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第4讲 二次根式综合运算 -教师版
教学内容
进门测试什么叫作分母有理化？分母有理化的方法是什么？什么叫作有理化因式？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】分母有理化：把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例题精讲】填空． （1）的一个有理化因式是 ； （2）的一个有理化因式是 ．【难度】★【答案】（1）等；（2）等．【教师】（1）的一个有理化因式是等； （2）的一个有理化因式是等．【总结】本题主要考查有理化因式的概念，注意有理化因式不是唯一的．把下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1），（2），（3），（4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）．【难度】★【答案】（1），（2），（3）．【教师】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查分母有理化在化简中的运用．化简． （1）； （2）．【难度】★【答案】（1），（2）．【教师】（1）原式； （2）原式 ．【总结】本题主要考查利用分母有理化化简二次根式并求值．把下列各式分母有理化． （1）； （2）． 【难度】★★【答案】（1）； （2）．【教师】（1）； （2）．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）； （2）； （3）．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．把下列各式分母有理化． （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）； （2）．【教师】（1）原式 ； （2）原式．【总结】本题考查二次根式的分母有理化，需要耐心计算．化简： （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）；（2）；（3）．【总结】本题既可以采用分母有理化进行化简，也可以通过因式分解进行约分，注意简便方法的选择和运用．解下列方程． （1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）； （2）．【教师】（1）由，得：，即， 所以原方程的解为：； （2）由，得， 所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．解下列方程组． （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1） ； （2）．【教师】（1）由，得：， 所以可得：， 从而进一步得到：，所以原方程组的解为； （2）由，得，所以可得：， 从而进一步得到：，所以原方程组的解为．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用，与整式方程组的解法类似．解下列不等式． （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1）； (2) ．【教师】（1）由，得：，所以原不等式的解集为：； （2）由，得：， 所以原不等式的解集为：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，解题时注意计算上的吸细心，另外注意求不等式的解时，两边所除的数的正负性．已知，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】因为，所以，所以， 所以， 所以．【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简，另一方面考查了复合二次根式的的化简，本质是配方，讲解时根据学生情况选择性的运用．【知识梳理】1、二次根式的混合运算（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．【例题精讲】化简： （1）； （2）； （3） ．【难度】★★【答案】（1）0 ； （2）0； （3）．【教师】（1）； （2）； （3） 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，计算时注意方法的恰当选择．已知：，，求的值．【难度】★★【答案】193．【教师】∵，，∴，∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查完全平方公式的变形．设的整数部分是，小数部分是，试求的值．【难度】★★【答案】10．【教师】∵，又，∴， ∴，， ∴．【总结】本题考察了二次根式的化简求值，正确求得a，b的值是关键．已知，，求 的值．【难度】★★【答案】．【教师】∵，，∴． ∴ ．【总结】此题考查了二次根式的加减法和完全平方公式的应用，注意将原式变形为完全平方式的和是解题的关键．计算： （1） ； （2）．【难度】★★【答案】（1）0；（2）．【教师】（1）； （2） ．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意方法的合理选用．下列分母有理化计算. ，，，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：.【难度】★★【答案】．【教师】 ．【总结】本题是根据题目中给出的运算找规律，注意观察每一步的计算特征即可．已知，求代数式： 的值．【难度】★★★【答案】．【教师】原式 ．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意方法的正确选择．先化简再求值：，其中，．【难度】★★★【答案】．【教师】原式， 代入，，可得原式．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意方法的正确选择．已知，求出的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵， ∴，即，∴，即．化简，得：．∴．【总结】本题综合性较强，计算时注意方法的选择以及计算的细心．当堂检测将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查分母有理化在二次根式化简中的运用．将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）．【难度】★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查分母有理化在二次根式化简中的运用．不求方根的值比较 与的大小．【难度】★【答案】．【教师】∵，，又， ∴．【总结】本题主要考查通过分母有理化之后比较二次根式的大小．化简下列各式． （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★★【答案】（1）4； （2）5； （3）； （4）．【教师】（1）； （2）； （3） =； （4） =．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，计算时注意方法的恰当选择．化简下列各式． （1）； （2）； （3）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）； （2）； （3）．【总结】本题主要考查因式分解在二次根式化简中的运用，也可以通过分母有理化进行化简．化简下列各式．（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）； （2）1．【教师】（1）； （2）．【总结】本题主要考查因式分解在二次根式化简中的运用，也可以通过分母有理化进行化简．解下列方程组或不等式．（1）； （2）；（3）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）由，得：，即， 所以原不等式的解集为：；（2）由，得：，即， 所以原方程的解为：；（3）由，得：， 所以原方程组的解为：．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程和解不等式中的运用．化简求值：，其中，．【难度】★★【答案】．【教师】∵，， ∴．【总结】本题主要考查代数式的化简求值，注意计算时对二次根式进行化简．（1）；（2）；（3）．【难度】★★★【答案】（1）； （2）； （3）．【教师】（1）；（2）； （3）．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，合理进行分母有理化是解题的关键．已知：，，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，， ∴，， ∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查完全平方公式的变形以及整体代入思想的运用．已知：，，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，， ∴， ∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查完全平方公式的变形以及整体代入思想的运用．若，求的值．【难度】★★★【答案】0．【教师】∵， ∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查利用降幂进行求值．课堂检测二将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1）； （2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查利用分母有理化进行化简． 化简：（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）．【总结】本题主要考查分母有理化在二次根式混合运算中的运用．计算．（1）； （2）．【难度】★【答案】（1）； （2）．【教师】（1）； （2）．【总结】本题主要考查因式分解在二次根式化简中的运用，也可以通过分母有理化进行化简．计算．（1）； （2）；（3） （3）．【难度】★★【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【教师】（1）； （2）； （3）； （4）原式 =．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，合理进行分母有理化是解题的关键．计算．（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1）； （2）．【教师】（1）； （2） ．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，合理进行分母有理化是解题的关键．化简并求值：，其中，．【难度】★★【答案】．【教师】原式 ．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意化简时方法的合理选择．已知：，，且，求的值.．【难度】★★【答案】．【教师】∵，∴． ∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．已知的整数部分为，小数部分为，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】∵，∴，∴，． ∴．【总结】本题一方面考查求一个无理数的整数部分和小数部分，另一方面考查二次根式的化简求值．已知，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】∵原式，又， ∴，∴原式．【总结】本题主要考查代数式的化简求值，计算时注意二次根式的化简．已知，求代数式的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，， ∴， ∴．【总结】本题一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查完全平方公式的变形以及整体代入思想的运用．已知，求下列各式的值： （1）； （2）．【难度】★★★【答案】（1）； （2）．【教师】∵，， ∴． ∴（1）； （2）．【总结】本题一方面考查二次根式的化简求值，另一方面考查完全平方公式的变形以及整体代入思想的运用．已知时，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，又，∴=．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查因式分解的运用．求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】∵，，……，∴．【总结】本题主要考查二次根式的化简，注意观察每一项运算结果的特征．温故知新二次根式混合运算的法则是什么？
模块一：分母有理化
模块二：二次根式混合运算
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第4讲 二次根式综合运算 -学生版
教学内容
进门测试什么叫作分母有理化？分母有理化的方法是什么？什么叫作有理化因式？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】分母有理化：把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例题精讲】填空． （1）的一个有理化因式是 ； （2）的一个有理化因式是 ．把下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （4）．把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）．化简． （1）； （2）．把下列各式分母有理化． （1）； （2）． 把下列各式分母有理化． （1）； （2）； （3）．把下列各式分母有理化． （1）； （2）．化简： （1）； （2）； （3）．解下列方程． （1）； （2）．解下列方程组． （1）； （2）．解下列不等式． （1）； （2）．已知，求的值．【知识梳理】1、二次根式的混合运算（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．【例题精讲】化简： （1）； （2）； （3） ．已知：，，求的值．设的整数部分是，小数部分是，试求的值．已知，，求 的值．计算： （1） ； （2）．下列分母有理化计算. ，，，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：.已知求代数式： 的值．先化简再求值：，其中，．已知，求出的值．当堂检测将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （3）． 将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）．不求方根的值比较 与的大小．化简下列各式． （1）； （2）； （3）； （4）．化简下列各式．（1）； （2）； （3）．化简下列各式．（1）； （2）．解下列方程组或不等式．（1）； （2）；（3）．化简求值：，其中，．（1）；（2）；（3）．已知：，，求的值．已知：，，求的值．若，求的值．课堂检测二将下列各式分母有理化．（1）； （2）； （3）； （4）．化简：（1）； （2）；（3）； （4）．计算．（1）； （2）．计算．（1）； （2）；（3） （3）．计算．（1）； （2）．化简并求值：，其中，．已知：，，且，求的值.．已知的整数部分为，小数部分为，求的值．已知，求的值．已知，求代数式的值．已知，求下列各式的值： （1）； （2）．已知时，求的值．求的值．温故知新二次根式混合运算的法则是什么？
模块一：分母有理化
模块二：二次根式混合运算
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