人教新课标A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 单元练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 单元练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 412.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-27 21:03:48 | ||
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文档简介
人教新课标A版选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
一、单选题
1.已知 ， ，向量 在 方向上的投影是4，则 ＝( )
A. 8 B. 12 C. －8 D. 2
2.如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（ ）
A. θ≤60° B. θ≥30° C. θ≤45° D. θ≤75°
3.已知向量 ， ，则以 ， 为邻边的三角形 的面积（ ）
A. B. C. 2 D. 4
4.如图，在长方体 中，M，N分别是棱BB1 ， B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5.已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，平面 平面 ，二面角 ，已知 ， ，直线 与平面 ，平面 所成角均为 ，与 所成角为 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 恰好落在AB边上(如图乙)．设 二面角D-AP-B的余弦值为 ，则函数 的图象大致是（ ）
B.
C. D.
9.设A为平面 上一点，过点A的直线AO在 平面上的射影为AB，AC为 平面内的一条直线，令 ， ， ，则这三个角存在一个余弦关系： (其中 和 只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面 所成的角是 ，若直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，则直线l与直线m所成的角是（ ）
A. B. C. D.
10.正四面体 中， 在平面 内，点 是线段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线 与平面 所成角的余弦值不可能是（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题
11.向量 =(1，2，-1)， =(2，1，a)，若 ，则a=________.
12.在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为________.
13.已知矩形 ， ，沿 翻折，使面 ⊥面 ，则二面角 的余弦值为________．
14.若点M在平面 外，过点M作面 的垂线，则称垂足N为点M在平面 内的正投影，记为 .如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 不重合）， ， .给出下列三个结论：①线段 长度的取值范围是 ；②存在点 使得 平面 ；③存在点 使得 .其中正确结论的序号是________.
15.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔 分别为 ，正广 为 ， 平面 ，邪所在直线与平面 所成角的大小为 ．
16.在平面五边形 中, , , , ,且 .将五边形 沿对角线 折起,使平面 与平面 所成的二面角为 ,则沿对角线 折起后所得几何体的外接球的表面积是________.
17.斜线 与平面 成15°角，斜足为 ， 为 在 内的射影， 为 的中点， 是 内过点 的动直线，若 上存在点 ， 使 ，则 则的最大值是________，此时二面角 平面角的正弦值是________
18.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则三个角 、 、 中最小的角是________.
三、解答题
19.四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，点 为 的中点.
（1）求证：向量 、 、 共面；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20.如图，在四棱锥 ，底面 是平行四边形， ， 底面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为线段 的中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角.
21.如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， 是 的中点， ， .
（1）求证： 平面
（2）求点 到平面 的距离.
22.如图,在四棱锥 中, 底面 , , , , ,点 为棱 的中点.
（1）证明: ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（3）若 为棱 上一点,满足 ,求二面角 的余弦值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】解： 由题意知向量 在 方向上的投影是4，即 ，
则
故答案为：B
【分析】根据向量的投影，结合向量的数量积，直接求解即可.
2.【答案】 C
【解析】如图，作 底面 于点 ， 于 ，由几何关系可得， ， ，当 固定时， 也固定， 最小时应为 时，此时 与 重合，又因为VA⊥平面VBC，所以 ，所以 平面 ，易知 三点共线，因为VA与平面ABC所成的角为45°，故 , VA⊥平面VBC，所以 ,所以 ，此时 最大， 最大，故 .
故答案为：C
【分析】先分析出线面角取得最大值的条件，再求出线面角的最大值，即可得出答案。
3.【答案】 B
【解析】因为向量 ， ，
所以 ， ，
，
因此 ，
所以，以 ， 为邻边的三角形 的面积为 .
故答案为：B.
【分析】根据向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，先求出 ，以及向量的模，再得出 ，根据三角形面积公式，即可得出结果.
4.【答案】 D
【解析】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设 ,则 , ,
,
因为 ,所以 ,即有 .
因为 ,所以 ,即异面直线 和 所成角为 .
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，结合 ，求出 的坐标，利用向量夹角公式可求.
5.【答案】 A
【解析】 ， ， 与 的夹角为 ，
则 ，
，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 ，
是与向量 方向相同的单位向量，因此， 在向量 上的投影向量为 .
故答案为：A.
【分析】计算出向量 在向量 方向上的投影 的值，进而可得出 在向量 上的投影向量.
6.【答案】 C
【解析】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
7.【答案】 B
【解析】直线 与平面 ，平面 所成角均为 ，与 所成角为 ，而 ， ，又 ，可知： ，
若令二面角 为 ，作 于 ， 于 ；过 作 ，过 作 与 交于 点；
∴ 面 ，又 ， ，故面 ，面 ，即 ；
过 作 ，过 作 与 交于 点；
∴ 面 ，又 ， ，故面 ，面 ，即 ；
作 于 ， 于 ，连接 、 ，
即有 ，且 ；
∵ ，即 ，作 有四边形 为正方形，即 ，
∴ ，有 ，故 为等腰三角形且 ，
令 ， ，则 ，有 ，而 ，
∴ ， ，又 ，
∴ 当 时等号成立
故答案为：B
【分析】由题意知 ，作辅助线找到 ， 及二面角 ，四边形 为正方形进而得到 为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示 、 ，即有它们的等量关系，利用 结合二面角 ，即可求 的最大值；
8.【答案】 D
【解析】当 时，
作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，所以 ，
所以排除A、B；
当 时，
作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，
，排除C,
故答案为：D.
【分析】分别取 和 ，计算出二面角D-AP-B的余弦值为 和 ，对比图象得到结果.
9.【答案】 C
【解析】因为直线l与平面 所成的角是 ，直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，
所以由最小张角定理可得， ， ，
求直线l与直线m所成的角，即是求角 ，且 ，
由题意， ，所以 ，
因此 ，即直线l与直线m所成的角是 ，
故答案为：C.
【分析】利用线面角的求解方法结合射影的定义，从而结合已知条件求出直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，再利用最小张角定理可得， ， ，求直线l与直线m所成的角，即是求角 ，且 ， 由题意， ，所以 ，从而求出的值，进而求出直线l与直线m所成的角。
10.【答案】 A
【解析】解：考虑相对运动，让四面体 保持静止，平面 绕着 旋转， 其垂线也绕着 旋转，如右图，取 中点 ，连结 ，则 ，等价于平面 绕着 旋转，设正四面体 中棱长为2，在 中， ， ， ，
如下图示，
将问题抽象为如下几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 ，绕着圆锥的轴 旋转，显然 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则可得 .
故答案为：A
【分析】考虑相对运动，让四面体 保持静止，平面 绕着 旋转，其垂线也绕着 旋转，取 中点 ，连结 ，则 ，等价于平面 绕着 旋转，推导出 ，将问题抽象为几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 ，绕着圆锥的轴 旋转，则 ，由此能求出结果．
二、填空题
11.【答案】 4
【解析】 ， =(1，2，-1)， =(2，1，a)，
，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量垂直的性质直接求解即可。
12.【答案】
【解析】平面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】 在空间直角坐标系 中，已知 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值，再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
13.【答案】
【解析】因为 面 ， ，所以 面 ， ， ，所以 ，又 ，所以 为 的二面角平面角，所以 ．
故答案为: .
【分析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得 ,求得 ,再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断 为 的二面角平面角,最后在直角三角形BCD中由 即可求出答案.
14.【答案】 ①②
【解析】过 作 ，垂足为 ；
过 作 ，交 于M；
连接 ，交 于 ，如下图所示：
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， ，
平面 ，
， 平面 ，
平面 ， ，
即为 ；
四边形 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 平面 ， ， 平面 ，
， 即为 .
以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ， ， ， ，
对于①， ，
， ，
，①正确；
对于②， 平面 ，
平面 的一个法向量 ，
又 ，令 ，即 ，
解得： ， 存在点 ，使得 平面 ，②正确；
对于③， ， ，
令 ，方程无解，
不存在点 ，使得 ，③错误.
故答案为：①②.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法验证各个结论，即可得到结果.
15.【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ，延长 ，使得 (如图)，
由题意可得 ，则 ，
由题意知 ，
所以 ，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 又 ， , 平面
所以 平面
则 是直线 与平面 所成角的平面角，
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用 《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪，再利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出邪所在直线与平面 所成角的大小。
16.【答案】
【解析】由题意知, 是正三角形, 是矩形,
设 的中心为 ,矩形 的中心为 ,过 作垂直于平面 的直线 ,过 作垂直于平面 的直线 ,
由球的性质可知,直线 与 的交点 为几何体 的外接球的球心.取 的中点F,连接 ,易得 , , ,
连接 ,显然 与 全等,从而 , ,连接 ,则 为所求几何体外接球的半径,又 ,则 ,故所得几何体外接球的表面积为 .
故答案为: .
【分析】作出图形,取 的外心 ,矩形 的外心 ,分别过 、 作平面 和 的垂线,两垂线的交点即为几何体的外接球的球心,然后求出半径即可求出答案.
17.【答案】 2；
【解析】 ， 点 ， 在以 为弦长的圆上，
其中 为圆心，则 ，如图：
不妨设 ，当直线 过圆心 时，
最大，此时 ， ，
的最大值为2，
而此时， 为等腰三角形， ，
此时，过点 作 ，
，
平面 ，
是二面角 的平面角，
斜线 与平面 成15°角，即
在 中， ，
，
如图：
， ，
在 中， ，可求得 ，
在 中， ，
故答案为：2； 。
【分析】 ， 点 ， 在以 为弦长的圆上，
其中 为圆心，则 ，不妨设 ，当直线 过圆心 时，
最大，此时 ， ，从而求出 的最大值；而此时， 为等腰三角形， ，此时，过点 作 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，
平面 再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即 ， 是二面角 的平面角，再利用已知条件结合直角三角形中的正弦函数定义，从而求出此时二面角 平面角的正弦值 。
18.【答案】
【解析】作 交 于 ，
由于 ， ，所以 为正三棱锥，由对称性知 .取 中点 ，连接 ，作 平面 ，交平面 于 ，连接 .作 平面 ，交平面 于 ，连接 .作 ，交 于 ，连接 ，所以 .由于 ，所以 .由于 平面 ，所以 .由于 ， 平面 ，所以 .
.因为 ， 在 上， 平面 于 ， 平面 于 ，所以 .所以 .所以 .由于 都是锐角，所以 .
由于 在 上，由对称性 ，而 ，则 ，由于 也是锐角，所以 .
综上所述，三个角中的最小角是 .
故答案为： .
【分析】作出线线角 ，线面角 ，二面角 ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.
三、解答题
19.【答案】 （1）证明：取 的中点 ，连接 、 .
∵点 为 的中点，∴ ，且 ，
又 ， ，
∴ ，且 ，
∴四形边 为平行四边形，则 .
而 平面 ， 平面
∴ 平面 .
故向量 、 、 共面
（2）解：∵ ，∴ ，
而 ， ，
∴ 平面 ，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 .
如图，以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系
则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
不妨令 ，可得： .
设平面 的一个法向量为 ，同理可求得 ，
∴ .
∵二面角 为钝二面角，
∴二面角 的余弦值为
【解析】【分析】(1)由已知条件结合中点的性质，即可得出线线平行由此得到 四形边 为平行四边形 ，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)利用线面垂直的性质定理以及判定定理即可得出线面垂直，即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值即可。
20.【答案】 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，EF 面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC， ，
在平行四边形 中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且 ， 分别为 ， 的中点，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，
∵AP∩AC＝C，AP 面PAC，AC 面PAC，∴EF⊥面PAC
（2）解：连接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM与平面PAD所成的角，
等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝ AB＝2 ，∴AD＝2 ， ，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝ ，
又M为PD的中点，故 ，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝ ＝ ，
∴直线ME与平面PAD所成角的正切值为 ，所以直线 与平面 所成的角
【解析】【分析】（1）由题意得EF⊥AP，AB⊥AC， ， 分别为 ， 的中点，从而四边形ABEF为平行四边形，AB∥EF，进而AC⊥EF，由此能证明EF⊥面PAC．（2）连接AE，AM，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，从而AE⊥平面PAD，进而∠EMA是EM与平面PAD所成的角，由此能求出直线ME与平面PAD所成角．
21.【答案】 （1）在矩形 中，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 .
为 的中点
又 平面 ， 平面
平面
（2）方法一：
， 平面 ， 平面
平面
到平面 的距离等于 到平面 的距离
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又 平面
平面 平面
过 作 ，则 平面 即为所求.
在 中， ， ，解得 .
方法二：(等体积法)
设 到平面 的距离为
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又
.
【解析】【分析】 (1 )连接AC交BD于点O,则O为AC的中点，连接MO，由OM// PA,即可证明PA//平面MBD；
(2) 方法一： 可得D到平面P BC的距离等于A到平面PBC的距离，过A作AH⊥PB,则AH⊥平面PBC，AH即为所求；
方法二： 设 到平面 的距离为 ，根据等体积法即可求出。
22.【答案】 （1）依据题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 .
由 为棱 的中点,得 .
证明:向量 ,
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上,设 .
故 .
由 ,得 ,因此,
,解得 ,
则 .设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ,则
.
易知,二面角 是锐角,所以其余弦值为 .
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.
第三章 空间向量与立体几何
一、单选题
1.已知 ， ，向量 在 方向上的投影是4，则 ＝( )
A. 8 B. 12 C. －8 D. 2
2.如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（ ）
A. θ≤60° B. θ≥30° C. θ≤45° D. θ≤75°
3.已知向量 ， ，则以 ， 为邻边的三角形 的面积（ ）
A. B. C. 2 D. 4
4.如图，在长方体 中，M，N分别是棱BB1 ， B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5.已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，平面 平面 ，二面角 ，已知 ， ，直线 与平面 ，平面 所成角均为 ，与 所成角为 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 恰好落在AB边上(如图乙)．设 二面角D-AP-B的余弦值为 ，则函数 的图象大致是（ ）
B.
C. D.
9.设A为平面 上一点，过点A的直线AO在 平面上的射影为AB，AC为 平面内的一条直线，令 ， ， ，则这三个角存在一个余弦关系： (其中 和 只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面 所成的角是 ，若直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，则直线l与直线m所成的角是（ ）
A. B. C. D.
10.正四面体 中， 在平面 内，点 是线段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线 与平面 所成角的余弦值不可能是（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题
11.向量 =(1，2，-1)， =(2，1，a)，若 ，则a=________.
12.在空间直角坐标系 中，已知 ， ，则向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值为________.
13.已知矩形 ， ，沿 翻折，使面 ⊥面 ，则二面角 的余弦值为________．
14.若点M在平面 外，过点M作面 的垂线，则称垂足N为点M在平面 内的正投影，记为 .如图，在棱长为 的正方体 中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点（与 不重合）， ， .给出下列三个结论：①线段 长度的取值范围是 ；②存在点 使得 平面 ；③存在点 使得 .其中正确结论的序号是________.
15.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔 分别为 ，正广 为 ， 平面 ，邪所在直线与平面 所成角的大小为 ．
16.在平面五边形 中, , , , ,且 .将五边形 沿对角线 折起,使平面 与平面 所成的二面角为 ,则沿对角线 折起后所得几何体的外接球的表面积是________.
17.斜线 与平面 成15°角，斜足为 ， 为 在 内的射影， 为 的中点， 是 内过点 的动直线，若 上存在点 ， 使 ，则 则的最大值是________，此时二面角 平面角的正弦值是________
18.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则三个角 、 、 中最小的角是________.
三、解答题
19.四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ，点 为 的中点.
（1）求证：向量 、 、 共面；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20.如图，在四棱锥 ，底面 是平行四边形， ， 底面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为线段 的中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角.
21.如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， 是 的中点， ， .
（1）求证： 平面
（2）求点 到平面 的距离.
22.如图,在四棱锥 中, 底面 , , , , ,点 为棱 的中点.
（1）证明: ;
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（3）若 为棱 上一点,满足 ,求二面角 的余弦值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】解： 由题意知向量 在 方向上的投影是4，即 ，
则
故答案为：B
【分析】根据向量的投影，结合向量的数量积，直接求解即可.
2.【答案】 C
【解析】如图，作 底面 于点 ， 于 ，由几何关系可得， ， ，当 固定时， 也固定， 最小时应为 时，此时 与 重合，又因为VA⊥平面VBC，所以 ，所以 平面 ，易知 三点共线，因为VA与平面ABC所成的角为45°，故 , VA⊥平面VBC，所以 ,所以 ，此时 最大， 最大，故 .
故答案为：C
【分析】先分析出线面角取得最大值的条件，再求出线面角的最大值，即可得出答案。
3.【答案】 B
【解析】因为向量 ， ，
所以 ， ，
，
因此 ，
所以，以 ， 为邻边的三角形 的面积为 .
故答案为：B.
【分析】根据向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，先求出 ，以及向量的模，再得出 ，根据三角形面积公式，即可得出结果.
4.【答案】 D
【解析】以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设 ,则 , ,
,
因为 ,所以 ,即有 .
因为 ,所以 ,即异面直线 和 所成角为 .
故答案为：D.
【分析】建立空间直角坐标系，结合 ，求出 的坐标，利用向量夹角公式可求.
5.【答案】 A
【解析】 ， ， 与 的夹角为 ，
则 ，
，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 ，
是与向量 方向相同的单位向量，因此， 在向量 上的投影向量为 .
故答案为：A.
【分析】计算出向量 在向量 方向上的投影 的值，进而可得出 在向量 上的投影向量.
6.【答案】 C
【解析】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
7.【答案】 B
【解析】直线 与平面 ，平面 所成角均为 ，与 所成角为 ，而 ， ，又 ，可知： ，
若令二面角 为 ，作 于 ， 于 ；过 作 ，过 作 与 交于 点；
∴ 面 ，又 ， ，故面 ，面 ，即 ；
过 作 ，过 作 与 交于 点；
∴ 面 ，又 ， ，故面 ，面 ，即 ；
作 于 ， 于 ，连接 、 ，
即有 ，且 ；
∵ ，即 ，作 有四边形 为正方形，即 ，
∴ ，有 ，故 为等腰三角形且 ，
令 ， ，则 ，有 ，而 ，
∴ ， ，又 ，
∴ 当 时等号成立
故答案为：B
【分析】由题意知 ，作辅助线找到 ， 及二面角 ，四边形 为正方形进而得到 为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示 、 ，即有它们的等量关系，利用 结合二面角 ，即可求 的最大值；
8.【答案】 D
【解析】当 时，
作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，所以 ，
所以排除A、B；
当 时，
作 于 ，连结 ，
因为 平面 ，
所以 是二面角D-AP-B的平面角，
可以求得 ， ，
，排除C,
故答案为：D.
【分析】分别取 和 ，计算出二面角D-AP-B的余弦值为 和 ，对比图象得到结果.
9.【答案】 C
【解析】因为直线l与平面 所成的角是 ，直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，
所以由最小张角定理可得， ， ，
求直线l与直线m所成的角，即是求角 ，且 ，
由题意， ，所以 ，
因此 ，即直线l与直线m所成的角是 ，
故答案为：C.
【分析】利用线面角的求解方法结合射影的定义，从而结合已知条件求出直线l在 内的射影与 内的直线m所成角为 ，再利用最小张角定理可得， ， ，求直线l与直线m所成的角，即是求角 ，且 ， 由题意， ，所以 ，从而求出的值，进而求出直线l与直线m所成的角。
10.【答案】 A
【解析】解：考虑相对运动，让四面体 保持静止，平面 绕着 旋转， 其垂线也绕着 旋转，如右图，取 中点 ，连结 ，则 ，等价于平面 绕着 旋转，设正四面体 中棱长为2，在 中， ， ， ，
如下图示，
将问题抽象为如下几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 ，绕着圆锥的轴 旋转，显然 ，则 ，设 与平面 所成的角为 ，则可得 .
故答案为：A
【分析】考虑相对运动，让四面体 保持静止，平面 绕着 旋转，其垂线也绕着 旋转，取 中点 ，连结 ，则 ，等价于平面 绕着 旋转，推导出 ，将问题抽象为几何模型，平面 的垂线可视为圆锥的底面半径 ，绕着圆锥的轴 旋转，则 ，由此能求出结果．
二、填空题
11.【答案】 4
【解析】 ， =(1，2，-1)， =(2，1，a)，
，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量垂直的性质直接求解即可。
12.【答案】
【解析】平面 的一个法向量为 ， ，
所以 ，
∵ ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】 在空间直角坐标系 中，已知 ， ， 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的余弦值，再利用向量 与平面 的法向量的夹角的取值范围，进而结合同角三角函数基本关系式，从而求出向量 与平面 的法向量的夹角的正弦值。
13.【答案】
【解析】因为 面 ， ，所以 面 ， ， ，所以 ，又 ，所以 为 的二面角平面角，所以 ．
故答案为: .
【分析】分析翻折前后的变量与不变量,利用面面垂直的性质定理可得 ,求得 ,再利用二面角平面角的定义结合题中已知条件判断 为 的二面角平面角,最后在直角三角形BCD中由 即可求出答案.
14.【答案】 ①②
【解析】过 作 ，垂足为 ；
过 作 ，交 于M；
连接 ，交 于 ，如下图所示：
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， ，
平面 ，
， 平面 ，
平面 ， ，
即为 ；
四边形 为正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 平面 ， ， 平面 ，
， 即为 .
以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，
则 ， ， ， ， ，
对于①， ，
， ，
，①正确；
对于②， 平面 ，
平面 的一个法向量 ，
又 ，令 ，即 ，
解得： ， 存在点 ，使得 平面 ，②正确；
对于③， ， ，
令 ，方程无解，
不存在点 ，使得 ，③错误.
故答案为：①②.
【分析】建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法验证各个结论，即可得到结果.
15.【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ，延长 ，使得 (如图)，
由题意可得 ，则 ，
由题意知 ，
所以 ，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 又 ， , 平面
所以 平面
则 是直线 与平面 所成角的平面角，
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用 《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪，再利用已知条件结合线面角的求解方法，进而求出邪所在直线与平面 所成角的大小。
16.【答案】
【解析】由题意知, 是正三角形, 是矩形,
设 的中心为 ,矩形 的中心为 ,过 作垂直于平面 的直线 ,过 作垂直于平面 的直线 ,
由球的性质可知,直线 与 的交点 为几何体 的外接球的球心.取 的中点F,连接 ,易得 , , ,
连接 ,显然 与 全等,从而 , ,连接 ,则 为所求几何体外接球的半径,又 ,则 ,故所得几何体外接球的表面积为 .
故答案为: .
【分析】作出图形,取 的外心 ,矩形 的外心 ,分别过 、 作平面 和 的垂线,两垂线的交点即为几何体的外接球的球心,然后求出半径即可求出答案.
17.【答案】 2；
【解析】 ， 点 ， 在以 为弦长的圆上，
其中 为圆心，则 ，如图：
不妨设 ，当直线 过圆心 时，
最大，此时 ， ，
的最大值为2，
而此时， 为等腰三角形， ，
此时，过点 作 ，
，
平面 ，
是二面角 的平面角，
斜线 与平面 成15°角，即
在 中， ，
，
如图：
， ，
在 中， ，可求得 ，
在 中， ，
故答案为：2； 。
【分析】 ， 点 ， 在以 为弦长的圆上，
其中 为圆心，则 ，不妨设 ，当直线 过圆心 时，
最大，此时 ， ，从而求出 的最大值；而此时， 为等腰三角形， ，此时，过点 作 ， ，再利用线线垂直证出线面垂直，
平面 再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即 ， 是二面角 的平面角，再利用已知条件结合直角三角形中的正弦函数定义，从而求出此时二面角 平面角的正弦值 。
18.【答案】
【解析】作 交 于 ，
由于 ， ，所以 为正三棱锥，由对称性知 .取 中点 ，连接 ，作 平面 ，交平面 于 ，连接 .作 平面 ，交平面 于 ，连接 .作 ，交 于 ，连接 ，所以 .由于 ，所以 .由于 平面 ，所以 .由于 ， 平面 ，所以 .
.因为 ， 在 上， 平面 于 ， 平面 于 ，所以 .所以 .所以 .由于 都是锐角，所以 .
由于 在 上，由对称性 ，而 ，则 ，由于 也是锐角，所以 .
综上所述，三个角中的最小角是 .
故答案为： .
【分析】作出线线角 ，线面角 ，二面角 ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.
三、解答题
19.【答案】 （1）证明：取 的中点 ，连接 、 .
∵点 为 的中点，∴ ，且 ，
又 ， ，
∴ ，且 ，
∴四形边 为平行四边形，则 .
而 平面 ， 平面
∴ 平面 .
故向量 、 、 共面
（2）解：∵ ，∴ ，
而 ， ，
∴ 平面 ，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 .
如图，以 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系
则 ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
不妨令 ，可得： .
设平面 的一个法向量为 ，同理可求得 ，
∴ .
∵二面角 为钝二面角，
∴二面角 的余弦值为
【解析】【分析】(1)由已知条件结合中点的性质，即可得出线线平行由此得到 四形边 为平行四边形 ，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)利用线面垂直的性质定理以及判定定理即可得出线面垂直，即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值即可。
20.【答案】 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，EF 面ABCD，∴EF⊥AP，在△ABC中，AB＝AC， ，
在平行四边形 中，得∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，且 ， 分别为 ， 的中点，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，∴AC⊥EF，
∵AP∩AC＝C，AP 面PAC，AC 面PAC，∴EF⊥面PAC
（2）解：连接AE，AM，△ABC中，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴AE⊥PA，∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
∴AM是EM在平面PAD中的射影，∴∠EMA是EM与平面PAD所成的角，
等腰直角三角形ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝ AB＝2 ，∴AD＝2 ， ，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵PA＝4，∴PD＝ ，
又M为PD的中点，故 ，在Rt△MAE中，tan∠EMA＝ ＝ ，
∴直线ME与平面PAD所成角的正切值为 ，所以直线 与平面 所成的角
【解析】【分析】（1）由题意得EF⊥AP，AB⊥AC， ， 分别为 ， 的中点，从而四边形ABEF为平行四边形，AB∥EF，进而AC⊥EF，由此能证明EF⊥面PAC．（2）连接AE，AM，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，AE⊥PA，从而AE⊥平面PAD，进而∠EMA是EM与平面PAD所成的角，由此能求出直线ME与平面PAD所成角．
21.【答案】 （1）在矩形 中，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 .
为 的中点
又 平面 ， 平面
平面
（2）方法一：
， 平面 ， 平面
平面
到平面 的距离等于 到平面 的距离
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又 平面
平面 平面
过 作 ，则 平面 即为所求.
在 中， ， ，解得 .
方法二：(等体积法)
设 到平面 的距离为
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又
.
【解析】【分析】 (1 )连接AC交BD于点O,则O为AC的中点，连接MO，由OM// PA,即可证明PA//平面MBD；
(2) 方法一： 可得D到平面P BC的距离等于A到平面PBC的距离，过A作AH⊥PB,则AH⊥平面PBC，AH即为所求；
方法二： 设 到平面 的距离为 ，根据等体积法即可求出。
22.【答案】 （1）依据题意,以点 为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得 .
由 为棱 的中点,得 .
证明:向量 ,
故 .所以
（2）向量 .
设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
于是有 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）向量 .
由点 在棱 上,设 .
故 .
由 ,得 ,因此,
,解得 ,
则 .设 为平面 的法向量,
则 即
不妨令 ,可得 为平面 的一个法向量.
取平面 的一个法向量 ,则
.
易知,二面角 是锐角,所以其余弦值为 .
【解析】【分析】（1）利用空间向量的垂直关系即可判断线线垂直；
（2）利用空间向量直接求解线面角；
（3）利用空间向量直接求解二面角的平面角.