人教新课标A版选修2-1 综合测试（Word含答案解析）

人教新课标A版选修2-1
综合测试
一、单选题
1.下列关于命题的说法错误的是（ ）．
A. “ ”是“函数 最小正周期为 ”的充要条件
B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”
C. 命题“若随机变量 ， ，则 ”为真命题
D. 若命题 ， ，则 ，
2.P是双曲线 的右支上一点， 、 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3.过抛物线 ： 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，线段 ， 的中点在 轴上的射影分别为点 ， ，若 与 的面积之比为4，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线 ，则 是双曲线C的离心率大于 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数 ，使得 为 的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知双曲线 的左 右焦点分别为 ， 为坐标原点，点 是其右支上第一象限内的一点，直线 分别交该双曲线左 右支于另两点 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线 的焦点为 ， ，直线 交抛物线于 ， 两点，且 为 的中点，则p的值为（ ）
A. 3 B. 2或4 C. 4 D. 2
9.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ， 满足 ， 且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( )
B.
C. D.
10.已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ， ，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D. 8
11.已知 为坐标原点，抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ，若点 为抛物线 准线上的动点，给出以下命题：
①当 为正三角形时， 的值为2；②存在 点，使得 ；③若 ，则 等于3；④ 的最小值为 ，则 等于 或 .
其中正确的是（ ）
A. ①③④ B. ②③ C. ①③ D. ②③④
二、填空题
12.已知 ， ，若 ，且 与 反向，则 ________．
13.若双曲线 ＝1(a>0，b>0)与直线y＝ x无交点，则离心率e的取值范围是 ．
14.抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，则 的外接圆的方程为 ．
15.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为________．
16.已知 是椭圆 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，点P在线段AB上，则 的取值范围是 ________.
17.已知双曲线 ： 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
18.已知 ， 分别是双曲线 的左，右焦点，过点 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点 ，直线 与 轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接 ，若 的内切圆圆心恰好落在以 为直径的圆上，则 的大小为________；双曲线的离心率为________．
19.如图，在 中， ，点 为 的中点，点 为线段 垂直平分线上的一点，且 ，四边形 为矩形，固定边 ，在平面 内移动顶点 ，使得 的内切圆始终与 切于线段 的中点，且 在直线 的同侧，在移动过程中，当 取得最小值时，点 到直线 的距离为 ．
20.已知P是椭圆 上的动点， 是椭圆的左右焦点，O是坐标原点，若M是 的角平分线上一点，且 ，则 的取值范围是________．
三、解答题
21.已知椭圆 ： 经过 ，且椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设斜率存在的直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点， ，且 与圆心为 的定圆 相切.直线 ： （ ）与圆 交于 两点， .求 面积的最大值.
22.如图，矩形 中， ， ， 为 的中点，把 沿 翻折，满足 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
23.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，直线 与椭圆 相交于 两点；当直线 经过椭圆 的下顶点 和右焦点 时， 的周长为 ，且 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M为 内一点，O为坐标原点，满足 ，若点M恰好在圆 上，求实数m的取值范围.
24.已知圆C过点（4,1），（0,1），（2,3），过点 的直线与圆C交于M，N两点．
（1）若圆 ： ，判断圆C与圆 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】A. 时函数 最小正周期也为 ，故错误；
B. 根据逆否命题的定义知 正确；
C. 根据正态分布的对称性知 正确；
D. 根据特称命题的否定得到 正确.
故答案为：
【分析】函数 最小正周期为 得到 ，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到 正确.
2.【答案】 C
【解析】
，
故答案为：C。
【分析】利用利用双曲线与两圆的位置关系，再利用几何法结合已知条件求出 的最大值。
3.【答案】 D
【解析】解：当点A在第一象限，点B在第四象限时，
抛物线 ： 的焦点 为 ，由于直线 过点 ，
设直线 的方程为 ，
因为 ，
所以 ,同理 .
因为 ,
同理 ,
所以 ,
∴ ，又 ，
∴ ，
设直线 的倾斜角为 ，
则 ，由抛物线的焦点弦推论可得 ， ，
所以 ，故 ，所以 ，则 ，
当点A在第四象限，点B在第一象限时， ，
故答案为：D.
【分析】 由已知求出直线AB的方程，画出图象，再根据三角形相似得出 ， 则由抛物线的性质可得 ， 设出直线AB的倾BB'斜角，根据抛物线的焦点弦的性质可得： ， 由此 ， 由此即可求解.
4.【答案】 A
【解析】以线段 为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ，
直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，
整理可得 ，即 即 ，
从而 ，则椭圆的离心率 ，
故答案为：A.
【分析】首先由已知条件得出圆心坐标为原点，半径为r由此得出圆的方程，再根据题意由直线与圆相切的性质即可得出 ， 整理得到由离心率的公式代入数值计算出结果即可。
5.【答案】 A
【解析】解：因为双曲线 ，若 ，则 ， ， ，所以 ，故充分性成立；
若 ，则 ， ， ，所以 ，故必要性不成立；
故 是双曲线C的离心率大于 的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得；
6.【答案】 C
【解析】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
③：因为当三角形一个内角为 ，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；
④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，不是存在性命题,
因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题.
故答案为：C
【分析】根据存在性命题的定义进行判断即可.
7.【答案】 A
【解析】由题意， ， ， ， .
连接 、 ，根据双曲线的对称性可得 为平行四边形，
， ，
由余弦定理可得 ， ， ，
故答案为：A.
【分析】利用定义求出 ， ， 根据双曲线的对称性可得 为平行四边形，从而得出在内使用余弦定理可得出a与c的等量关系，从而得出双曲线的离心率。
8.【答案】 B
【解析】设 ， ，
，
两式相减得 ，
，
为 的中点，
，
代入 ，
解得 或p=4,
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点F的坐标，再利用两点F和M求出直线FM的两点式方程，再利用 直线 交抛物线于 ， 两点，联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出中点M的坐标，再利用已知条件点M的坐标，从而求出p的值。
9.【答案】 C
【解析】由得为等腰三角形，底边为因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以而， 因此双曲线的渐近线方程为， 选C
10.【答案】 D
【解析】由题意得： ，设椭圆方程为 ，
双曲线方程为 ，
又∵ .
∴ ，∴ ，
则

，当且仅当 ，
即 时等号成立.
则 的最小值为8.
故答案为：D.
【分析】由题意可得 ，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得 的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
11.【答案】 A
【解析】对于①，当 为正三角形时，如下图所示，
抛物线的准线交 轴于 ，
,由抛物线定义可知 ，则 与准线垂直，
所以 ，
则 ，所以 ,
而 ，即 ，所以①正确；
对于②，假设存在 点，使得 ，即 ，
所以 点为 的中点，
由抛物线图像与性质可知， 为抛物线上一点， 为焦点，线段 在 轴右侧，
点 在抛物线 准线上，在 轴左侧，因而 不可能为 的中点，所以②错误；
对于③，若 ，则 ，作 垂直于准线并交于 ，准线交 轴于 ，如下图所示：
由抛物线定义可知 ，
根据相似三角形中对应线段成比例可知 ，即 ，
解得 ，所以③正确；
对于④，作 关于准线的对称点 ，连接 交准线于 ，作 垂直于准线并交于 ，作 垂直于 轴并交于 ，如下图所示：

根据对称性可知，此时 即为 的最小值，
由抛物线定义可知 ，所以 的横坐标为 ，
代入抛物线可知 ，
的最小值为 ， ，
则 ，即 ，
化简可得 ，即 ，
解得 或 ，所以④正确；
综上所述，正确的为①③④.
故答案为：A.
【分析】对于①可知，当 为正三角形时 与准线垂直，画出图形结合几何关系即可求得 的值；对于②根据向量关系可知 ，结合点的位置即可判断；对于③，作出几何图形，根据线段比例关系即可求得 的值；对于④，作 关于准线的对称点 ，连接 交准线于 ，可知 即为 的最小值，根据线段几何关系及最小值即可求得 的值.
二、填空题
12.【答案】
【解析】解：∵ ，且 与 反向，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，∴解得 ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据题意可设 ，且 ，然后可得出 ，根据 解出 ， 即可得出 的值.
13.【答案】 (1,2]
【解析】因为双曲线的渐近线为y＝± x ， 要使直线y＝ x与双曲线无交点，则直线y＝ x应在两渐近线之间，所以有 ≤ ，即b≤ a ， 所以b2≤3a2 ， c2－a2≤3a2 ， 即c2≤4a2 ， e2≤4，所以1【分析】利用双曲线的标准方程求出渐近线方程，要使直线y＝ x与双曲线无交点，则直线
y＝ x应该在两渐近线之间，所以有 ≤ ，即b≤ a ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式求出a,c的不等关系，再利用双曲线的离心率公式变形，进而求出双曲线离心率e的取值范围。
14.【答案】
【解析】由抛物线方程可知：准线方程为 ，
设
由抛物线定义可知： 垂直于准线，可得：
又 ，可得：
解得： ，
当 时， ，
为等边三角形 外接圆圆心与重心重合
外接圆圆心坐标为： ，即
外接圆半径为：
同理可得：当 时，圆心坐标为 ，半径为
外接圆方程为：
本题正确结果：
【分析】首先根据抛物线方程得出准线方程，再根据抛物线定义得出点P,M的坐标，从而得出外接圆圆心坐标和外接圆半径，同理得出圆心坐标和半径，进而得出外接圆方程。
15.【答案】
【解析】解： 双曲线 经过点 ,
,
解得 ,即 ．
又 ,故该双曲线的准线方程为： ．
故答案为： ．
【分析】代入 求解得 ,再求准线方程即可.
16.【答案】
【解析】由 是椭圆 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 ， ，设 ，因为点P在线段AB上，所以， ，
故答案为 .
【分析】根据椭圆方程，写出点的坐标，表示相应的向量，结合平面向量的数量积运算，转化成二次函数，即可求出相应的取值范围.
17.【答案】
【解析】因为双曲线 ： 的离心率为 ，
所以 ，
解得 ，又双曲线的焦点在x轴上，
所以双曲线 的渐近线方程为
故答案为：
【分析】 由双曲线的离心率,利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出b，a的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程.
18.【答案】 ；
【解析】如图所示：不妨取渐近线 ，易知 ，（否则不能与右支相交）.
则直线 为： ，即 ，
设内切圆圆心为 ，根据对称性知 在 轴上，
的内切圆圆心恰好落在以 为直径的圆上，故 ，故 ，
到直线 的距离为： ，
设直线 ： ，即
到直线 的距离为： ，
化简整理得到 ，解得 或 ，
当 时，直线 与 的交点横坐标为 ，不满足题意，舍去.
故直线 ： ，故 ， ，
联立方程得到 ，解得 ，
代入双曲线方程得到： ，化简整理得到： ，故 .
故答案为： ； .
【分析】如图所示：不妨取渐近线 ，易知 ，设内切圆圆心为 ，根据对称性知 在 轴上，得到 ，根据距离相等得到直线 ： ，联立方程得到 ，代入双曲线方程，计算得到答案
19.【答案】
【解析】设内切圆分别与AC,BC切于点F,G，BE的中点为H，则 ，所以 .
∴点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上．
以AB所在的直线为x轴，以ED所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(2,0)，D(0,3)，易得 ，故点C在双曲线 的右支上．
∵ ,所以当 三点共线时，且C在线段BD上时， 取得最小值．
将直线 的方程 与 联立消去y整理得 ，解得 ．结合图形可得 取得最小值时点C的横坐标为 ，即点C到AH的距离为 ．
答案：
【分析】根据题意由已知条件结合双曲线的定义即可得出，点C在以A,B为焦点的双曲线的右支上，由此作出图象，利用数形结合法即可得出当 三点共线时，且C在线段BD上时， 取得最小值，联立直线与双曲线的方程求的取得最小值时点C的横坐标，由此即可得出答案。
20.【答案】
【解析】由题意,设 是第二象限的点,作出图形(见下图),
设 与直线 交于点 ,
因为 ,所以 ,
又M是 的角平分线上一点，
则 , ,
故 是 的中位线,
则 ，
是椭圆上的动点，则 ,
在椭圆 中, ,
又 , ,
则 ,
则 , ,
又因为椭圆中 ,所以 ,
故 ,即 ，
故答案为: .
【分析】设 是第二象限的点并作出图形,设 与直线 交于点 ,易得 ,再结合椭圆中 , ,可得 ,由椭圆中 ,即可求出 的取值范围.
三、解答题
21.【答案】 （1）解：因为 经过点 ，所以 ，
又椭圆 的离心率为 ，所以
所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设设 ， 的方程为
由 ，得 ，
所以
因为 ，
所以
整理得 ，
所以 到 的距离为 ，
所以直线 恒与定圆 相切，即圆 的方程为
又 到 的距离为 ，所以 ，且 ，所以 ，
因为 到 的距离为 ，
所以
，当且仅当 即 时取“=”
所以 面积的最大值为 .
【解析】【分析】(1)首项根据题意把点的坐标代入到椭圆的方程即可求出b的值，进而求出椭圆的离心率以及a的值从而得出椭圆的方程。
(2)根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程消去y的关于x的一元二次方程，结合韦达定理即可求出关于m和k的两根之和与两根之积的代数式，再由向量垂直的坐标公式把上式代入即可得到关于m和k的第二个代数式求解出 ， 然后由点到直线的距离公式以及直线与圆相切的性质得到 到 的距离为 以及 到 的距离为 ，结合三角形的面积公式以及基本不等式即可求出结果。
22.【答案】 （1）证明：由已知可得 ， ，在 中，满足
∴
∵ ，且 ， 、 平面 ，∴ 平面
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 ，取 中点 ，连接 ，
∴ ，过 作 交 于 点，连接 、 ，
∵平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ，又 ，
∴ 平面 ，
∴ ，
所以 即为所求的二面角的平面角，
由 ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ∴二面角 的余弦值为 .
法二：(向量法)取 的中点 ，连接
∵ ∴ ∵平面 平面 ，
平面 平面 ，
∴ 平面 ，
如图所示，以 为坐标原点，
以 ， 分别为 ， 轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，则
， ，
∴ ，
设 为平面 的法向量，有
不妨令 ，则 ， ，
∴ ，
而平面 的其中一个法向量显然为
二面角 的余弦值为 .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 ，得 平面 ， 根据面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；
（2） 法一：(几何法)如图所示，连接 ， 取 中点 ， 连接 ， 得 ， 即为所求的二面角的平面角， ；
法二：(向量法) 以 ， 分别为 ， 轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面 的其中一个法向量，利用向量法可求出二面角 的余弦值.


23.【答案】 （1）解：由题意知 .
，
直线 的方程为
∵直线 与椭圆 的另一个交点的横坐标为
解得 或 (舍去)
，
∴椭圆 的方程为
（2）解：设
.
∴点 为 的重心，
∵点 在圆 上，
由 得
，
代入方程 ，得
，
即
由 得
解得 .
或
【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为 ，从而求出 ，写出直线 的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为 ，求出 和 ，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由 可知点 为 的重心，根据重心坐标公式和韦达定理，利用 求得 的范围，即可求出实数 的取值范围.
24.【答案】 （1）解：设圆C： ，则 解得 ， ， ，
故圆C： ，即 ，
即圆心 ，半径 ，
又圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
而 ，故圆C 与圆 外切
（2）解：当直线 与x轴重合时，令 ，得 ， ，则可得 ，不符合题意，
设直线 ： ，将 代入圆C的方程可得 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ，且 ，故 ，解得 或 ，
圆心 到直线 的距离 ，故
【解析】【分析】（1）设圆C： ，代入点的坐标得到方程组即可求出圆C的方程，再求出两圆圆心距即可判断两圆的位置关系；（2）当直线 与 重合时，不符题意；设直线 ： ，将 代入圆C的方程可得 ，设 ， ，由 ，且 ，故 ，即可求出 ，再利用垂径定理、勾股定理计算可得。