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21世纪教育网精品教学课件
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--------探究以三角板为题材中考题
1.如图1所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOB+∠DOC=______度。
180
2、（河南）如图2，一块含有30 角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A’B’C’的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 （ ）
A． cm B． cm
C． cm D、 cm
图2
D
图1
活动一、体验魅力
3、一副三角扳按如图3方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为 （ ）
A B
C D
4、 把一副三角板如图4所示叠放
在一起，则图中∠α的度
数为（ ）
A. 75° B. 60°
C. 65° D. 55°
图3
D
图4
A
俗称：30°，60° ，90° 的三角形
俗称：45°，45°，90°的三角形
三角的度数之比
三边的长度之比
三角的度数之比
三边的长度之比
1∶2∶3
1∶ ∶2
1∶1∶2
1∶1∶
三角板中的知识
例1、将一副常规三角板拼成如图所示的图形，
则∠ABD=_________度。
变式练习：用一副三角板可以直接得到30°，45°
60°，90°四种角。请你再拼一拼，使用一副三
角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数
分别是_________________。
一、求角的度数
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A
C
B
D
135
15°，105°，75°，120°，150°
活动二、探索魅力
例2、小明将一幅三角板如图(2)所示摆放在一起，
若已知CD=2,求AC的长。
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A
C
B
D
二、求线段的长度
解：
变式练习：将一副三角板如图叠放，则上下两块三
角板面积之比S△ABC:S△BDC等于__________。
例3：（荆门）将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的正切值。
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A
C
B
D
三、求三角函数值
E
┓
变式练习：将一副三角尺如图摆放在一起，试求∠ACD的余弦值=______
F
┓
例4、将两块全等的含30°角的直角三角板，叠放在一起如图所示，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
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A
C
B
D
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四、运动中的三角板
x
y
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F
H
G
P
K
参考答案
解：由题意知 ∠PFB＝∠PBF＝30°,
∴ FP＝BP.
过点P作PK⊥FB于点K，则.
∵ AF＝t，AB＝8， ∴ FB＝8－t，
在Rt△BPK中，
.
∴ △FBP的面积
∴ S与t之间的函数关系式为：
t的取值范围为： .
E
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图2
这节课你有何收获，
能与大家分享、交流你的感受吗？
一副斜边相等的直角三角板
按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．
A,B,C,D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由．
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A
C
B
D
生活就是战斗
证明：取AC的中点，连接OD,OB
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∴OB=OD=1/2AC=OA=OC
∴A,B,C,D四点在⊙O上。
O
将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
等腰
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A
C
B
D
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E
过去属于死神，未来属于你自己。 —— 雪莱
一个能思想的人，才真是一个力量无边的人。 —— 巴尔扎克
如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
A
将两块三角板如图（4）放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45o，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积。
志不强者智不达。 —— 墨翟
细节决定成败
如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_________度。
35登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：魅力无限的三角板 姓名：________________
---------探究以三角板为题材中考题 班级初三（ ）班
学习目标：
1、 有关三角板转化为等腰直角三角形和含30°角的直角三角形类几何问题；
2、 等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质特征；
3、 等腰直角三角形和含30°角的直角三角形知识的综合应用
学习重点：
等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质特征。
学习难点：
等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的综合应用；
学习过程：
活动一、魅力体验
1、 如图1所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，
则∠AOB+∠DOC=__________度。
2、如图2，一块含有30 角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到
△A′B′C的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 （ ）
A．cm B．cm C．cm D、cm
3、一副三角扳按如图3方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为 （ ）
A B
C D
4、把一副三角板如图4所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 65° D. 55°
活动二、考点扫描
1、 等腰直角三角形 2、含30°角的直角三角形
三角度数之比 三角度数之比
三边长度之比 三边长度之比
活动二、魅力探究
一、求角之间的关系
例1、将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABD=____度。
变式练习、用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。请你再拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数分别是____________________________________。
二、求线段的长度
例2、小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，若已知，求的长．
变式练习、将一副三角板如例2图叠放，则上下两块三角板面积之比S△ABC:S△BDC=______________.
三、求三角函数值：
例3、（荆门）将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的正切值。
四、运动中的三角板
例4、将两块全等含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4．若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
活动四、魅力实践：
1.如图A将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，
则∠AOC＋∠BOD的度数是_______________度．
2.（09聊城）．一副三角板如图B叠放在一起，则图中∠的度数是 ．
（B题图）
3.09抚顺）．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图C摆放，与完全重合，，，则 ．
4.用两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若AD=，求三角尺各边的长。
5.图5中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立吗？请你说明理由．
A
B
D
C
A
B
D
图3
图1
图2
C
D
B
A
C
图4
D
C
H
F
G
B
A
P
y
x
图2
E
B
C
D
A
（C题图）
Ｏ
A图
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
4图
M
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
5题图
①
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
②
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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上课教师：赵志刚 2011年3月24号 第（六）周星期（三 ） 总课时：第 课时
课题：魅力无限的三角板
---------探究以三角板为题材中考题
教学目标：
1、 有关三角板转化为等腰直角三角形和含30°角的直角三角形类几何问题；
2、 等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质特征；
3、 等腰直角三角形和含30°角的直角三角形知识的综合应用
教学重点：
等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质特征。
教学难点：
等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的综合应用；
教学准备：
教学课件，学案。
教学方法：
实验法，启发式教学
教学手段：利用电教多媒体
教学过程：
三角板是常见的画图工具，也是基本图形之一，一副三角板都有两个直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，它的三个内角分别是90°，45°，45°；另一个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°。将这副三角板（也叫三角尺）进行拼接可以拼出许许多多的数学题，这些题目内容丰富，多彩多姿，令人赏心悦目，回味无穷．下面以几道题为例，和同学们共同探讨相关的问题。
活动一、魅力体验
1、 如图1所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，
则∠AOB+∠DOC=__________度。
2、如图2，一块含有30 角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到
△A′B′C的位置．若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 （ ）
A．cm B．cm C．cm D、cm
3、一副三角扳按如图3方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为 （ ）
A B
C D
4、把一副三角板如图4所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A. 75° B. 60° C. 65° D. 55°
活动二、基础知识再现：
1、 等腰直角三角形 2、含30°角的直角三角形
三角度数之比 1：1：2 三角度数之比 1：2：3
三边长度之比1：2： 三边长度之比
活动三、探究魅力
一、求角的度数
例1、将一副常规三角板拼成如图所示的图形，则∠ABD=_________度。
解：∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°+45°=135°
故应填135。
注意：由于填空线后面已有单位“度”，因此横线上只能填一个不带单位的数即135，而不能填135°。这是填空题必须注意的一个问题，应当引起同学们的重视。
变式练习：用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。请你再拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数分别是_________________。
解：通过用三角板拼图，用一副三角板还可以拼出15°，105°，75°，120°，150°的角。
设计意图：对于应用三角板中的特殊角进行角的和与差的计算，是学生应当掌握的基本技能，通达例1和变式练习训练学生的解题能力。通过观察不难发现，只要是15°的整数倍的角都可以用一副三角形板拼出。
二、求线段的长度
例2、小明将一幅三角板如图(2)所示摆放在一起，若已知，求的长．
解：
，则
变式练习：将一副三角板如图叠放，则上下两块三角板面积之比A1：A2等于______________。
解：如图所示，设，则
设计意图：含30°角的直角三角板的三边长的比是，含45°角的等腰直角三角板三边长的比是。熟练掌握一副三角板中两种三角形的三边长之比，可以提高解题效率，开阔解题思路。
三、求三角函数值：
例3：（荆门）将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的正切值。
析解：尽管本题没有提供边与角的具体数据，但是由一副三角尺摆放成的几何图形隐含着许多特殊角。为解直角三角形提供了条件。
解：过点A作DB延长线的垂线AE，垂足为E。
在等腰RtΔBDC中，∠1=45°，设BD=DC=k，则
在RtΔABC中，∠4=30°，则
在RtΔAEB中，
∠2=180°－（∠1＋∠3）=180°－（90°＋45°）=45°
则EB=EA=AB·sin45°
在RtΔDEA中，
，
则tan∠ADB=
变式练习、将一副三角尺如图例3摆放在一起，试求∠ACD的余弦值=______
设计意图：
从图中可见这是一副大小特殊的三角板，含30°那一块的60°角所对的直角边恰好是等腰那一块的斜边．要求∠ADB的正切，应设法构造以该角为锐角的直角三角形．这种方法是数学中常见的数学方法。本题实际完全是由课本上几个重要知识点的基本题构建而成的，从作辅助线构造直角三角形，利用三角函数解三角形，求一个角的三角函数值必须在直角三角形中才能完成，课本上无处不在。因此在中考复习中夯实“三基”（基础知识、基本技能、基本思想）仍显得异常重要。
四、运动中的三角板
例4、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.
解：由题意知 ∠PFB＝∠PBF＝30°,
∴ FP＝BP.
过点P作PK⊥FB于点K，则.
∵ AF＝t，AB＝8，
∴ FB＝8－t，.
在Rt△BPK中，
.
∴ △FBP的面积，
∴ S与t之间的函数关系式为：
，或. …
t的取值范围为：.
设计意图：
本题是运用两块完全全等的三角板进行设计的图形，综合性很强，包括了解直角三角形，二次函数的综合运用。这一列问题串既遵循学生的一般思维规律，同时又一个问题比一个问题更具隐蔽性。既渗透了分类、从特殊到一般、函数等数学思想，同时又让学生在解决问题的过程中领悟到学习数学、研究数学的方法。
活动四、课堂小结：
本节课探索三角板在中考中的作用，通过三角形的组合，三角板的特殊角的条件求角度，边长，面积，证明图形之间的关系，和最值问题。
活动四、板书设计
中考中的三角板
基础知识 课堂小结
例题讲解 作业布置
活动五、魅力擂台：
1、如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
2、如图（1），将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_________度。
析解：在RtΔAOB中：∠AOC＋∠BOC=90° ①
求∠BOC把①、②两式相加即可。
即：∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠BOC=180°
∵∠AOC＋∠BOC＋∠BOD=145°
∴∠BOC=180°－145°=35°
3、将两块三角板如图（4）放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45o，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积。
析解：由于重叠部分四边形DBCF是一个不规则的四边形，所以求其面积可考虑用SΔABC－SΔADF
即：在RtΔABC中
∵∠A=45° AB=6
∴AC=BC=AB·sin45°=
∴
在RtΔEDB中
∵∠E=30°DE=6
∴DB=DE·tan30°=
∴AD=AB－DB=6－
∵∠EDB=90°，∠A=45°
∴ΔADF是等腰直角三角形
∴AD=DF=6－
∴
∴S四边形DBCF=SΔABC－SΔADF
答：重叠部分四边形DBCF的面积为
4、一副斜边相等的直角三角板（），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由．
证明：
（1）取的中点，连接
和是直角三角形，
．
四点在上．
5、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
(1)填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.
解：（1），， 等腰；
活动六、魅力实践：
A、如图A将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，
则∠AOC＋∠BOD的度数是_______________度．
B、（09聊城）．一副三角板如图B叠放在一起，则图中∠的度数是 ．
C、09抚顺）．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图C摆放，与完全重合，，，则 ．
D、用两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若AD=，求三角尺各边的长。
析解：由图可知，AB=DB，在RtΔABD中先求出AB，然后在RtΔABC中求出三角尺各边的长。
即：在RtΔABD，∵AB=DB
∴ΔABD是等腰直角三角形
∴AB=AD·sin45°
在RtΔABC ∵∠BAC=30°
∴BC=AB·tan30°=，AC=12
∴三角形三边的长分别为6、、12。
E、E图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．
（1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立吗？请你说明理由．
解：⑴ ∵ ∠A=∠ADM=300 , ∴AM=MD
∵ ∠BDC=900-∠ADM=600=∠B ,∴CB=CD
∵MG⊥AD , NH⊥BD ,
∴AD=2AG ,BD=2DH
∵AD=BD , ∴AG=DH
⑵解：结论成立
∵∠ADM=600 ， ∴∠BDN=300 ,
在△AMD和△DNB中
∵ ∠ADM=∠B , AD=BD ，∠A=∠BDN
∴ △AMD≌△DNB ∴AM=DN
∵MG⊥AD ，NH⊥BD
∴ △AMG≌△DNH ∴ AG= DH
D
C
A
B
D
图4
图3
图2
图1
图2
B
A
C
A1
D
B
A
C
A2
D
B
A
C
K
D
l
B
C
A
O
D
C
B
A
E
图1
Ｏ
A图
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
E
B
C
D
A
（C题图）
D图
M
E
F
C
B
N
D
A
G
45°
30°
E题图
①
45°
30°
B
E
F
C
N
D
M
A
G
H
②
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华师中山附中2010—2011学年第二学期初三年级三角形模块数学试卷
全卷共22道题，满分120分，考试时间为90分钟。
一、 选择题（每题3分，共15分）
1．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm
2.下列命题中，错误的是（ ）．
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形的外角和等于360°
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
3.如图，给出下列四组条件：
①；②；
③；④．
其中，能使的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4..如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
5.如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 （ ）
A、1 B、 C、 D、2
二、填空题（每题4分，共20分）
6.如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为 ．
7.如图8，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
8.如图，在中，分别是的中点，若，则的长是 ．
9.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积和为 ．
10观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．
三、解答题（一）（本大题5个小题，每小题6分，共30分）
11.如图，⊿ABC中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则求∠CDF.
12.如图24-4，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求证：AF=BF+EF．
13、如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水．修在河边什么地方, 可使所用的水管最短 (写出已知, 求作, 并画图)
14.如图14是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
15.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图（图21），小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．
四、解答题（二）（本大题有4个小题，每小题7分，共28分）
16.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．
17.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2.
18.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.
19.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．1）请找出图中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．
五、解答题（三）（本大题3个小题，每小题9分，共27分）
20.在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离.
(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,
tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）
21.如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝ ▲ °，猜想∠QFC＝ ▲ °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB＝，设BP＝，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．
22.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
参考答案：
一、填空题
1.C；2.D；3.C；4.B;5.C.
二、选择题
6.8；7.①，③，④；8.10；9.；10.121；
三．解答题
11. .解，，
，
12.证明：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°.
∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°．
∴∠ADE+∠DAE=90°．又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE ，∴∠AFB=∠DEG=∠AED.
在与中，∵∠AFB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD=AB.
∴△ABF≌△DAE．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF．
13.．作法：（1）作点A关于直线a的对称点A'．
（2）连结A'B交a于点C．则点C就是所求的点．
证明：在直线a上另取一点C', 连结AC,AC', A'C', C'B．
∵直线a是点A, A'的对称轴, 点C, C'在对称轴上
∴AC=A'C, AC'=A'C'?∴AC+CB=A'C+CB=A'B
∵在△A'C'B中,A'B＜A'C'+C'B ∴AC+CB＜AC'+C'B
即AC+CB最小．
14.解：（1）如图，
（2）证明：大正方形的面积表示为，大正方形的面积也可表示为，
∴=，即，
∴，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
15.解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2，
DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．
∵ EF∥AB， ∴ ．
由题意，知：
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5．
∴ ，解之，得BG＝18.75．
∴ AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95≈20.0．
∴ 楼高AB约为20.0米．
16.证明：（1）∵ ， ∴
又 ∠ACB=∠DCE=90°，∴ △ACB∽△DCE．
（2）∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．
又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°．
∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．
17.证明:（1） ∵ ∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB－∠ACD=∠ECD－∠ACD，
即 ∠BCD=∠ACE
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD.
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°．
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°．
∴Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2.
∵△ACE≌△BCD
∴ AE＝DB，
∴AD2+DB2=DE2.
18.解：设在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6. 由勾股定理有：AC=10.
扩充部分为Rt△ABD，扩充成等腰△ACD，应分以下三种情况：
①如图1，当AC=AD=10时，可求BD=CB=6，得△ACD的周长为32m；
②如图2，当AC=CD=10时，可求BD=4，由勾股定理得：AD=4，得△ACD的周长为（20+4）m；
③如图3，当AC为底时，设AD=CD=x，则BD=x－6，由勾股定理得：x=，得△ACD的周长为m.
19.解：△ABE≌C△ACD
证明如下：
∵△ABC与AED均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD
(2)证明：由（1）△ABE≌△ACD知
∠ACD=∠ABE=45°,又∠ACB=45°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE
20.解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．
在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴AD﹦20×sin 60°﹦10≈17.32m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，
∴BE﹦24×sin 45°﹦12≈16.97
∵17.32>16.97
∴风筝A比风筝B离地面更高．
（2）在Rt△ADC中，
∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，
∴DC﹦20×cos 60°﹦10 m
在Rt△BEC中，
∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m
∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m．
21.【答案】（1） 30°.＝ 60°
（2）＝60°
不妨设BP＞, 如图1所示
∵∠BAP＝∠BAE+∠EAP＝60°+∠EAP
∠EAQ＝∠QAP+∠EAP＝60°+∠EAP
∴∠BAP＝∠EAQ
在△ABP和△AEQ中 AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ， AP＝AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS）
∴∠AEQ＝∠ABP＝90°
∴∠BEF
∴＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60°
(事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F作FG⊥BE于点G
∵△ABE是等边三角形
∴BE＝AB＝，由（1）得30°
在Rt△BGF中， ∴BF＝ ∴EF＝2
∵△ABP≌△AEQ ∴QE＝BP＝ ∴QF＝QE＋EF
过点Q作QH⊥BC，垂足为H
在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：
22.．解：（1）图（1）中过B作BC⊥AP，交PA的延长线于点C，则PC＝40，又AP＝10，∴AC＝30.
在Rt△ABC 中，AB＝50 ，AC＝30，∴BC＝40 ，∴ BP＝，
∴S1＝；
图（2）中，过B作BC⊥AA′，交A′A的延长线于点C，则A′C＝50，又BC＝40，
∴BA′＝，
由轴对称知：PA＝PA′，∴S2＝BA′＝，
∴S1>S2.
（2）如 图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA′，∴MB+MA＝MB+MA′>A′B，∴S2＝BA′为最小.
（3）如图，过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.
过A′、 B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，A′B′＝，
∴所求四边形的周长为.
（图14）
（图9）
D
C
B
A
第6题
（图5）
（图10）
A
B
45°
60°
C
E
D
(第20题图)
图1
A
C
B
E
Q
F
P
图2
A
B
E
Q
P
F
C
（图22）
（图1）
（图2）
（图3）
（第22题答案图）
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魅力无限三角板教学反思
三角板是常见的画图工具,也是基本图形之一。随着新课改的深入展开,出现了一类以三角板为载体的中考题。而动态的三角板集代数、几何的多个知识点于一体,综合性较高,探究性较强，解决此类试题的主要策略是化动为静,抓住三角板在运动过程中暂时静止的某一瞬间,寻找图形与图形之间、变量与变量之间的关系,设法使问题变得具体和规范,以便从中觅得解决的途径。
本节课很好地体现《新课标》的理念，学生在猜想、操作、反思的课堂氛围下，完成整堂课，学生的学习兴趣很高，兴奋点贯穿了整节课。
1、创设了轻松，民主的课堂氛围。
素质教育也可以说是学生主体教育，要求教学过程是一个师生之间，生生之间的多边活动过程。课堂教学中，学生的积极有效参与是促进学生主体性发展，提高学生素质的重要保证和有效途径。在本节课的变式练习中：“用一副三角板可以直接得到30°，45°，60°，90°四种角。请你再拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数分别是_________________。”教师让学生充分发挥自己的意见，并引导学生进行实际操作，使学生之间形成一场辩论赛 ，让学生在民主的课堂氛围中理解了相交，把这节课推向了一个高潮。
2、设计了生活化，学以致用的练习。
教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值，学习数学知识，是为了更好地去服务生活，应用于生活，学习致用。因此，在设计练习时，教师设计了一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=450，∠BAC=300），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由。使学生体会点到直线的距离在生活中的用处，增强学习数学的兴趣。
3、组织了自由探索，合作交流的方式。
自由探索与合作交流是《数学新课标》中提出的学生学习数学的重要方式。教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多。在本节课的实施中的每一个学习活动，都试图以学生个性思维，自我感悟为前提多次设计了让学生自主探索，合作交流的时间与空间。通过学生和谐有效地互动，强化学生的自我意识，自我感情。
从心理学角度看“猜想”是一项思维活动，是学生有方向的猜测和判断，包含了理性的思考和直觉的判断；从学生的学习过程看，猜想应是学生有效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备，积极动机和情感，让每个学生在已有的知识经验能力水平和学习方法的基础上提出问题，并进行积极的猜想。这有助于提高学生的学习兴趣，活跃思维，促进智力的发展与提高。而只有猜想没有行动，那只能是空想，只有把猜想与探索实践紧密结合，可以产生猜想的良性循环。
O
A
C
B
l
D
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《魅力无限三角板》课件打印稿
第一张 第二张
第三张 第四张
第五张 第六张
第七张 第八张
第九张 第十
第十一张 第十二张
第十三张 第十四张
第十五张 第十六张
第十七张 第十八张
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中数学总复y
五中考
酒座单新常配电国
载有销发人，医生年儿量上P我以，F套买线人，中植装人用
(-t录维型上名号贵开项
#后式行重事金图甲U整当更能.E行夏代后量制重.全面质面发花E成重面才形，数去5人吴
线前羊整，单g数2灌名电于建先“广家化者见华电组其七P攻”黄羊g移
义务我普谋
教版)
父换一个苹果，各得个苹果
交换一种思规
各得两种思视
魅无限的三角板
探究以三角板为题材中考题
w
U
活动一、体验魅力
1.如图1所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角
顶点重合于O点，则∠AOB+∠DOC=180度。
B
B
图1
图2
2、
(河南)如图2，一块含有30角的直角三角形ABC,
在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位
置.若BC的长为15cm,那么顶点A从开始到结束所经过
的路径长为
(D)
A.10n cm
B.103πcm
C.15πcm
D、20πcm
活动一、体验魅力
·3、一副三角扳按如图3方式摆放，且∠1的度数比∠2
的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方
程组为(D)
·Ax=y-50
B
x=y+50
x+y=180
x+y=180
2
:x=y-50
D
x=y+50
x+y=90
x+y=90
图3
·4、把一副三角板如图4所示叠放
·在一起，则图中∠a的度
·数为(A)
●
A.75°
B.60°
C.65°
D.55°
图4
三角板中的知识
俗称：45°，45°，90°的三角形
俗称：30°，60°，90°的三角形
三角的度数之比1：1：2
三角的度数之比1：2：3
三边的长度之比1：1：2
三边的长度之比1：3：2
活动二、探索魅力
一、求角的度数
例1、将一副常规三角板拼成如图所示的图形，
则∠ABD=135
度
A
变式练习：用一副三角板可以直接得到30°，45
60°，90°四种角。请你再拼一拼，使用一副三
角板还能拼出哪些小于平角的角，这些角的度数
分别是15°，105°，75°，120°9150°登陆21世纪教育 助您教考全无忧
“学究式”学案导学
-------华南师范大学中山附属中学初中数学科组精品课程模块简介
一、“学究式”学案教学提出的理论依据
学案的提出源于新课改“以学生为本”的教学理念，理念更新是一切改革的关键和前提，教师只有转变观念，才能转变角色。时代要求教师在教学过程中不仅要考虑自己如何教，而且要更多地考虑到学生要如何学，这是新课改的精髓。所以课堂教学就是使他们亲身参与课堂教学，这样就真正确立了学生在课堂上的主体地位，给学生提供了学习的条件和机会，以学生的思维活动为主体，唤起了学生的主体意识，发挥了学生主动参与精神。学案导学是“以学生为本”理念的具体化。学案导学就是把教学的重心从研究教材的教法上转变到研究学生的学法上，促使教师进行角色转换。
二、“学究式”学案导学的定义与实施
学案导学：学案导学是以学案为载体，学生依据学案在老师指导下进行自主探究的教学活动。所谓“学案”说得通俗一点，就是专门给学生看和用的教案，它是学案的框架和细目，它是有待学生耕耘的田地。教师依据教案设计，编写出学案指导书，提供给学生，学生以个人或小组形式，一般利用课外时间，按照学案的具体要求进行预习（准备性学习）、新课学习、复习（巩固性学习）等学习活动。当学生按照学案指导书的要求完成了学习任务（作业）后，学案自然地就形成了。它的功能是：通过引导学生自主学习、自主探究，确保学生学习中主体地位的落实，实现学生学习的最大效益，最大限度地为师生“互动—探究”提供课堂时空。
三、“学究式”学案的优点
1、帮助学生系统全面地把握知识内容，克服盲目和片面，减少教材阅读和作业中的困难，有利于准确理解，提高学习效率。对学习新课作用尤其明显。学案好比半个家庭教师，能提供及时、关键的指导和人性化的服务。
2、教师可以方便、清楚地知道学生理解了什么，解决了哪些问题，不理解什么，存在什么问题和困难，从而使教学更具有针对性，效率更高。
3、为课堂教学提供丰富、具体的内容材料，师生互动的基础得以夯实，可操作性增强。来自学生的原味思想、观点、解释、解答、设计、作品、表现方式等，对提升教学生动性会产生可以预期的作用。
4、有利于学生掌握研究性学习方法，提高研究性学，培养良好的学习习惯。
5、为评价学生学业成就和评价教学状况提供方便、有效的手段和方法。
四、在实施过程中的体会和收获
1. 学案使学生的主动性大大地提高。学生使用学案后，逐渐养成了预习的习惯，学习新课前，先翻开学案，明确学习目标，然后完成课前练习，将不能解决的问题带进课堂，激发学生的求知欲。在课上，老师在明白学生“自学”情况，整个教学有目的地展开，整堂课学生学得主动，老师教得投入，课堂教学高效实用。
2．学案导学使学生尝到成功的快乐。现在上课前，学生已经打开学案开始静心思考。上课时，在“自学”的氛围中，五六分钟之后是激烈的讨论、探究，使各种疑点、难点呈现出来，为师生合作探究推出“前奏”，在二十多分钟的师生“合奏”中，师生互动，找出解决问题上存在的误区，以便回到正确的思路上来。在这一过程中，学生的“自展”是主旋律，课堂的激励使学生增强了参与的热情，课堂真的成了“学习”的阵地，而非教师“主讲”的殿堂。剩余的时间，下课后，学生又在“自评”中体验成功的快乐。
3．学案导学促进了教师成长。学案的设计，凝聚了学案设计教师的心血，一份学案从设计到编排，从讨论到修改，从定稿到学习方案，凝聚了学科组老师们的智慧，学科组全体老师尤其是学案负责人要付出大量心血，学案的生成过程就是教师团队形成的过程，教师在集体备课、相互研讨交流中提高。
最后，以上是我们初中数学组在学案导学实施中的收获、体会和认识。不当之处敬请领导和同行们批评、指正 。我们初中数学组教师以后将不断在实施中提高，在提高中实施。
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