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第7讲 因式分解法及配方法解一元二次方程-教师版
教学内容
进门测试含有字母系数的一元二次方程如何求解？若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．因式分解法理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当时，必有或；当或时，必有）．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．因式分解法解一元二次方程一般步骤将方程右边化为零；将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例题精讲】已知x、y是实数，若，则下列说法正确的是（ ）． A、x一定是0 B、y一定是0 C、或 D、且【难度】★【答案】C【教师】xy=0 只需要xy其中一个为零整个乘式就为零，故选C．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．口答下列方程的根：；；；；．【难度】★【答案】（1） 或；（2）或；（3） 或； （4）或；（5） 或．【教师】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．解下列方程：（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），； （2），．【教师】（1）由，得，解得：，， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，解得：，， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．解下列方程：（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），； （2），．【教师】（1）由，得， 即 ，所以原方程的解为：，； （2）由，得， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【难度】★【答案】（1），； （2），； （3）； （4）．【教师】（1）由，得或者， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，， 解得：或，所以原方程的解为：，； （3）由，得，解得：． 所以原方程的解为：； （4）由，得，即， 所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．解下列方程：（1）； （2）．【难度】★【答案】（1），； （2），．【教师】（1）由，得，解得：或者， 所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．解下列方程：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1），； （2），．【教师】（1）由，得，即，解得：或者 ，所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．解下列方程：（1）； （2）．【难度】★★【答案】（1），； （2），．【教师】（1）由，得，即，解得：或 者，所以原方程的解为：，； （2）由，得，即，解得：或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．解方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】由，得，即， 解得：或者，所以原方程的解为：，．【总结】本题必须把x+5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．解方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】由，得，解得：或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．解方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】由，得，解得： 或者，所以原方程的解为：，．【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直 接写出满足条件的一个一元二次方程 ．【难度】★★【答案】．【教师】由，得．【总结】本题考查一元二次方程根的运用．学生A在解一元二次方程时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x，得到解得所以原方程的根为：【难度】★★【答案】不正确．【教师】不正确，因为等式两边同除的数不能为零，所以当时，此算法是错误的．因 此学生A的做法完全错误的．【总结】本题主要考查等式的性质，注意两边同乘和同除的数不能为零．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】，．【教师】由，得，解得：， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查整体思想的运用，把先看成一个整体进行因式分解．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】，，，．【教师】由，得， 即，所以． 所以原方程的解为：，，，．【总结】本题主要考查整体思想的运用，把看成一个整体，然后再用十字相乘法分解求解．若，求的值．【难度】★★★【答案】的值为8．【教师】设，则， 整理得：，即，解得：或者， 因为，所以的值为8．【总结】本题主要考查整体思想的运用，把看成一个整体，然后再用十字相乘法分解求解，注意任何一个数的平方是一个非负数．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】时，；时，，．【教师】当时，原方程可化为：，所以； 当时，原方程可分解为：，解得：或者． 所以当时，；当时，，．【总结】本题没有说明是关于x的一元几次方程，因此必须分类讨论．解方程：（为已知数）．【难度】★★★【答案】，．【教师】由，得，即， 所以，解得：， 所以原方程的解为：，．【总结】本题需要先把两边都变成平方的形式然后再求解，注意对解题方法的理解和运用．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】当时，；当时，，．【教师】当时，原方程可化为：，所以； 当时，由，得：， 解得：，． 综上：当时，；当时，，．【总结】本题没有说明是关于x的一元几次方程，因此必须分类讨论．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】当=0时，；当时，，．【教师】当=0时，原方程可化为：，因为，所以； 当时，原方程可分解为：， 解得：，． 综上：当=0时，；当时，，．【总结】本题没有说明是关于x的一元几次方程，因此必须分类讨论，注意对系数的正确分解．【知识梳理】配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法．配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：．配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；移项：把常数项移到方程右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例题精讲】构造完全平方式，完成下列填空：（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★【答案】（1）9 、3； （2）16、4； （3）25、5； （4）、．【教师】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方．【总结】本题考查对配方法的理解及运用．用配方法解方程：．【难度】★【答案】，．【教师】由，得，即， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．用配方法解方程：．【难度】★【答案】，．【教师】由，得，即， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．用配方法解方程：．【难度】★【答案】，．【教师】由，得，即， 所以，所以或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．用配方法解方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】由，得，即， 所以， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．用配方法解方程：．【难度】★★【答案】，．【教师】由，得，即， 配方，得：，即，解得：， 所以原方程的解为：，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．用配方法解方程：．【难度】★★【答案】．【教师】由，得，即， 所以，所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．用配方法解方程：（要求用整体法的思想求解）．【难度】★★【答案】．【教师】由，得，即， 所以原方程的解为：．【总结】本题考查整体思想的运用，把看成一个整体进行配方．用配方法解关于x的方程：．【难度】★★【答案】．【教师】由，得，即， 解得：，所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数， 则 ．【难度】★★【答案】5．【教师】因为，所以，所以．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m和k的值．已知方程可以配方成的形式，则可以配方成下列的（ ）． A、 B、 C、 D、【难度】★★【答案】B【教师】因为可以配方成的形式，所以可写成 的形式，即．故选B．【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用．用配方法解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】．【教师】由，得，配方，得：， 即，解得：， 所以原方程的解为：．【总结】本题主要考查配方法在含字母系数中的应用，计算时要细心一些．已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？【难度】★★★【答案】．【教师】由，得，所以或者． 当时，和，满足三角形三边关系， 当时，和，不满足三角形三边关系． 所以时，△ABC是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．求证：无论x为何值，代数式的值总是小于．【难度】★★★【答案】略．【教师】因为， 所以x无论取何值时，代数式肯定小于等于，所以必定小于．【总结】本题主要考查利用配方法判定一个代数式的取值范围．结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：的实数解．【难度】★★★【答案】和．【教师】由，得， 即， 解得：和．【总结】本题考查因式分解，通过拆分项，将原方程变成非负数和的形式，再根据非负数的性质，解得结果．当堂检测完成下列填空：（1）方程的根为 ；（2）方程的根为 ；（3）方程的根为 ．【难度】★【答案】（1），； （2），； （3），．【教师】（1）由，得，解得：或者， 所以原方程的解为：，； （2）由，得或者， 所以原方程的解为：，； （3）由，得，解得或者， 所以原方程的解为：，．【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．完成下列填空：（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）； （2） ．【教师】利用完全平方公式的概念完成填空．【总结】本题考查配方法的基本概念．用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法： （1）； （2）； （3）； （4）．【难度】★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．【教师】（1）由，得，解得：； （2）由，得，解得：； （3）由，得，解得：； （4）由，得，解得．【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．已知一个一元二次方程的两个根分别为3和，那么这个方程可以是（ ）． A、 B、 C、 D、【难度】★【答案】B【教师】直接将两个根分别为3和代入原方程，即可验证，结果为B．【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【教师】（1）由，得，解得：； （2）由，得，解得：； （3）由，得，解得：； （4）由，得，解得：； （5）由，得，解得：； （6）由，得， 即，解得：．【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．解方程：．【难度】★★【答案】．【教师】由，得， 分解因式，得：， 解得：．【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．如果是一个完全平方式，求m的值．【难度】★★【答案】．【教师】因为是一个完全平方式，所以， 解得：．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解及运用．用配方法说明：不论为何值，代数式的值总大于0．【难度】★★★【答案】略．【教师】因为==， 所以无论取何值时，的值总是大于0的．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】．【教师】由，得 即，解得：．【总结】本题综合性较强，需要对各项的系数认真观察，从而完成因式分解．若实数x、y满足，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】设，则原式可变形为，即， 解得：． 因为，所以．【总结】本题一方面考查换元法的运用，另一方面考查非负数的概念．课堂检测二已知方程，则的值为（ ）．A、2 B、 C、2或 D、以上都不对【难度】★【答案】C【教师】将看作一个整体，解得的值为2或，因为是一个非负数， 所以的值为2，故选A．【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．用因式分解法及配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．【难度】★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．【教师】（1）由，得，解得：； （2）由，得，解得：； （3）由，得，解得：； （4）由，得：，解得：； （5）由，得：，解得：； （6）由，得：，解得：．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）．【难度】★★【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）．【教师】（1）由，得，解得：； （2）由，得，解得：； （3）由，得，解得：； （4）由，得，即，解得：； （5）由，得，解得：； （6）由，得， 解得：； （7）由，得：，解得：．【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，先将方程化为一般形式再分解．若△ABC的三边a、b、c的长度是的解，求△ABC的周长．【难度】★★【答案】3或18或13．【教师】由，得，解得． 当时，成立； 当时，成立； 当时，成立； 当时，不成立． 所以周长为3或18或13．【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．求证：无论x为何值，代数式的值总是大于零．【难度】★★【答案】略．【教师】因为， 所以无论x取何值，代数式的值总是大于零．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．若多项式是一个完全平方式，求a的值．【难度】★★★【答案】．【教师】因为是一个完全平方式， 则，即， ， ， ．【总结】根据完全平方式的概念来解题．解关于x的方程：．【难度】★★★【答案】．【教师】由， 得：， 解得：．【总结】本题综合性较强，需要对各项的系数认真观察，从而完成因式分解．已知，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求的值．【难度】★★★【答案】．【教师】由， 得：， 所以．【总结】本题主要考查配方法的运用，以及非负性的运用．温故知新一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？
模块二：配方法解一元二次方程
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第7讲 因式分解法及配方法解一元二次方程-学生版
教学内容
进门测试含有字母系数的一元二次方程如何求解？若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？课堂导入 ( http: / / www.21cnjy.com / )精讲精练【知识梳理】因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．因式分解法理论依据如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当时，必有或；当或时，必有）．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．因式分解法解一元二次方程一般步骤将方程右边化为零；将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例题精讲】已知x、y是实数，若，则下列说法正确的是（ ）．A、x一定是0 B、y一定是0 C、或 D、且口答下列方程的根：；；；；．解下列方程：（1）； （2）．解下列方程：（1）； （2）．解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．解下列方程：（1）； （2）．解下列方程：（1）； （2）．解下列方程：（1）； （2）．解方程：．解方程：．解方程：．已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ．学生A在解一元二次方程时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x，得到解得所以原方程的根为：解关于x的方程：．解关于x的方程：．若，求的值．解关于x的方程：．解方程：（为已知数）．解关于x的方程：．解关于x的方程：．【知识梳理】配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法．配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：．配方法解一元二次方程一般步骤先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；移项：把常数项移到方程右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式；当时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例题精讲】构造完全平方式，完成下列填空：（1）；（2）；（3）；（4）．用配方法解方程：．用配方法解方程：．用配方法解方程：．用配方法解方程：．用配方法解方程：．用配方法解方程：．用配方法解方程：（要求用整体法的思想求解）．用配方法解关于x的方程：．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ．已知方程可以配方成的形式，则可以配方成下列的（ ）．A、 B、 C、 D、用配方法解关于x的方程：．已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？求证：无论x为何值，代数式的值总是小于．结合一元二次方程因式分解法的思想，求方程：的实数解．当堂检测完成下列填空：（1）方程的根为 ；（2）方程的根为 ；（3）方程的根为 ．完成下列填空：（1）；（2）．用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法：（1）； （2）；（3）； （4）．已知一个一元二次方程的两个根分别为3和，那么这个方程可以是（ ）．A、 B、 C、 D、用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．解方程：．如果是一个完全平方式，求m的值．用配方法说明：不论为何值，代数式的值总大于0．解关于x的方程：．若实数x、y满足，求的值．课堂检测二已知方程，则的值为（ ）．A、2 B、 C、2或 D、以上都不对用因式分解法及配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）．若△ABC的三边a、b、c的长度是的解，求△ABC的周长．求证：无论x为何值，代数式的值总是大于零．若多项式是一个完全平方式，求a的值．解关于x的方程：．已知，请结合一元二次方程因式分解法的思想，求的值．温故知新一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？
模块二：配方法解一元二次方程
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