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第6讲 一元二次方程概念及其解法-教师版
教学内容
进门测试一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？怎样判断一个方程为一元二次方程？方程是一元二次方程吗？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】 一元二次方程的概念整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．【例题精讲】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（为已知数）； （7）．【难度】★【答案】（3）（7）是一元二次方程，其它都不是．【答案】【教师】（1）中两个未知数，是二元二次方程；（2）中对式子进行整理，两边项都消去 了，剩下，为一元一次方程；（4）是分式方程；（5）是无理方程；（6）中未明 确说明，不可判定为一元二次方程；（7）化简即为，是一元二次方程．【总结】考查一元二次方的判定，从定义出发，有一个前提，先将方程化成一般形式才可以．判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（为有理数）；．【难度】★【答案】（1）时，是一元二次方程；时，不是一元二次方程； （2）不是一元二次方程．【教师】（1）首先将方程整理成一般形式，即为：， 根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：，即时，是一元二 次方程；，即时，不是一元二次方程；时，显然不是一元二次方程；，即时，此时二次项系数 ，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．为何值时，关于的方程是一元二次方程．【难度】★【答案】．【教师】方程为一元二次方程，则有，同时，可得．【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件．当取何值时，方程是一元二次方程．【难度】★★【答案】．【教师】方程为一元二次方程，则有，同时，可得．【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为 0，注意相关隐含条件．关于的方程．当取何值时，方程为一元二次方程？当取何值时，方程为一元一次方程？【难度】★★【答案】（1）时，原方程是一元二次方程；（2）时，原方程是一元一次方程．【教师】（1），即时，原方程是一元二次方程； （2），即时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ，可知，则，即时，原方程是一元一次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．【难度】★★【答案】．【教师】对方程进行整理，即为：，方程为一元二次方程，则有， 即，由此确定的取值范围为．【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时 二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．若是关于的一元二次方程，求、的值．【难度】★★★【答案】；；；；．【教师】方程为一元二次方程，则其未知数最高次数为2，未知数其它次数不大于2且 为整数，由此可确定有以下几种情形：①；②；③；④；⑤． 分别解得：；；；；．【总结】考查一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且为整式方程，可知其它次数为整数．【知识梳理】1、一元二次方程一般式的概念任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．【【例题精讲】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．；；；．【难度】★【答案】略．【教师】（1）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为6；一次 项为，一次项系数为；常数项为；（2）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为4；（3）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次 项为，一次项系数为；常数项为；（4）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次 项为，一次项系数为；常数项为．【总结】考查一元二次方程一般式的概念，一般尽量使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． （1） （、是常数，且）； （2）； （3）．【难度】★【答案】略．【教师】（1）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为 ；一次项为0，一次项系数为0；常数项为；（2）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为 ；一次项为，一次项系数为；常数项为；（3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开 化为一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6．【总结】考查一元二次方程一般式的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，一定要使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号，没有的项即该项为0，系数也为0．若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．【难度】★★【答案】．【教师】常数项为0 ，即，可得，同时方程为一元二次方程，可知， 由此得．【总结】考查一元二次方程常数项的相关概念，要注意题目的隐含条件．已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】整理方程得，化为一般形式即为，方 程的各项分别为，，，其中未知项系数分别为1，，依题意即有 ，解得：．【总结】考查一元二次方程的一般形式中相关项的概念，注意先将方程整理成一般形式，使二次项系数为正数，然后进行相关说明和计算．【知识梳理】1、一元二次方程的概念能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．【例题精讲】判断2、5、-4是不是一元二次方程的根．【难度】★【答案】2、是原方程的根，5不是．【教师】（1）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以 是原方程的根；（2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原方 程的根；（3）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所 以是原方程的根．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范．判断方程后面括号里的数是否为方程的根．（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），是原方程的根；（2）是原方程的根，不是原方程的根．【教师】（1）将代入原方程，左边，右边，左 边右边，所以是原方程的根；将代入原方程，左边， 右边，左边右边，所以是原方程的根；（2）将代入原方程，左边，右边，左边右边，所以是原 方程的根；将代入原方程，左边，右边，左边右边， 所以不是原方程的根．【总结】考查方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，注意相关格式规范．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故 ，由此可得：．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值．【难度】★★【答案】0．【教师】由题意代入可得：，由此．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．【难度】★★【答案】13．【教师】将代入原方程，即得，解得，同时方程为一元二次方程，故 ，由此可得：，原式=．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．若在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是 ．【难度】★★【答案】1．【教师】依题意即有，可知方程必有一根为1．【总结】考查方程的根的应用，注意观察方程的相同之处和相关有特征的方程．已知方程和有共同的解，求与的值．【难度】★★【答案】，．【教师】方程有共同的解，依题意有，解得：．【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解．已知是一元二次方程的根，求的值．【难度】★★★【答案】0．【教师】依题意有，由此， 原式=．【总结】考查方程的根的应用中整体思想的应用，同时包含降幂的思想的运用．已知是一元二次方程的根，求的值．【难度】★★★【答案】5．【教师】依题意有，由此， 原式=．【总结】考查方程的根的应用中整体思想的应用，同时包含降幂的思想的运用．关于的一元二次方程中计算得两根分别为，则的值是多少？【难度】★★★【答案】5．【教师】方程两根分别为0，2，依题意有，整理即 得：，故，．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的应用．已知两个一元二次方程有一个公共根为1，求证：也有一个根为1．【难度】★★★【答案】略【教师】证明：方程有一个公共根为1， 即有，， 相加即得， 两边除2，即得， 由此即可证得方程也有一个根为1．【总结】考查方程的根的综合应用，即对所求相关进行分析的基础上，准确利用代值找出字母相关关系，即可进行求值证明．【知识梳理】1、直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解．【例题精讲】解关于的方程：．【难度】★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如方程两根即为．解关于的方程：．【难度】★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得： 即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如方程两根即为．解关于的方程：．【难度】★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如方程两根即为．解关于的方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：， 得或，即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或．解关于的方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得，得 或，即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或．解关于的方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法解方程，得， 则或，即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或．解关于的方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】整理方程，即得，直接开平方法，得， 则或，即方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或．解关于的方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】直接开平方法解方程，即得，则或，即方程两 根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，可得或．解关于的．【难度】★★【答案】，．【教师】整理方程，得，即，直接开平方法解方程，即 得，即得方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将当作一个整体，本题实际上介绍后面要学习的配方法解方程，可得或．解关于的方程：．【难度】★★★【答案】，．【教师】直接开平方法解方程，即得，得或， 即得方程两根为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得或．解关于的方程： ．【难度】★★★【答案】，．【教师】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得 ，得或，解得方程两根 分为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得或．解关于的方程：．【难度】★★★【答案】，．【教师】整理方程，即为，直接开平方法解方程，即得， 得：或，解得方程两根分为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得．解关于的方程：．【难度】★★★【答案】，．【教师】整理方程，即为，应用直接开平方法解方程，即得 ，得：或， 解得方程两根分别为，．【总结】直接开平方法解形如的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得．当堂检测下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【难度】★【答案】（1）（3）（4）（6）是一元二次方程，（2）（5）不是一元二次方程．【教师】（1）（3）（4）（6）可根据一元二次方程的定义判定得是一元二次方程；（2）是分式 方程，故不是一元二次方程，（5）化作一般形式后即为，是一元一次方程，也不是一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的定义，只含有一个未 ( http: / / www.21cnjy.com )知数且未知数最高次数为2的整式方程，同时二次项系数不能为0，注意一定要将方程化作最简形式以后再考虑是否为一元二次方程．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【难度】★【答案】略．【教师】（1）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为5；一次 项为，一次项系数为；常数项为3；（2）方程展开即为，整理为方程一般形式为；方程二 次项为，二次项系数为3；一次项为，一次项系数为；常数项为；（3）方程展开即为，整理为方程一般形式为；方程二 次项为，二次项系数为3；一次项为，一次项系数为；常数项为；（4）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为3；（5）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次项为， 一次项系数为4；常数项为；（6）方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为1；一次项为，一 次项系数为；常数项为0．【总结】考查一元二次方程一般式的概念，注意使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号，不存在的项表示该项为0．关于的方程是一元二次方程，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】依题意可得，解得，同时方程为一元二次方程，则有， 由此可得．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．关于的方程有一个根为0，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】方程有一根为0，代入即得，解得，同时方程为一元二次方程，则 有，由此可得．【总结】考查一元二次方程根的定义，同时注意方程为一元二次方程的隐含条件．已知关于的一元二次方程的各项系数和为5，求的值．【难度】★★【答案】．【教师】将方程化为一般形式，即为，依题意有， 解得．【总结】考查一元二次方程的各项系数的定义的认识，先要化作一般形式，其一般形式二次项系数必为正数，同时注意要带上各项前面的符号．用开平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【难度】★★【答案】（1），；（2），； （3），； （4），； （5），； （6），．【教师】（1）整理方程，得，直接开平方法解方程，得方程两根为，；（2）整理方程，得，直接开平方法解方程，得方程两根为，；（3）整理方程，得，直接开平方法解方程，得方程两根为，；（4）整理方程，得，直接开平方法解方程，得方程两根为，；（5）整理方程，得，直接开平方法解方程，将两边底数当做一个 整体，即得或，分别解两方程，即得方程两根 分别为，；（6）将左边底数当作未知数，直接开平方法解方程，即得或， 分别解两方程，即得方程两根分别为，．【总结】解决形如的方程用直接开平方法，可得或分别求解即可得到方程的根．已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．【难度】★★★【答案】；；；；；；；．【教师】方程为一元二次方程，则未知数的最高次数为2，且未知数的其它次数为不高 于2的非负整数，即、分别可为0、1、2，但、同取2时二次项完全消去，可 知此种情形应舍去，即、取值有以下几种情况： ；；；；；；；．【总结】考查一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且未知数其它次数均为不大于2的非负整数．已知是的一个不为0的根，不解方程，请求出的值，如果不能求出，请说明理由．【难度】★★★【答案】2012．【教师】是方程的根，故，则有， 所以，进一步化简， 可得，．【总结】考查一元二次方程根的应用，可利用来进行降幂解决方程中求代数式值的问题．已知关于的方程：．当取何值时，方程是一元二次方程？当取何值时，方程是一元一次方程？【难度】★★★【答案】（1）且时，原方程是一元二次方程； （2）时，原方程是一元一次方程．【教师】（1），即且时，原方程是一元二次方程；（2），即或时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程， 则必有，可知，则，即时，原方程是一元一次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．课堂检测二判断下列方程是否为一元二次方程．； （2）；； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）．【难度】★【难度】★【答案】（2）（8）为一元二次方程，其它均不是．【教师】根据一元二次方程的定义，可判断（2）（8）是一元二次方程；（1）是分式方程， 不是一元二次方程；（3）含有两个未知数，是二元二次方程；（4）是无理方程；（5）整 理即为，是一元一次方程，不是一元二次方程；（6）是分式方程，不是一元 二次方程；（7）未明确说明二次项系数是否为0 ，也不能判定为一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的概念，强方程整理成一般形式后，只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，同时要求二次项系数不能为0．（1）关于的方程，当 ，方程为一元二次方程．（2）关于的方程，当 为一元一次方程； 当 时为一元二次方程．【难度】★【答案】（1）；（2），．【教师】（1）； （2）；．【总结】考查一元二次方程的存在性问题，二次项系数不为0时方程为一元二次方程；二次项系数为0且一次项系数不为0时方程为一元一次方程．关于的方程是一元二次方程，求m的值？【难度】★【答案】．【教师】依题意得，解得，同时方程为一元二次方程，则有， 由此可得．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．【难度】★★【教师】展开方程，整理即得，方程为一元二次方程，则有 ，由此可得的取值范围为．【总结】考查一元二次方程的存在性，先整理成一般形式，再确定相应的二次项系数不为0．用开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）．【难度】★★【答案】（1），；（2），；，； （4），；，；（6），；（7），； （8），．【教师】（1）直接开平方法解方程，得，即得方程两根为，；（2）整理方程，得，直接开平方法解方程，得，分别解得方程两 根为，；（3）整理方程，得，直接开平方法解方程，得，分别解得方程两 根为，；（4）整理方程，得，直接开平方法解方程，得，即 或，分别解得方程两根为，；（5）整理方程得，开平方法解方程，得，即或 ，分别解得方程两根为，；（6）将左边底数当作未知数，直接开平方法解方程，即得或 ，分别解两方程，即得方程两根分别为为，；（7）整理方程，得，直接开平方法解方程，得，分别解得方程 两根为，；（8）方程左边展开，整理方程，得，直接开平方法解方程，可得方程两根分别为， ．【总结】解决形如的方程用直接开平方法，可得或分别求解即可得到方程的根．温故知新1、一元二次方程的一般式是什么？2、一元二次方程中的各项如何认识？3、什么是一元二次方程的根？4、如何判断一个数是否为一元二次方程的根？5、如何判断一个一元二次方程有一个根为0，有一个根为1，有一个根为？6、直接开平方法适用于那种形式的一元二次方程求解？对于一般的一元二次方程我们能不能直接应用开平方法求解？
模块二：一元二次方程的一般式
模块三：一元二次方程的解
模块四：直接开平方法
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第6讲 一元二次方程概念及其解法-学生版
教学内容
进门测试一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？怎样判断一个方程为一元二次方程？方程是一元二次方程吗？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】 一元二次方程的概念整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．【例题精讲】下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）（为已知数）；（7）．【答案】判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（为有理数）；．为何值时，关于的方程是一元二次方程．当取何值时，方程是一元二次方程．关于的方程．当取何值时，方程为一元二次方程？当取何值时，方程为一元一次方程？已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．若是关于的一元二次方程，求、的值．【知识梳理】1、一元二次方程一般式的概念任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项．【例题精讲】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．；；；．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．（1） （、是常数，且）；（2）；（3）．若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________．已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值．1、一元二次方程的概念能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．判断2、5、-4是不是一元二次方程的根．判断方程后面括号里的数是否为方程的根．（1）； （2）．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值．若在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是 ．已知方程和有共同的解，求与的值．已知是一元二次方程的根，求的值．已知是一元二次方程的根，求的值．关于的一元二次方程中计算得两根分别为，则的值是多少？已知两个一元二次方程有一个公共根为1，求证：也有一个根为1．1、直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的方程：．解关于的．解关于的方程：．解关于的方程： ．解关于的方程：．解关于的方程：．当堂检测下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．关于的方程是一元二次方程，求的值．关于的方程有一个根为0，求的值．已知关于的一元二次方程的各项系数和为5，求的值．用开平方法解下列方程：； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．已知方程是关于的一元二次方程，求、的值．已知k是的一个不为0的根，不解方程，请求出的值，如果不能求出，请说明理由．已知关于的方程：．当取何值时，方程是一元二次方程？当取何值时，方程是一元一次方程？课堂检测二判断下列方程是否为一元二次方程．； （2）；； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）．（1）关于的方程，当 ，方程为一元二次方程．（2）关于的方程，当 为一元一次方程； 当 时为一元二次方程．关于的方程是一元二次方程，求m的值？已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．用开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）．温故知新1、一元二次方程的一般式是什么？2、一元二次方程中的各项如何认识？3、什么是一元二次方程的根？4、如何判断一个数是否为一元二次方程的根？5、如何判断一个一元二次方程有一个根为0，有一个根为1，有一个根为？6、直接开平方法适用于那种形式的一元二次方程求解？对于一般的一元二次方程我们能不能直接应用开平方法求解？
模块三：一元二次方程的解
知识精讲
模块四：直接开平方法
知识精讲
例题教师
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