方程化为：，解得：．【总结】本题比较综合，考查的知识点比较多，注意按照题目要求一步步去分析． 若一元二次方程无实数根，求的最小整数值．【难度】★★【答案】2．【教师】对原方程进行整理，即为：，其中，，，则，因为原方程无实根，则有且，解得：，由此可得的最小整数值是2．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，可由方程的根的情况，将方程的值与0的大小关系确定下来．若为任意实数，试判断关于的方程的根的情况．【难度】★★★【答案】方程无实根． 【教师】对原方程进行整理，即为：，则恒成立，由此可得方程无实根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，可由方程的根的情况，将方程的值与0的大小关系确定下来．已知关于的方程的两个实数根是，且，求实数的值及原方程的根．【难度】★★★【答案】，方程根为，．【教师】根据韦达定理，可得方程两根满足，，由此，整理，得：，解得：，，同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得：；此时方程即为，解得方程根为，．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，注意韦达定理的前提是方程有实数根．已知关于的方程，（1）如果方程有两个相等的实根，试求的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于224？如果存在，求出满足条件的的值；如果不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1），此时方程根为；（2）存在，． 【教师】（1）方程有两相等实根，则有，解得：，此时方程即为，方程根为；（2）根据韦达定理，可得方程两根满足，，依题意有，即，整理即得，解得：，；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足，仅在时成立，综上所述，可得：．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足．温故知新1. 根的判别式 2. 运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
模块一：判别式的值与根的关系
模块二：根的判别式的应用
模块三：韦达定理
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