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第3讲 二次根式的运算 -教师版
教学内容
进门测试二次根式加减法的步骤是什么？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．【例题精讲】计算： （1）； （2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）原式； （2）原式．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．计算： （1）； （2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）； （2）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．计算： （1）； （2）．【难度】★【答案】（1）；（2）【教师】（1）原式； （2）原式．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．【难度】★【答案】．【教师】阴影部分的宽为，长为．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．计算： （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）由题可知：，则原式；原式；原式 =．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．先化简，再求值：，其中，．【难度】★★【答案】．【教师】原式 ， 当，时，原式=．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为．（1）如果，求； （2）如果，求．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）因为， 所以； （2）因为，所以．【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．解不等式：．【难度】★★【答案】．【教师】由，得：，即，所以．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．已知，，求的值．【难度】★★★【答案】2【教师】由题意可得：，，则， 代入，，则原式．【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简以及加法运算，注意判定每一个因式的符号．已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，∴，即∴，． ∵原式， ∴代值后，得：原式．【总结】本题综合性加强，一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查几个非负数的和为零的基本模型．已知，，求的值．【难度】★★★【答案】15．【教师】由题意可得：， ∴ 【总结】本题一方面考查二次根式的运算，另一方面考查完全平方公式的变形．【知识梳理】1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例题精讲】计算： （1）； （2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）； （2）．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．计算．（1）； （2） ； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．计算： （1）； （2）； （3）（）； （4） （）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）由题意可得：，则； （2）；（3）； （4）．计算： （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）； （2）．【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为 ，求的长．【难度】★★【答案】．【教师】正方形的边长为，则，则．【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．已知和是等腰三角形的两条边，其面积为，求等腰三角形的高．【难度】★★【答案】腰上的高为：；底边上的高为．【教师】由题意可得：等腰三角形的三边长为，，， 由，解得：，即腰上的高为； 由，解得：，即底边上的高为．【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论．解方程：．【难度】★★【答案】．【教师】由，得：，则，化简，得：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．计算．（1）（）； （2）；（3）（－＋2＋）÷．【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）；原式；原式=÷－÷＋2÷＋÷ =－+2+ =．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．计算．（1）；（2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1） ．【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．当堂检测计算： （1）； （2）； （3）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）；（2）；（3）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．计算：（1）； （2）．【难度】★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）； ．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．计算： （1）； （2）； （3）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．计算：（1）； （2） ； （3） ； （4）；【难度】★【答案】（1）-108；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2） ； （3） ； （4）．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．计算：（1）；（2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）原式；（2）； （3）原式．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）； （2）；（3）原式；（4）原式．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）；（3）； （4）．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）；（3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）；（3）； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．计算：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）0；（2）．【教师】（1）原式； （2）原式．【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．先化简后求值，当时，求的值．【难度】★★【答案】0．【教师】因为， 所以当时，原式．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．化简：．【难度】★★★【答案】．【教师】原式 ．【总结】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简，注意符号的判定．解下列方程和关于x的不等式： （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）由，得：，即，所以； （2）由，得：，解得：， 化简，得：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在方程和不等式中的运用，注意相关符号的判定．已知x为奇数，且，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】由题意可得：且，则．∵x为奇数，∴． ∵， ∴当时，原式．【总结】本题综合性较强，要先根据二次根式有意义的条件判定出x的取值，然后再对所求二次根式进行化简再代入求值．先化简，再求值：，其中．【难度】★★★【答案】．【教师】因为原式， 所以当时，原式．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意计算时细心一些．已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．课堂检测二 计算： （1）； （2）； （3） ； （4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）；（3） ； （4）．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．计算． （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）；原式；原式；原式 ．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★【答案】（1）；（2）8；（3）；（4）【教师】（1）；（2）；（3）；（4）．【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）；（2）-6；（3）；（4）【教师】（1）； （2）； （3）； （4）原式．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．计算． （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）．【教师】（1）原式； （2）原式； （3）原式．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．化简：（1）；（2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）原式；（2）原式．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．若直角三角形的面积是，一条直角边长，求另一条直角边长及斜边上的高线长．【难度】★★【答案】；．【教师】另一条直角边长为：；斜边上的高为：．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．化简：．【难度】★★【答案】．【教师】原式 ．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．已知，，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】由题意有：，，所以．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．解关于x的不等式：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【教师】（1）由， 得：， 则， 所以， 解得：； （2）由， 得：， 则， 所以．【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．已知：，，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】由题意可得：，，则， 代入，，得原式．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a、b的符号，最后利用整体代入的思想求值．求下列式子的值：，其中．【难度】★★【答案】22．【教师】由题意有：，， ∴．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．先化简，再求值：，，．【难度】★★★【答案】．【教师】原式， 代入，，得原式．【总结】本题主要考查代数式的化简与求值，注意二次根式计算时的符号问题．解方程组：．【难度】★★★【答案】．【教师】，，可得： ， ∴．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程组中的运用，注意方法的选择．若，求的最大值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵， 又，∴， 所以要求式子的最大值，则． 所以，当且仅当时，等号成立． 此时． ∴的最大值为．【总结】本题综合性较强，考查了均值不等式的运用，注意不等式，当且仅当时取等号，可以选择性的讲解．温故知新二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算
模块一：二次根式的加减法
模块二：二次根式的乘除法
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教学内容
进门测试二次根式加减法的步骤是什么？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．【例题精讲】计算： （1）； （2）．计算： （1）； （2）．计算： （1）； （2）．如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．计算： （1）； （2）； （3）．先化简，再求值：，其中，．设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，周长为．（1）如果，求； （2）如果，求．解不等式：．已知，，求的值．已知，求的值．已知道，，求的值．【知识梳理】1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例题精讲】计算： （1）； （2）．计算．（1）； （2） ； （3）； （4）．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．计算： （1）； （2）； （2）（）； （3） （）．计算： （1）； （2）．如图所示，在面积为2a的正方形中，截得直角三角形的面积为 ，求的长．已知和是等腰三角形的两条边，其面积为，求等腰三角形的高．解方程：．计算．（1）（）； （2）；（3）（－＋2＋）÷．计算．（1）；（2）．当堂检测计算： （1）； （2）； （3）．计算：（1）； （2）．计算： （1）； （2）； （3）．计算：（1）； （2） ； （3） ； （4）；计算：（1）；（2）； （3）．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．计算： （1）； （2）； （3）； （4）．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．计算：（1）； （2）．先化简后求值，当时，求的值．化简：．解下列方程和关于x的不等式： （1）； （2）．已知x为奇数，且，求的值．先化简，再求值：，其中．已知，求的值．课堂检测二 计算： （1）； （2）； （3） ； （4）．计算． （1）； （2）； （3）； （4）．计算．（1）； （2）；（3）； （4）．计算：（1）； （2）； （3）； （4）．计算． （1）； （2）； （3）．化简：（1）；（2）．若直角三角形的面积是，一条直角边长，求另一条直角边长及斜边上的高线长．8.化简：．9.已知，，求的值．10.解关于x的不等式：（1）； （2）．11.已知：，，求的值．12.求下列式子的值：，其中．13.先化简，再求值：，，．14.解方程组：．15.若，求的最大值．温故知新二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算
模块一：二次根式的加减法
模块二：二次根式的乘除法
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