一、填空题
1．已知f(x)＝
则f()的值为________．
解析：∵f(4)＝＝2，∴＝.
∴f()＝f()＝2×－1＝0.
答案：0
2．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，
则F(x)＝kx＋.
由F()＝16，F(1)＝8，
得解得
所以F(x)＝3x＋.
答案：F(x)＝3x＋
3．已知函数f(x)满足下表
x 1 2 3 4
f(x) 0 3 2 1
则f(f(4))＝__________.
解析：由表可知，f(4)＝1，∴f(f(4))＝f(1)＝0.
答案：0
4．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当0≤x<1时，f(x)＝2x2∈[0,2)；当1≤x<2时，
f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.
答案：{y|0≤y≤2或y＝3}．
5．若函数y＝f(x)的图象经过点(1,3)，则函数y＝f(－x)＋1的图象必过的定点的坐标是________．
解析：∵y＝f(x)过点(1,3)，∴y＝f(－x)过点(－1,3)．
∴y＝f(－x)＋1的图象必定经过点(－1,4)．
答案：(－1,4)
6．(2011·江苏高考改编)已知实数a<0，函数f(x)＝若f(1－a)＝
f(1＋a)，则a的值为________．
解析：∵a＜0，∴1－a>1，a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－，符合题意．
答案：－
二、解答题
7．已知f(x)＝且f(a)＝3，求a的值．
解：按a≤－1，－1
①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．
②当－1由2a＝3，得a＝，满足－1③当a≥2时，f(a)＝，由＝3，得a＝±，
又a≥2，∴a＝，
综上可知，a的取值为或.
8．已知f(x)＝|x|(x－4)．
(1)把f(x)写成分段函数的形式；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)利用图象回答：当k为何值时，方程|x|(x－4)＝k有一解？有两解？有三解？
解：(1)f(x)＝
(2)图象如图．
(3)方程的解的个数即为函数y＝|x|(x－4)与y＝k图象的交点个数．
结合图象可知当k>0或k<－4时，方程有一解．
当k＝0或k＝－4时，方程有两解．
当－49．心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，(f(x)值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力及13 min时间，老师能否及时地在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×(x－13)2＋59.9.
最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59.
当16＜x≤30时，f(x)＜－3×16＋107＝59.
所以开讲后10 min学生达到最强的接受能力，并能维持6分钟．
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5.
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．
所以开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则
－0.1×(x－13)2＝－4.9.
得x＝20或x＝6，但0＜x≤10，故x＝6.
又16＜x≤30时，令f(x)＝55，则
－3x＋107＝55，得x＝17.
所以学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11＜13，所以老师不能在学生一直达到所需状态下讲完这道难题．一、填空题
1．已知函数f(x)＝－x2－x，x∈[－2，1]，则函数f(x)的最大值为______，最小值为________．
解析：f(x)＝－(x＋)2＋在[－2,1]上的图象如图所示．由图象知，
f(x)max＝f(－)＝，
f(x)min＝f(－2)＝f(1)＝－2.
答案： －2
2．若函数f(x)＝(p－2)x2＋(p－1)x＋2是偶函数，则函数f(x)的单调递减区间是________．
解析：∵函数f(x)为偶函数，∴p－1＝0即p＝1.
∴f(x)＝－x2＋2.∴f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
3．函数f(x)＝(k>2)在区间[1,3]上有最大值3，则k＝__________.
解析：∵k>2，∴f(x)在[1,3]上单调递减，∴x＝1时，f(x)max＝f(1)＝k－2，令k－2＝3得k＝5符合k>2.
答案：5
4．函数f(x)满足：f(x＋1)＝x(x＋3)，x∈R，则f(x)的最小值为__________．
解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)(t＋2)＝t2＋t－2，
即f(x)＝x2＋x－2＝(x＋)2－.
∴f(x)在x＝－时取最小值－.
答案：－
5．函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上有最小值__________，最大值__________．
解析：f(x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0.
答案：－2 0
6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是__________．
解析：∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
∴f(0)＝f(2)＝3.
又∵m>0，∴m∈[1,2]．
答案：[1,2]
二、解答题
7．求函数y＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．
解：由已知得y＝(x－a)2－1－a2，
(1)当a<0时，[0,2]是函数的递增区间，见图(1)．
故函数在x＝0时，取得最小值－1，在x＝2时取得最大值3－4a.
(2)当0≤a≤1时，结合函数图象(见图(2))知，
函数在x＝a时取得最小值－a2－1.
在x＝2 时取得最大值3－4a.
(3)当1＜a≤2时，结合图象(见图(3))知，
函数在x＝a时取得最小值－a2－1，
在x＝0时取得最大值－1.
(4)当a>2时，[0,2]是函数的递减区间，见图(4)．
函数在x＝0时取得最大值－1，
在x＝2时取得最小值3－4a.
综合上述ymax＝
ymin＝
8．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得
解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋，当且仅当x＝100时，f(x)max＝.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
9．已知函数f(x)＝.
(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数．
(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．
解：(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为10，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．
(2)由(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数．
所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值，
在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值.一、填空题
1．若函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由条件知，Δ＝(－2)2－4a>0，解得a<1.
∴实数a的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
2．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是________．
解析：由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.
∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx(x＋)，由g(x)＝0得
x＝0或x＝－.
∴g(x)的零点是0和－.
答案：0和－
3．(2012·北京高考改编)函数f(x)＝x－的零点个数为________．
解析：因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定义域内有唯一零点．
答案：1
4．已知方程ax＝x＋a(a>0且a≠1)有两解，则a的取值范围为________．
解析：如图．当01时y＝ax与y＝x＋a的图象必存在两个交点，故a>1.
答案：(1，＋∞)
5．(2011·新课标高考改编)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．
①(－，0) ②(0，)
③(，) ④(，)
解析：因为f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，
所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(，)．
答案：③
6．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围为__________．
解析：∵函数f(x)的图象开口向上，又两个零点分别在1的两侧，∴f(1)＝1＋(a－1)＋(a－2)<0，
即2a－2<0.∴a<1.
答案：(－∞，1)
二、解答题
7．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x＋7；
(2)f(x)＝2x2－5x＋1；
(3)f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)．
解：(1)令f(x)＝2x＋7＝0，解得x＝－.
∴函数的零点为x＝－.
(2)令f(x)＝2x2－5x＋1＝0，解得
x1＝，x2＝.
∴函数的零点为x1＝，x2＝.
(3)令f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝－3，x2＝2，x3＝1.∴函数的零点为
x1＝－3，x2＝2，x3＝1.
8．已知函数f(x)＝ax2－(a＋3)x＋4.若y＝f(x)的两个零点为α，β，且满足0<α<2<β<4，求实数a的取值范围．
解：∵函数y＝f(x)的两个零点是α，β，且α<β，
则当a＝0时，显然不可能有两个不同零点．
则应有 ①
或 ②
解①得综上可知，a的取值范围为{a|9．已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数．
(1)试讨论当m取任意实数时，这个二次函数的零点个数，并证明你的结论；
(2)若这个二次函数有两个零点x1，x2，且x1，x2的倒数和为，求二次函数的解析式．
解：(1)记二次函数对应的方程为x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0，
则Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)
＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12＝16>0，
∴方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0必有两个不相等的实数根，
即不论m取何值，这个二次函数必有两个零点．
(2)依题意，x1，x2是方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3.
又＋＝，即＝，
∴＝，①
解之得m＝0或m＝5.
经检验m＝0或m＝5都是方程①的解．
故所求二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.一、填空题
1．(2011·江苏高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
解析：由题意得A∩B＝{－1,2}．
答案：{－1,2}．
2．如图，全集为U，M和N都是U的子集，则图中阴影部分可以表示为________．
解析：由题图可知，其阴影部分中的元素属于集合N，但不属于集合M，所以应表示为M在全集U中的补集与N的交集，即( UM)∩N.
答案：( UM)∩N
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，集合A∪B＝U，集合A∩B＝ ，则 UB＝________.
解析：由已知得：B＝{4,5}，∴ UB＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x>4}，那么集合A∩( UB)等于________．
解析：由题意可得， UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩( UB)＝{x|－1≤x≤3}．
答案：{x|－1≤x≤3}
5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠ ，则k的取值范围是________．
解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－}，
且M∩N≠ ，所以－≥－3 k≤6.
答案：(－∞，6]
6．已知x∈R，集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3,2x－1，x2＋1}，如果A∩B＝
{－3}，则A∪B＝________.
解析：∵A∩B＝{－3}，
∴x－3＝－3或2x－1＝－3或x2＋1＝－3.
①x－3＝－3时，x＝0.
这时A＝{－3,0,1}，B＝{－3，－1,1}，
∴A∩B＝{－3,1}，与题意不符合．
②当2x－1＝－3时，x＝－1.
这时A＝{－3,1,0}，B＝{－4，－3,2}，
与题意相符，且A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．
③当x2＋1＝－3时无解．
故A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．
答案：{0,1,2，－3，－4}
二、解答题
7．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2，或x>4}，求A∩B，( RA)∪( RB)，并将结果用区间表示．
解：A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x＜－2，或x＞4}
＝{x|－5≤x＜－2}，
∴A∩B用区间表示为[－5，－2)．
RA＝{x|x<－5，或x>3}， RB＝{x|－2≤x≤4}．
∴( RA)∪( RB)＝{x|x<－5，或x>3}∪{x|－2≤x≤4}＝{x|x＜－5，或x≥－2}．∴( RA)∪( RB)用区间表示为(－∞，－5)∪[－2，＋∞)．
8．设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B.
解：∵A∩B＝{}，
∴∈A且∈B，
∴是方程2x2－px＋q＝0与6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的根，
∴
∴
∴A＝{－4，}，B＝{，}．
∴A∪B＝{－4，，}．
9．设集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求a，b，c的值．
解：因为A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B，
将x＝－3代入方程x2＋ax－12＝0中，
得a＝－1，从而A＝{－3，4}．
又A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，A≠B，
所以B＝{－3}．
所以所以
故a＝－1，b＝6，c＝9.一、填空题
1．在“①高一数学课本中的难题；②抛物线y＝x2－x＋1上所有的点；③方程x2＋2＝0的实数解”中，能够表示成集合的是________．
解析：构成集合的对象必须具有确定性，由于高一数学课本中的难题不确定，故①不能构成集合，②③具有确定性，可构成集合．
答案：②③
2．若1∈{x，x2}，则x＝__________.
解析：当x＝1时，x2＝1，与集合的互异性矛盾，∴x≠1；
当x2＝1时，x＝±1，根据互异性知x＝－1.
答案：－1
3．用符号“∈”或“ ”填空：
(1)0__________N*，__________Z；
(2)2__________{x|x<}，
3__________{x|x>4}，
(3)(－1,1)__________{y|y＝x2}．
(－1,1)__________{(x，y)|y＝x2}．
解析：(1)0 N*， Z；
(2)中；∵(2)2>()2，∴2>.
∴2 {x|x<}；
∵(3)2>42，即3>4，∴3∈{x|x>4}；
(3)中，(－1,1)为点，{y|y＝x2}中元素为数，
故(－1,1) {y|y＝x2}．
又∵(－1)2＝1，∴(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
答案：(1) ， ；(2) ，∈；(3) ，∈
4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________.
解析：因为|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，所以B＝{0,1,2}．
答案：{0,1,2}
5．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________．
解析：由题意知－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
则解得
∴a＋b＝－3.
答案：－3
6．定义集合A*B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2}，则A*B中所有元素之和为________．
解析：由题意知A*B＝{1，－1,2,0}，则A*B中所有元素之和为1－1＋2＋0＝2.
答案：2
二、解答题
7．已知A＝{1,2，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，如果A＝{1,2,3},2∈B，求实数a的值．
解：由A＝{1,2，x2－5x＋9}＝{1,2,3}，知x2－5x＋9＝3，解得x＝2或x＝3，又2∈B，则x2＋ax＋a＝2，
当x＝2时，a＝－，
当x＝3时，a＝－.
故a＝－或－.
8．用适当的方法表示下列集合．
(1)A＝{x|∈N，x∈N}；
(2)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(3)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(4)坐标平面内抛物线y＝x2－1上的点的集合．
解：(1)∵∈N，x∈N，
∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
(2)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴或或，
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(3)由3x－8≥7－2x可得：x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(4){(x，y)|y＝x2－1}．
9．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
解：由得a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
由得2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0，
∴2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又∵x≠1，
∴x＝－.
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－.一、填空题
1．已知：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)________．
(1)y＝a＋ (2)y＝a＋bx
(3)y＝a＋logbx (4)y＝a·bx
解析：由表知x可以取“0”，排除(1)、(3)，
对于(2)：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02.b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确．
答案：(4)
2．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过________年，剩留的物质是原来的.
解析：先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝()2，…，那么经过x年，则y＝()x.依题意得()x＝，解得x＝3.
答案：3
3．某座高山，从山脚开始，海拔每升高100米气温就降低0.7℃，已知山顶温度是
14.1℃，山脚的温度是26℃，则这座山的相对高度是________．
解析：由题意知，山高h(百米)与气温T(℃)为一次函数关系，则T＝－0.7h＋b，
当h＝0时，T＝26℃，∴b＝26，即T＝－0.7h＋26.当T＝14.1℃时，h＝17(百米)．
∴此山的相对高度为1 700米，也可直接得h＝＝17(百米)＝1 700(米)．
答案：1 700米
4．(2011·北京高考改编)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15①，
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16.
答案：60，16
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析：依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润
S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，
Smax＝45.6(万元)．
答案：45.6(万元)
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1＋)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln(1＋)＝12 000，
∴ln(1＋)＝6，
∴＝e6－1.
答案：e6－1
二、解答题
7．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？
解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，租赁公司的月收益为f(x)＝(100－)·(x－150)－×50
＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050元．
答：当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
8．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解：(1)对甲茶具店而言：当茶社购买这种茶壶个数0≤x≤18时，每个售价为80－2x元，当茶社购买这种茶壶x≥19时，每个售价为44元，则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80×75%＝60元．
则y2与x之间的函数关系式为：
y2＝60x(x≥0，x∈N*)
(2)当0≤x≤18时，
令y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x>0 2x(x－10)≤0 或解之得0≤x≤10.
当x≥19时，y1＝44x所以，茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
9．医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
天数x 病毒细胞总数y
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
解：(1)由题意病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y＝2x－1(其中x∈N*)，
则由2x－1≤108，两边取常用对数得(x－1)lg 2≤8，从而x≤＋1＝27.58.
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x，
由题意226×2%×2x≤108，
两边取常用对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.5.
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上．)
1．函数y＝lg(x2＋1)的值域是__________．
解析：∵u＝x2＋1≥1，∴y＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0.
∴y∈[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
2．函数y＝的定义域是________．
解析：∵3x－1≥0，∴3x≥1＝30.
∴x≥0，定义域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
3．函数f(x)＝lg(－1解析：∵f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，
又－1∴f(x)＝lg的图象关于(0，0)对称．
答案：(0，0)
4．已知函数①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x，则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是________．
解析：根据指数函数，对数函数和幂函数的图象可知，从左至右依次对应④y＝x，③y＝x－1，①y＝2x，②y＝log2x.
答案：④③①②
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋a(a为常数)，则f(－1)＝__________．
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝20＋0＋a＝0，
则a＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1－1)＝－2.
答案：－2
6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－1的图象不过原点，则实数m的值是__________．
解析：∵函数为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m＝1或2.
当m＝1时，m2－m－1＝－1；m＝2时，m2－m－1＝1.又∵图象不过原点，∴m2－m－1＝－1即m＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝的定义域为M，函数g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝________．
解析：∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－1答案：(－1，1)
8．函数y＝()x2－3x＋2的增区间是________．
解析：原函数由y＝()u，u＝x2－3x＋2复合而得，
∵y＝()u是减函数，u＝x2－3x＋2在(－∞，]上是减函数．
∴由复合函数的单调性得其增区间是(－∞，]．
答案：(－∞，]
9．已知函数f(x)的图象是不间断的，有如下的x，f(x)对应值：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数f(x)存在实数解的区间有________个．
解析：由表可知：f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)f(7)<0，所以函数f(x)存在实数解的区间有4个．
答案：4
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，那么，f(log2)＝________．
解析：log2＝－log23，∴f(log2)＝f(－log23)
＝－f(log23)＝－2log23＝－3.
答案：－3
11．关于x的方程()|x|＝a＋1有解，则a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝()|x|，其图象如图所示，∴0∴0答案：(－1，0]
12．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区成立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物数量y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则到2016年时，预测麋鹿的数量约为________．
解析：由题意，alog22＝100，∴a＝100，
∴y＝f(x)＝100log2(x＋1)，
∵2016年是第31年，∴f(31)＝100log232＝500.
答案：500
13．已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
解析：∵f(x)在[0，1]上为单调函数，∴最值在区间的两个端点处取得，∴f(0)＋f(1)＝a，
即a0＋loga(0＋1)＋a1＋loga(1＋1)＝a，解得a＝.
答案：
14．设f(x)为定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上为增函数，且f()＝0则不等式f(log8x)>0的解集为__________．
解析：由条件可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，
且f(－)＝f()＝0.
∴f(x)>0的解集为x>或x<－，
∴f(log8x)>0可化为log8x>或log8x<－.
∴x>2或0答案：(0，)∪(2，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算下列各题：
(1)0.008 1＋(4－)2＋()－－16－0.75；
(2)lg25＋lg 2lg 50＋21＋log25.
解：(1)原式＝(0.3)4×＋(2－)2＋(2)－－24×(－0.75)
＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.3＋0.25＝0.55.
(2)原式＝lg25＋lg 2·lg 5＋lg 2＋21·2log25
＝lg 5＋lg 2＋21·2log2＝1＋2.
16．(本小题满分14分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点)
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．
解：(1)由已知得y＝
(2)当0≤t≤1时，4t≥，得≤t≤1；
当1＜t≤5时，(t－5)2≥，得t≥，或t≤，
∴1＜t≤.∴≤t≤，∴－＝.
因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.6小时．
17．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3，0)、(2，0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0， ①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0. ②
①－②得b＝a＋8. ③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3(x＋)2＋＋18，
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12，18]．
18．(本小题满分16分)设函数是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x1－x2)＝；
(3)若f(1)＝2，解不等式f(3x)>4f(x)．
解：(1)证明：令x1＝x2＝，
则f(t)＝f()·f()＝[f()]2.
∵f()≠0，∴f(t)>0，即f(x)>0.
(2)证明：∵f(x1)＝f(x1－x2＋x2)
＝f(x1－x2)·f(x2)．
∵f(x)≠0，∴f(x1－x2)＝.
(3)∵f(1)＝2，∴2f(x)＝f(1)·f(x)＝f(1＋x)，4f(x)＝2·2f(x)＝f(1)·f(x＋1)＝f(x＋2)，
则f(3x)>4f(x)即f(3x)>f(2＋x)．
∵f(x)是定义在R上的增函数．
∴3x>2＋x，∴x>1.
故不等式f(3x)>4f(x)的解集为(1，＋∞)．
19．(本小题满分16分)设函数f(x)＝a－，
(1)求a的值，使f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是增函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)为奇函数，则f(0)＝a－＝a－1＝0，
∴a＝1，
经检验，a＝1时f(x)是奇函数．
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上递增，而x1∴2x1<2x2，
∴2x1－2x2<0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)由(1)知，f(x)＝1－，
∵2x＋1>1，∴0<<1，
∴f(x)∈(－1，1)．
20．(本小题满分16分)设函数
f(x)＝
(1)求f(log2 )与f(log )的值；
(2)求满足f(x)＝2的x的值；
(3)求f(x)的最小值．
解：(1)∵log2 ∴f(log2 )＝2－log2＝2log2＝.
∵log ＝log()3＝3>1，
∴f(log )＝f(3)＝log3 ·log3 ＝log3 1·log3 3－1＝0×(－1)＝0.
故f(log2 )与f(log )的值分别为，0.
(2)当x≤1时，f(x)＝2－x＝2，解得x＝－1，符合题意，当x>1时，f(x)＝log3 ·log3 ＝2
即(log3x－1)(log3x－2)＝2，
∴logx－3log3x＝0，
∴log3x＝3或log3x＝0.
由log3x＝0得x＝1，不合题意(舍去)．
由log3x＝3，得x＝33＝27>1符合题意．
综上可知，所求x的值为－1或27.
(3)当x≤1时，f(x)＝2－x＝()x≥()1，
即f(x)min＝.
当x>1时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)．
令log3x＝t，则t>0，
∴y＝(t－1)(t－2)＝(t－)2－，
∴当t＝>0时，ymin＝－<.
∴f(x)的最小值为－.一、填空题
1．下列各式中函数的个数为________．
①y＝x－(x－3)，②y＝＋.
③y＝x2，④y＝±x
解析：①y＝x－(x－3)＝3为函数；②要使函数有意义，需有，解得x∈ ，不是函数；易知③为函数；而④，对于任一个x值，y有两个对应值，∴④不是函数．
答案：2
2．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数为________．
解析：当a∈[－2,3]时，由函数定义知，y＝f(x)的图象与直线x＝a只有一个交点；当a [－2,3]时，y＝f(x)的图象与直线x＝a没有交点．
答案：0或1
3．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．
解析：由题意知0又底边长y与腰长x应满足2x>y，即4x>10，x>.
综上，答案：(，5)
4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f()的值等于________．
解析：∵f(3)＝1，＝1，∴f()＝f(1)＝2.
答案：2
5．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝，若f(α)＝2，则实数α＝________.
解析：∵f(x)＝，∴f(α)＝＝2.
解得α＝－1.
答案：－1
6．若函数f(x)的定义域为[－，2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
解析：由题意得－≤x－1≤2，解得≤3，∴f(x－1)的定义域为[，3]．
答案：[，3]
二、解答题
7．判断下列对应是否为同一函数：
(1)y＝x＋1与y＝；(2)y＝x2＋1与s＝t2＋1；(3)y＝2x与y＝2x(x≥0)．
解：(1)不是同一函数，因为定义域不同，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}；
(2)是同一函数，虽然变量不同，但不改变意义；
(3)不是同一函数，因为定义域不同．
8．求下列函数的定义域和值域．
(1)f(x)＝x2－2x－1；
(2)f(x)＝.
解：(1)易知f(x)的定义域为R.
f(x)＝(x－1)2－2≥－2，
所以f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(2)函数f(x)的定义域是{x|x≠1}．
f(x)＝＝5＋，
所以函数的值域为{y|y≠5}．
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，
f()＝＝，
f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f()＝1，证明如下：
f(x)＋f()＝＋
＝＋＝1.一、填空题
1．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝
1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案：0
2．已知函数y＝g(x)，x∈(－1＋m,1＋m)为奇函数，则函数f(x)＝x2＋mx＋5为________(填“奇函数”或“偶函数”)．
解析：由已知－1＋m＋1＋m＝0得m＝0，
∴f(x)＝x2＋5，而其定义域为R，
又f(－x)＝(－x)2＋5＝x2＋5＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
答案：偶函数
3．(2011·湖南高考)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.
解析：根据已知g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.
答案：6
4．定义在R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时是减函数，则f()与f(－)的大小关系是________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－)＝f()．
又∵0<<且f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f()>f()，即f()>f(－)．
答案：f()>f(－)
5．定义两种运算：a b＝ab，a? b＝a2＋b2，则函数f(x)＝eq \f(1 x, x?1 －2)为__________
(填“奇函数”或“偶函数”)．
解析：由题意可知，1 x＝x，x?1＝x2＋1.∴f(x)＝＝，定义域
x2－1≠0，即{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，又f(－x)＝＝－f(x)．故函数为奇函数．
答案：奇函数
6．设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为________．
解析：法一：∵f(x)为奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝0且f(x)在(0，＋∞)内亦为减函数．∴当x>0时，原不等式等价于f(x)<0，
即f(x)3.
当x<0时，原不等式等价于f(x)>0，
即f(x)>f(－3)，∴x<－3，
综上，解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
法二：根据题意画出f(x)的草图，
由图知：xf(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－3)∪(3，＋∞)
二、解答题
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝2x2－x＋1.
解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)＝是偶函数．
(2)函数的定义域为R，它关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(3)函数的定义域为R，且f(x)＝2x2－x＋1，
∵f(－x)＝2x2＋x＋1，
∴f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)．
∴f(x)＝2x2－x＋1是非奇非偶函数．
8．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值和最小值．
解：∵x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－，
∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f(－)＝－，
f(x)max＝f(－3)＝2.
由于函数为奇函数，图象关于原点对称，
∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，.
9．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
解：(1)依题意得
即
∴f(x)＝.
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0，
又∵－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．一、填空题
1．下列函数中指数函数的个数为________．
①y＝()x－1；②y＝2·3x；③y＝ax(a>0且a≠1，x≥0)；④y＝1x；⑤y＝()2x－1.
解析：由指数函数的定义可判定，只有③正确．
答案：1个
2．函数y＝(a－2)x是指数函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意，得a－2>0且a－2≠1，
∴a>2且a≠3.
答案：a>2且a≠3
3．若f(x)＝且f(a)＝，则a＝________.
解析：若a<0，则f(a)＝2a＝，a＝－1.
若a≥0，则f(a)＝a－1＝，a＝.
答案：－1或
4．函数y＝的定义域为__________．
解析：由2x－8≥0得x≥3.
答案：[3，＋∞)
5．函数f(x)＝()x在区间[－2，－1]上的最大值是________．
解析：∵f(x)＝()x在R上单调递减，
∴x＝－2时，f(x)max＝()－2＝9；
x＝－1时，f(x)min＝()－1＝3.
答案：9
6．函数f(x)＝()－x－2x＋1的值域是________．
解析：令u＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2≤2，
∵y＝()u在R上是单调递减，
∴当u≤2时，y≥()2＝，故值域为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
二、解答题
7．比较下列各组数的大小．
(1)()－1.8与()－2.6；(2)()－与1；(3)1.80.4与0.75.1.
解：(1)考察函数y＝()x，它在R上是单调减函数．
∵－1.8>－2.6，∴()－1.8<()－2.6.
(2)考察函数y＝()x，它在R上是单调减函数．
∵－<0，∴()－>()0＝1，∴()－>1.
(3)由指数函数性质知1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故1.80.4>0.75.1.
8．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，
(1)求f(6)的值；
(2)比较f(2)与f(a2＋2)的大小．
解：设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则a3＝8.
∴a＝2，∴f(x)＝2x.
(1)f(6)＝26＝64.
(2)∵f(x)＝2x在R上是单调增函数，
又a2＋2≥2，
∴f(a2＋2)≥f(2)．
9．求函数y＝()x－()x－1＋2，x∈[－1,0]的值域．
解：y＝()2x－2·()x＋2，
令t＝()x，
∵x∈[－1,0]，∴t∈[1,2]，
则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1.
∵y＝(t－1)2＋1在[1,2]上单调递增，
∴y∈[1,2]，
∴原函数的值域是[1,2]．模块综合检测
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(9，)，则f(25)的值是________．
解析：设f(x)＝xα，将(9，)代入得9α＝，
即32α＝3－1，∴2α＝－1，∴α＝－，
∴f(x)＝x－.∴f(25)＝25－＝.
答案：
2．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．
①y＝x3 ②y＝|x|＋1 ③y＝－x2＋1 ④y＝2－|x|
解析：y＝x3为奇函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数．故只有②符合条件
答案：②
3．若集合A＝{x|logx≤}，则 RA＝________．
解析：由logx≤得x≥()＝.
∴A＝[，＋∞)．∴ RA＝(－∞，)．
答案：(－∞，)
4．试比较1.70.2、log2.1 0.9与0.82.1的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________．
解析：log2.10.9<0，1.70.2>0，0.82.1>0.
∵1.70.2>1.70＝1，0.82.1<0.80＝1，
∴log2.10.9<0.82.1<1.70.2.
答案：log2.10.9<0.82.1<1.70.2
5．设集合M＝{x|x－m≤0}，N＝{y|y≥－1}，若M∩N＝ ，则实数m的取值范围是________．
解析：M＝(－∞，m]，N＝[－1，＋∞)，∵M∩N＝ ，
∴m<－1.
答案：m<－1
6．(2012·山东高考改编)函数f(x)＝＋ 的定义域为________．
解析：x满足即解得－1答案：(－1，0)∪(0，2]
7．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：由条件可得3a－b＝0，即b＝3a，
∴g(x)＝bx2＋3ax＝3ax2＋3ax，令g(x)＝0
得x＝－1，0.
答案：－1，0
8．函数f(x)＝log(－3x＋2)的单调递增区间为________．
解析：∵函数的定义域为－3x＋2>0，∴x<.
令u＝－3x＋2，∵f(u)＝logu是减函数，要求f(x)的单调增区间，只需求u＝－3x＋2的递减区间，即(－∞，)．
答案：(－∞，)
9．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.
答案：－1
10．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝2x，函数y＝f(x)的解析式为________．
解析：∵y＝f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又∵当x>0时，f(x)＝2x，
∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x＝－f(x)，
∴f(x)＝－2－x＝－()x.
∴f(x)＝
答案：f(x)＝
11．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥1的解集是________．
解析：x>0时，由log3x≥1得x≥3，∴x≥3.
当x≤0时，由2x≥1得x≥0，∴x＝0.
由上可知解集为{x|x＝0或x≥3}．
答案：{x|x＝0或x≥3}
12．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如下左图，则函数g(x)＝ax＋b的图象是________．
解析：由f(x)的图象可知a∈(0，1)，b∈(－∞，－1)．
∵0答案：①
13．函数y＝log2x＋log2(1－x)的最大值是________．
解析：要使函数有意义，只要，
解得0又y＝log2[x(1－x)]＝log2[－(x－)2＋]，
当x∈(0，1)时，0<－(x－)2＋≤，
∴y≤log2＝－2，
∴ymax＝－2.
答案：－2
14．设定义在R上的关于x的函数f(x)＝ax＋a＋1，当－1解析：根据零点存在性定理知，f(－1)f(1)<0，
∵f(－1)＝1>0，∴f(1)＝2a＋1<0，解得a<－.
答案：a<－
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算：
(1)[(5)0.5＋(0.008)－÷(0.2)－1]÷0.06250.25；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝[()2×0.5＋(0.2)3×(－)÷(0.2)－1]÷(0.5)4×＝(＋52÷5)÷0.5＝÷＝.
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64
＝[(log66－log63)2＋log62·(log63＋log66)]÷log64
＝[log62(log62＋log63＋1)]÷2log62＝1.
16．(本小题满分14分)已知集合M＝{x|－ax2＋2x＋1＝0}只有一个元素，A＝{x|y＝－}，B＝{y|y＝－x2＋2x－1}．
(1)求A∩B；
(2)设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．
解：(1)由x＋1≥0得x≥－1，
则A＝{x|x≥－1}；
由y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，得y≤0，
则B＝{y|y≤0}，
所以A∩B＝{x|－1≤x≤0}．
(2)因为集合M只有一个元素，所以当a＝0时，
方程2x＋1＝0只有一个实数解，符合题意；
当a≠0时，Δ＝4－4(－a)＝0，解得a＝－1.
所以N＝{－1，0}，则N A∩B.
17．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴＝－＝.
因此b＝－b，即b＝0.
又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋，
f(x)在(－∞，－1]上为单调增函数．
证明：设x10，
f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－)
＝(x2－x1)·.
∵x10，x1x2>1，
f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(－∞，－1]上为单调增函数．
18．(本小题满分14分)A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得小于，已知供电费用刚好和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数k＝0.2，若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)写出x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．
解：(1)10≤x≤90.
(2)y＝[20x2＋10(100－x)2]×0.2
＝6x2－400x＋20 000(10≤x≤90)．
(3)由(2)知，y＝6x2－400x＋20 000
＝6(x－)2＋.
∴当x＝时，ymin＝.
即核电站建在距A城 km处时，才能使供电费用最小．
19．(本小题满分16分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A＝{x|f(x)＝x}．
(1)若A＝{1，2}，且f(0)＝2，求M和m的值；
(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．
解：(1)由条件得f(1)＝1，f(2)＝2，f(0)＝2得a＝1，b＝－2，c＝2，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∴M＝f(－2)＝4＋4＋2＝10，m＝f(1)＝1.
(2)由条件得ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等实根1，从而a＋b＋c＝1，(b－1)2＝4ac，得c＝a，b＝1－2a.
则f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a.
∵a≥1，∴对称轴x＝＝1－∈[，1)，
∴M＝f(－2)＝9a－2，m＝f(1－)＝1－.
∴g(a)＝9a－－1，(a≥1)，
又g(a)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(a)最小值＝g(1)＝8－＝.
20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求证：函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数；
(2)若f(1)解：(1)证明：设x1－x2≥0，
因为f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)，
又因为f(x)是偶函数，
所以f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数．
(2)当0由f(1)∴－1>lg x，0当x≥1时，lg x≥0，
由f(1)∴lg x>1，x>10，
综上所述，x的取值范围是∪(10，＋∞)．一、填空题
1．下列等式一定成立的是________(填序号)．
①a·a＝a ②a－·a＝0
③(a3)2＝a9 ④a÷a＝a
解析：a·a＝a＋＝a；a－·a＝a0＝1；
(a3)2＝a6；a÷a＝a－＝a，故④正确．
答案：④
2．化简(a>0)＝________．
解析：∵a>0，∴原式＝ ＝＝a.
答案：a
3．化简＋的结果为________．
解析：原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0.
答案：0
4．化简(－2ab－)·(－ab－)6÷(－2ab－)2＝________．
解析：原式＝(－2a＋3b－－2)÷(4ab－)
＝－a－b－＋
＝－.
答案：－
5．已知a>0且a＋a－1＝2，则a2＋a－2＝________．
解析：a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝4－2＝2.
答案：2
6．计算：＋＝________．
解析：原式＝＋ ＝(－1)＋(＋1)＝2.
答案：2
二、解答题
7．已知a＝(2 012－2 012－)(n∈N*)．求(＋a)n的值．
解：由已知得a2＋1＝(2 012＋2 012－－2)＋1＝(2 012＋2 012－＋2)＝(2 012＋2 012－)2.
∴ ＋a＝(2 012＋2 012－)＋(2 012－2 012－)＝2 012，
∴(＋a)n＝(2 012)n＝2 012.
8．化简求值
(1)ab·(－3ab)÷(ab)(a>0，b>0)；
(2)(0.064)－－(－)0＋()＋|－0.01|.
解：(1)原式＝ab·(－3ab)·(3a－b－)
＝(－3×3)a＋－b＋－
＝－9a1b0
＝－9a.
(2)原式＝(0.43)－－1＋[()4]＋(0.12)
＝0.4－1－1＋＋0.1
＝3.1.
9．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解：＝＝.
∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴a＋b＝6，ab＝4.
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝62－4×4＝20.
又a>b>0，∴a－b＝2.
∴原式＝＝.(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)
1．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需使所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
2．下列四个对应中，从A到B的映射是________．
解析：根据映射的概念知(4)是从A到B的映射．
答案：(4)
3．下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①f(x)＝x＋2，g(x)＝
②f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1
③f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1
解析：对于①，定义域不同，所以不是同一函数；
对于②，虽然自变量分别用x和t表示，但两个函数的定义域和对应法则相同，所以是同一函数．
对于③，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数．
答案：②
4．已知f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________.
解析：f(a)＝＝2.整理得2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2.
答案：或2
5．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：当x0≤2时，则x＋2＝8，
解得x0＝－或x0＝(舍去)
当x0>2时，则2x0＝8，解得x0＝4.
综上可知x0＝－或4.
答案：－或4
6．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则函数y＝f(2x－1)的定义域是________．
解析：∵函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.
∴－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤.
答案：[0，]
7．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则f(3)，f(－4)，f(－π)的大小关系为________．
解析：因为函数图象关于y轴对称，
所以有f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)．
又因为在[0，＋∞)上是增函数，
所以有f(3)即f(3)答案：f(3)8．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x＋1)解析：由题意得解得－2答案：(－2，－1]
9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式是________．
解析：设x<0，则－x>0，
即有f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
答案：f(x)＝
10．已知f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________．
解析：x>0时，f(x)∈(2,3]，
∵f(x)为奇函数，
∴x<0时，f(x)∈[－3，－2)，
那么函数f(x)的值域是[－3，－2)∪(2,3]．
答案：[－3，－2)∪(2,3]
11．f(x)＝x2，g(x)是一次函数，且是增函数，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，则g(x)＝________.
解析：设g(x)＝ax＋b(a>0)，
则f(g(x))＝(ax＋b)2＝a2x2＋2abx＋b2，
所以有解得a＝2，b＝－5，
所以g(x)＝2x－5.
答案：2x－5
12．(2011·辽宁高考改编)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．
∴＝－，即1＋a＝3(1－a)，解得a＝.
答案：
13．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
解析：因为y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象可得它在[－5,0]上的图象．如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案：(－2,0)∪(2,5)
14．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝(x＋a－1)2＋2－(a－1)2，
其对称轴为x＝1－a.
∵函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，∴a≤－3.
答案：(－∞，－3]
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知f(x)＝，g(x)＝x2＋2.
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(g(x))的解析式．
解：(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝＝＝.
(3)f(g(x))＝＝＝.
16．(本小题满分14分)写出下列函数的单调区间：
(1)y＝|x2－3x＋2|；(2)y＝.
解：(1)y＝|x2－3x＋2|＝
根据图象(图①)可知，
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.
(2)y＝)＝－1＋.图象如图②.
函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
又x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为直线x＝－a.
若f(x)在[－5,5]上是单调的，则－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
18．(本小题满分16分)某商品在近30天内，每件的销售价格P(元)与时间t(天)有如下函数关系：P＝该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0解：设日销售额为y元，则
y＝PQ＝
＝
若0若25≤t≤30，
则t＝25时，ymax＝1 125，
答：第25天销售额最大，最大销售额为1 125元．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
解：(1)证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．
令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)设x1则f(x2－x1)＝f(x2＋(－x1))＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－，
∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
20．(本小题满分16分)二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16)，且图象在x轴上截得线段长为8.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝(2－2a)x－f(x)；
①若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
②求函数g(x)在x∈[0,2]的最小值．
解：(1)设f(x)＝a(x－1)2＋16＝ax2－2ax＋a＋16，
f(x)＝0的两根为x1，x2(x1所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，x2－x1＝8，
解得x1＝－3，x2＝5，a＝－1.
所以f(x)＝－(x－1)2＋16.
(2)由(1)得g(x)＝x2－2ax－15＝(x－a)2－a2－15.
①因为g(x)在x∈[0,2]上单调递增，所以只需a≤0.
②当a<0时，g(x)min＝g(0)＝－15；
当0≤a≤2时，g(x)min＝g(a)＝－a2－15；
当a>2时，g(x)min＝g(2)＝－4a－11.
综上，g(x)min＝一、填空题
1．(2012·安徽高考改编)(log29)·(log34)＝________．
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：4
2．给出以下等式：
(1)logaM·logaN＝loga(M＋N)；
(2)logaM－logaN＝loga(M－N)；
(3)loga(MN)＝logaM·logaN；
(4)logaM＋logaN＝loga(MN)；
(5)3logaM＝logaM3.(其中a>0，a≠1，M>0，N>0)
其中正确的是________．
解析：根据积、商、幂的对数运算法则知，(4)(5)正确，(1)(2)(3)不正确．
答案：(4)(5)
3．已知lg 2＝a，10b＝3，则lg 108＝________(用a，b表示)
解析：由条件可知lg 2＝a，lg 3＝b，
∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3
＝2a＋3b.
答案：2a＋3b
4．已知3a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值为________．
解析：由条件可知a＝log3m，b＝log5m，
∴＋＝logm 3＋logm5＝2，∴logm15＝2.
即m2＝15，∴m＝.
答案：
5．计算：(log23＋log49＋log827)·log32＝________．
解析：原式＝(log23＋log2232＋log2333)log32
＝(log23＋log23＋log23)×log32
＝(3×)log23log32＝1.
答案：1
6．(2011·湖北高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6 10 000
二、解答题
7．计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解：(1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
法二：原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3.
8．已知：log95＝m，3n＝7，试用m，n的式子表示log359.
解：法一：由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝log35，∴log35＝2m.
∴log359＝＝＝.
法二：由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝＝m，
∴lg 5＝2mlg 3.
∵log37＝＝n，∴lg 7＝nlg 3，
∴log359＝＝
＝＝.
9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？
(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解：假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，根据题意得：0.75x＝，
∴x＝log0.75＝－＝－≈4.
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.一、填空题
1．函数f(x)＝＋lg x的定义域是________．
解析：由得0答案：(0，1]
2．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________．
解析：∵loga1＝0，∴x＝0时f(x)＝2.
故函数f(x)过定点(0，2)．
答案：(0，2)
3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.
答案：a>c>b
4．若y＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数y＝(loga)x在R上为减函数，
∴0∴答案：(，1)
5．函数y＝logax，x∈[2，4]，a>0且a≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a＝________．
解析：当a>1时，loga4－loga2＝1，解得a＝2，
当0∴a＝2或.
答案：2或
6．设f(x)＝
则f(f(－2))＝________．
解析：f(－2)＝10－2，∴f(f(－2))＝f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
答案：－2
二、解答题
7．已知函数f(x)＝log2(x－3)．
(1)求f(51)－f(6)的值；
(2)若f(x)≥0，求x的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝log2(x－3)，
∴f(51)－f(6)＝log2(51－3)－log2(6－3)
＝log248－log23＝log216＝4.
(2)f(x)≥0即log2(x－3)≥0，
∴x－3≥1解得x≥4.
所以x的取值范围为[4，＋∞)．
8．比较下列各组数的大小．
(1)log2π与log20.9；(2)log20.3与log0.20.3；
(3)log0.76，0.76与60.7.
解：(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
π>0.9，∴log2π>log20.9.
(2)∵log20.3log0.21＝0，
∴log20.3(3)∵60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，
log0.76∴60.7>0.76>log0.76.
9．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)当0，利用图象求a的取值范围．
解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝，即log3x＝，解得x＝.
由如图所示的图象知：
当0，则故当0的a的取值范围为(，2)．一、填空题
1．下列对应中是集合A到集合B的映射的为________．
①A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,4,6,8,10}．对应法则f：x→y＝x＋1，x∈A，y∈B.
②A＝{x|0°③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y≥0}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B.
解析：根据映射的定义，①②③都是从A到B的映射．
答案：①②③
2．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}．在图中能表示从集合A到集合B的映射的是________．
解析：根据映射的概念，(1)(2)不是映射，因为在A中存在元素在B中找不到对应元素；(3)不是映射，因为A中某些元素在B中有两个对应元素．只有(4)是映射．
答案：(4)
3．已知集合A＝R，B＝R，若f：x→是从集合A到B的一个映射，则B中的元素3在A中对应的元素为__________．
解析：令 ＝3解得x＝±2.
答案：±2
4．若集合A＝{0,1,2}，f：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________个元素．
解析：由A＝{0,1,2}，f：x→x2－2x，分别令x＝0,1,2，
∴x2－2x＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性，
∴B中至少有2个元素．
答案：2
5．已知A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________．
解析：如果a，b指向B中某一个元素，共3个，如果a，b指向B中某两个元素(如c，d有a→c，b→d或a→d，b→c)，共有6个，A→B的映射共9个．
答案：9
6．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：
表1 映射f的对应法则
x 1 2 3 4
f(x) 3 4 2 1
表2 映射g的对应法则
x 1 2 3 4
g(x) 4 3 1 2
则f(g(1))＝________.
解析：由映射的表格可知，g(1)＝4，f(g(1))＝f(4)＝1.
答案：1
二、解答题
7．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－x≤x≤1}．对应关系f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．
解：①当a≥0时，由－2≤x≤2得－2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射．
则[－2a,2a] [－1,1]，
即，∴0≤a≤.
②当a<0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a，
若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a] [－1,1]，
即∴0>a≥－.
综合①②可知－≤a≤.
8．集合A、B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f：(x，y)→
(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5,2)所对应A中的元素．
解：依题可得
①＋2×②，得(x＋y)2＝9，∴x＋y＝±3.
于是，原方程组可化为如下的两个方程组：
或
解得
∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．
9．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*，若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个函数，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求m，n，p，q的值．
解：由f(1)＝4，f(2)＝7可得∴
∴对应法则f：x→y＝3x＋1.
因此，A中元素3的对应元素是n4或n2＋3n.
若n4＝10，因n∈N*不能成立，所以n2＋3n＝10，
解得n＝2，或n＝－5(舍去)．
当集合A中的元素m对应B中的元素n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5；
当集合A中的元素m对应B中的元素n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3，由元素的互异性舍去m＝3.
故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.一、填空题
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
答案：4，3
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1<0，
f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625，根据二分法可知，下一个有解区间为(2，2.5)．
答案：(2，2.5)
3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是下列函数中的________．
①f(x)＝4x－1 ②f(x)＝(x－1)2
③f(x)＝ex－1 ④f(x)＝ln(x－)
解析：由g(0)＝－1，g()＝1可知g(x)的零点在(0，)上，而f(x)＝4x－1的零点为，f(x)＝(x－1)2的零点为1，f(x)＝ex－1的零点为0，f(x)＝ln(x－)的零点是，所以
f(x)＝4x－1满足题意．
答案：①
4．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似根时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定根所在的区间为________．
解析：令f(x)＝x3－2x－1，
则f(1.5)＝(1.5)3－2×1.5－1＝－0.625<0，
f(1)＝13－2×1－1＝－2<0，
f(2)＝23－2×2－1＝3>0，
∴f(1.5)·f(2)<0，∴区间为(1.5，2)．
答案：(1.5，2)
5．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有惟一的零点，如果用“二分法”求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________次．
解析：由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.
答案：4
6．已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值与0的大小关系恒有________．
解析：∵f(1)f(2)＝[()1－0]·[()2－log22]＜0，
∴1＜x0＜2.
如图所示，当0＜x1＜x0时，函数y＝()x的图象在y＝log2x的上方，即必有()x1＞log2x1，
∴f(x1)＞0恒成立．
答案：f(x1)＞0
二、解答题
7．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称多少次就可以发现这枚假币？
解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
8．判断函数y＝x3－x－1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．
解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1，1.5) 1.25 －0.3
(1.25，1.5) 1.375 0.22
(1.25，1.375) 1.312 5 －0.05
(1.132 5，1.375) 1.343 75 0.08
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 0.01
因为1.312 5，1.328 125精确到0.1的近似值都为1.3，所以函数的一个近似零点为1.3.
9．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象的交点的横坐标(精确到0.1)．
解：求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图象交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根．令f(x)＝ln x＋x－3，因为f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 0.416 3>0
(2，2.5) 2.25 0.060 9>0
(2，2.25) 2.125 －0.121 2<0
(2.125，2.25) 2.187 5 －0.029 7<0
(2.187 5，2.25) 2.218 75 0.015 7>0
由于2.187 5与2.218 75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln x＋x－3＝0在
(2，3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．一、填空题
1．把指数式()－2＝25化成对数式________．
解析：由对数的定义，得log25＝－2.
答案：log25＝－2
2．方程log5(1－2x)＝1的解x＝________．
解析：由log5(1－2x)＝1知1－2x＝5，∴x＝－2.
答案：－2
3．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
解析：由loga2＝m得am＝2，由loga3＝n得an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
答案：12
4．若f(10x)＝x，则f(1 000)的值为________．
解析：令10x＝t，∴x＝lg t.
∴f(t)＝lg t即f(x)＝lg x.
∴f(1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f(1 000)＝3.
答案：3
5．若10α＝2，β＝lg 3，则100α－β＝________．
解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3.
∴100α－β＝＝＝＝.
答案：
6.给出以下结论：①lg(－10)＝－1，②ln(lne)＝0，③若lg a＝10，则a＝10，
④若e－1＝，则ln＝－1，⑤10－log2＝2.
其中正确结论的序号是________．
解析：∵零和负数没有对数，∴①不正确；
∵ln(lne)＝ln 1＝0，∴②正确；
若lg a＝10，则a＝1010，∴③不正确；
∵e－1＝，∴loge＝ln ＝－1，∴④正确；
∵10－log2＝(10－1)log2＝()log2＝2，∴⑤正确．
答案：②④⑤
二、解答题
7．(1)将对数式log9＝－2，化为指数式；
(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式；
(3)已知log2(log5x)＝1，求x的值．
解：(1)∵log9＝－2，∴()－2＝9；
(2)∵10－3＝0.001，∴log100.001＝－3，即lg 0.001＝－3；
(3)∵log2(log5x)＝1，∴log5x＝2，∴x＝52＝25.
8．求下列各式中x的值：
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；
(3)log2(log5x)＝0；(4)log3(lg x)＝1.
解：(1)由log8x＝－，得x＝8＝(23) ＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x＝27，x＝(33)＝34＝81.
(3)由log2(log5x)＝0，得log5x＝1，所以x＝5.
(4)由log3(lg x)＝1，得lg x＝3，所以x＝103＝1 000.
9．已知log2x＝3，log2y＝5，求log2的值．
解：∵log2x＝3，log2y＝5，
∴x＝23，y＝25，＝＝
∴log2＝log2＝log22－2＝－2.一、填空题
1．可作为函数y＝f(x)图象的是________．(只填序号)
解析：前3个图象中，都能发现，存在某个自变量x，有两个对应值的情况，只有(4)才符合函数的定义．
答案：(4)
2．某工厂8年来某产品总产量y与时间t(年)的函数关系如图，则：
①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．
以上说法中正确的是________．
解析：从图可以看出，工厂在前3年增长速度越来越快，3年后，产品停止生产．故①③正确．
答案：①③
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，则y1和y2的大小关系为________．
解析：∵a>0，∴抛物线开口向上，又∵该抛物线的对称轴为x＝1.且1－(－1)>2－1，∴y1>y2.
答案：y1>y2
4．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－1)＝________；
(3)f(－3)＝________；
(4)f(－2)＝________；
(5)f(2)＝________；
(6)若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
解析：由函数的图象，容易得到结果．
f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，
f(2)＝2，f(x1)≥f(x2)．
答案：(1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)f(x1)≥f(x2)
5．“龟兔赛跑”故事中有这么一个情节：领先的免子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．如果用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中与该故事情节相吻合的是________．
解析：兔子跑的路程先增加，再停止，最后快速提升，乌龟爬行的路程始终增加，兔子所用的时间比乌龟要多．故②吻合．
答案：②
6．若关于x的方程2x2－3x－k＝0在(－1,1)内仅有一个实数根，则k的取值范围是________．
解析：在同一坐标系内作出函数y＝2x2－3x，x∈(－1,1)，y＝k的图象观察知－1≤k<5或k＝－.
答案：－1≤k<5或k＝－
二、解答题
7．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
解：用描点法可以作出(1)，(2)这两个函数的图象分别如图(1)，图(2)．
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为[－，2]，
y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为
(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
8．在同一直角坐标系中，分别作出函数y1＝x＋1和y2＝x2－3x－4的图象，并回答x为何值时，y1>y2，y1＝y2，y1解：作出两函数的图象如图所示，
由方程组
得或
所以两图象交点坐标为(－1,0)和(5,6)．
从而当x∈(－1,5)时，y1>y2；
当x＝－1或5时，y1＝y2；
当x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)时，y19．试画出函数f(x)＝(x－2)2＋1的图象．
并回答下列问题：
(1)求函数f(x)在x∈[1,4]上的值域；
(2)若x1＜x2＜2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．
解：由描点法作出函数的图象如图所示．
(1)由图象知，f(x)在x＝2时有最小值为f(2)＝1，又f(1)＝2，f(4)＝5.∴函数f(x)在[1,4]上的值域为[1,5]．
(2)根据图象易知，当x1f(x2)．一、填空题
1．(2012·广东高考改编)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则 UM＝________.
解析：因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以2∈ UM,4∈ UM,6∈ UM，所以 UM＝{2,4,6}．
答案：{2,4,6}
2．设S＝{x∈N|0≤x≤4}；A＝{x∈N|0＜x＜4}，则 SA＝________.
解析：由已知：S＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，
∴ SA＝{0,4}．
答案：{0,4}
3．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝________.
解析：∵U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∴ UA＝{x|x4}，∴a＝3，b＝4.
∴a＋b＝7.
答案：7
4．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，则实数a的取值集合为__________．
解析：∵ UA＝{5}，∴5∈U，且5 A，
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，符合题意，
当a＝－4时，|2a－1|＝9≠5，
但是9 U，∴a的取值集合为{2}．
答案：{2}
5．已知全集U＝{x|－1≤x≤1}，A＝{x|0解析：由全集定义知A U，从而a≤1.
又 UA≠U，∴A≠ ，∴a>0.
综上，0答案：06．设全集S＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}， SA＝{x|ax－1＝0}，则由实数a组成的集合为________．
解析：∵S＝{3,5}， SA＝{x|ax－1＝0} S，
∴ SA＝ 或{3}或{5}或{3,5}．
若 SA＝ ，则a＝0；
若 SA＝{3}，则a＝；
若 SA＝{5}，则a＝；
若 SA＝{3,5}，则a不存在，
∴实数a组成的集合为{0，，}．
答案：{0，，}
二、解答题
7．全集U＝R，A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，
(1)求 UA， UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A C，求a的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|2＜x≤7}，
∴借助于数轴知 UA＝{x|x<3，或x≥10}，
UB＝{x|x≤2，或x＞7}．
(2)要使A C，只需a<3即可．
∴a的取值范围为{a|a<3}．
8．已知集合A＝{x|2a－2解：∵B＝{x|1∵A? RB，∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，此时2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若A≠ ，则或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
9．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求 UA中最大元素m与 UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求 AB和 UA中所有元素之和及 U( AB)．
解：(1)由已知得 UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴m＝2，n＝－1；
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．
∴ AB＝{0}或 AB＝ ，即 AB中元素之和为0.
又 UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.
故所求元素之和为0＋1＝1.
∵ AB＝{0}，或 AB＝ ，
∴ U( AB)＝{－1,1,2}或 U( AB)＝ U ＝U＝{，1,2}．一、填空题
1．(2011·江苏高考)函数 (x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：由题意知，函数 (x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x＞－}，所以该函数的单调增区间为(－ ，＋∞)．
答案：(－ ，＋∞)
2．函数y＝lg(x2－2x＋3)的最小值是________．
解析：x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.∵y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，
∴y＝lg(x2－2x＋3)≥lg 2.
答案：lg 2
3．函数y＝3x的反函数是________，y＝logx的反函数是________．
解析：∵函数y＝ax与函数y＝logax互为反函数，∴函数y＝3x的反函数是y＝log3x，函数y＝logx的反函数是y＝()x.
答案：y＝log3x y＝()x
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间
是________．
解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
5．设a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则a，b，c，d的大小关系是__________(从小到大排列)．
解析：∵a＝0.32∈(0，1)．b＝20.3∈(1，2)，c＝log25∈(2，3)，d＝log20.3∈(－1，0)，∴d答案：d6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
解析：由奇函数图象的对称性，知函数f(x)的图象如图所示．
由图象知满足f(x)>0的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
二、解答题
7．解方程：log(x＋1)－log2(x＋)＝1.
解：首先即x>－1.
原方程可化为2log2(x＋1)＝log22(x＋)．
∴(x＋1)2＝2(x＋)．
解得x＝2或－2.
∵x>－1，∴x＝－2舍去．
故原方程的根是x＝2.
8．解不等式：loga(3x－4)>loga(x－2)．
解：原不等式等价于
(1)当a>1时，又等价于
解得x>2.
(2)当0又等价于
不等式无解．
综上可知：当a>1时，不等式的解集为(2，＋∞)；
当09．已知函数f(x)＝lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)求函数f(x)的单调递减区间，并加以证明．
解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，
解得x≠0，即函数的定义域是
(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示．
(3)由图得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
证明：设x1、x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg .
∵x1、x2∈(－∞，0)，且x1∴|x1|>|x2|>0.
∴>1.
∴lg >0.
∴f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，
即函数的单调递减区间是(－∞，0)．一、填空题
1．下列命题正确的序号是________．
①定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)使得x1②定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1③若f(x)在区间I1上是单调增函数，在区间I2上也是单调增函数，则f(x)在I1∪I2上也一定是单调增函数．
④若f(x)在区间I上单调递增，g(x)在区间I上单调递减，则f(x)－g(x)在区间I上单调递增．
解析：函数单调性定义中，x1，x2必须是任意的，∴①②不正确．对于③，也是错误的，如f(x)＝－，在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，这里应该用“和”连接．④是正确的．
答案：④
2．如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y＝f(x)的单调递增区间为____________，单调递减区间为__________．
解析：根据函数的单调性的定义知，函数y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上单调递减，在区间[－2,1]和[3,5]上单调递增．
答案：[－2,1]和[3,5] [－5，－2]和[1,3]
3．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是____________．
解析：∵(－1，＋∞)是f(x)＝的一个递减区间，
∴由题意可知(a，＋∞) (－1，＋∞)，∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
4．函数y＝－(x－5)|x|的递增区间是________．
解析：y＝－(x－5)|x|＝作出函数图象如图．
由图象可知，递增区间为[0，]．
答案：[0，]
5．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
解析：对称轴x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.
答案：(－∞，40]∪[64，＋∞)
6．若函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，则k的取值范围是________．
解析：f(x)＝－1与函数y＝有相同的单调性，而y＝在(－∞，0)为减函数，只要k>0即可．
答案：(0，＋ ∞)
二、解答题
7．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
解：y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数的图象如图所示，
由图象可以看出，在(－∞，－1]和[0,1]上的图象是上升的，在[－1,0]和[1，＋∞)上的图象是下降的，
∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
解：(1)由题意知x＋1≠0，
即x≠－1.
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵x10.
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
9．已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.
(1)求f(1)、f(4)的值；
(2)求满足f(x)－f(x－3)>1的x的取值范围．
解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，而f(2)＝1.
∴f(4)＝2×1＝2.
(2)由f(x)－f(x－3)>1，得f(x)>f(x－3)＋1，
而f(x－3)＋1＝f(x－3)＋f(2)＝f(2(x－3))，
∴f(x)>f(2(x－3))．
∵函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数．
∴解之得3∴x的取值范围是(3,6)．一、填空题
1．将函数y＝2x的图象上所有点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得函数图象对应的解析式是________．
解析：y＝2xy＝2x－3y＝2x－3－1.
答案：y＝2x－3－1
2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵0<<1，∴f(x)＝ax在R上单调递减，又f(m)>f(n)，∴m答案：m3．下列四个图形中，能表示函数y＝2|x|的大致图象的序号是________．
解析：y＝2|x|＝，
所以大致图象的序号是(2)．
答案：(2)
4．函数y＝32－2x的单调递减区间是________．
解析：令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝32－2x2的单调递减区间是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
5．受国家拉动内需政策的带动，某厂从2008年起，两年来产值平均每年比上一年提高12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计________年该厂年产值可比2008年翻一番．
解析：由(1＋12.4%)x＝2得x≈6.故估计2014年该厂年产值可比2008翻一番．
答案：2 014
6．定义运算：a b＝，则函数f(x)＝3－x 3x的值域为________．
解析：f(x)＝3－x 3x
＝.
其图象如图：
∴f(x)的值域为(0,1]．
答案：(0,1]
二、解答题
7．已知函数y＝()|x＋1|.
(1)作出图象；
(2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时，函数有最值？
解：(1)y＝()xy＝()|x|y＝()|x＋1|，如图：
(2)由图象知y＝f(x)在(－∞，－1)上是单调递增的，在(－1，＋∞)上是单调递减的．
(3)当x＝－1时，ymax＝f(－1)＝1.
8．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15≈1.61)
解：设新树苗的木材量为Q，
①若连续生长10年，木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5.
②生长5年重栽新树苗，木材量为M＝2Q(1＋18%)5，
则＝＝≈>1.
∴M>N，即生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．
9．设函数f(x)＝a－，
(1)求证：f(x)是增函数；
(2)求a的值，使f(x)为奇函数．
解：(1)证明：任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上递增，而x1∴2x1<2x2，
∴2x1－2x2<0，
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(x)为奇函数，则f(0)＝a－＝a－1＝0，
∴a＝1，
经检验，a＝1时f(x)是奇函数．一、填空题
1．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________．
解析：集合A的真子集有 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}和{0,2}，共7个．
答案：7
2．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，C A，C B，则集合C最多含有________个元素．
解析：由题意知C最多含有3个元素：4,5,6.
答案：3
3．已知集合A＝{x|x＝，k∈Z}，B＝{x|x＝，k∈Z}，则A与B的关系为________．
解析：∵＝，∴∈B，∴A B，但B中元素 A，∴A?B.
答案：A?B
4．已知a是实数，若集合{x|ax＝1}是任何集合的子集，则a的值是__________．
解析：∵集合{x|ax＝1}是任何集合的子集，
∴该集合为 ，当a＝0时，ax＝1无解．
∴a＝0.
答案：0
5．设A＝{x|1解析：∵AB，(如图)
∴a≥2，
即a的取值范围是{a|a≥2}．
答案：{a|a≥2}
6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴NM.
答案：NM
二、解答题
7．已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
解：因为{1,2} M，则1∈M,2∈M，故集合M中一定有元素1,2.又因为M {1,2,3,4,5}，即若x∈M，则x∈{1,2,3,4,5}，所以若集合M中除1,2外还有其他元素，则只能从3,4,5中选取部分或全部数，故满足条件的集合M含有两个元素时为{1,2}；
含有三个元素时可以为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素时可以为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素时为{1,2,3,4,5}．
综上满足条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
8．已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N M，求实数a的取值范围．
解：∵M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
又N M，
∴N＝ ，或N＝{1}，或N＝{2}，或N＝{1,2}．
(1)当N＝ 时，方程x2－2x＋a＝0的判别式
Δ＝4－4a<0，即a>1.
(2)当N＝{1}时，有
∴a＝1.
(3)当N＝{2}时，有不成立．
(4)当N＝{1,2}时，有不成立．
综上可知，实数a的取值范围为a≥1.
9．设集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|－2＜x＜3}，
(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B A
解：(1)借助数轴可得，a应满足的条件为
或
解得0≤a≤1.
(2)同理可得a应满足的条件为
得a无解，所以不存在实数a使B A.(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)
1．(2012·山东高考改编)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B＝________.
解析：∵A＝{1,2,3}，∴ UA＝{0,4}．
∴( UA)∪B＝{0,2,4}．
答案：{0,2,4}
2．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则 UA＝________.
解析：由题意可知A U，∴x＝2或x＝x2－2.
当x＝2时，U＝{1,2,2}与互异性矛盾；
当x＝x2－2时，x＝2(舍去)或－1，∴x＝－1.
这时U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，∴ UA＝{2}．
答案：{2}
3．已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
解析：解得∴A∩B＝{(1,2)}．
答案：{(1,2)}
4．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是________三角形(用“锐角”，“直角”，“钝角”，“等腰”填空)．
解析：因为集合中的元素互不相同，
∴a≠b，b≠c且a≠c.
∴三角形一定不是等腰三角形．
答案：等腰
5．已知全集U＝{0,1,2,3}且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有________个．
解析：因为U＝{0,1,2,3}且 UA＝{2}，
所以A＝{0,1,3}，
∴真子集共有23－1＝7个．
答案：7
6．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝________.
解析：∵ UB＝{x|x≤1}，
∴A∩( UB)＝{x|0答案：{x|07．(2011·北京高考改编)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是________．
解析：因为P∪M＝P，所以M P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
8．已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩( UB)＝{5,13,23}，( UA)∩B＝{11,19,29}，( UA)∩( UB)＝{3,7}，则A＝______________，B＝______________.
解析：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}，根据题意画出Venn如图所示．
由图可知A＝{2,5,13,17,23}，
B＝{2,11,17,19,29}．
答案：A＝{2,5,13,17,23} B＝{2,11,17,19,29}
9．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}．
答案：2
10．设全集I＝{1,2a－4，a2－a－3}，A＝{a－1,1}， IA＝{3}，则a的值是________．
解析：∵ IA＝{3}，∴3 A且3∈I.
①当2a－4＝3时，a＝，
这时I＝{1,3，}，A＝{，1}，AI.
所以不合题意，舍去．
②当a2－a－3＝3时，a＝3或－2.
当a＝3时，I＝{1,2,3}，A＝{2,1}，
满足条件 IA＝{3}．
当a＝－2时，I＝{1，－8,3}，A＝{－3,1}不符合题意．
综上可知a＝3.
答案：3
11．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x Q}，则P－(P－Q)等于________．
解析：法一：结合Venn图进行分析推理即可得出答案．
法二：采用赋值法进行验证可得．
令P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{2,3,4,5}，则P－Q＝{1}＝M，P－(P－Q)＝P－M＝{x|x∈P，但x M}＝{2,3,4,5}＝P∩Q.
答案：P∩Q
12．已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x≤－1，或x≥5}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
解析：∵A∪B＝B，∴A B.
借助于数轴知：需a＋3≤－1或a≥5，
即a≤－4或a≥5.
答案：{a|a≤－4或a≥5}
13．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．若A中至多有一个元素，则a的取值范围是______________．
解析：当a＝0时，原方程化为－3x＋2＝0，
得x＝，符合要求．
当a≠0时，只需Δ＝(－3)2－4×a×2≤0.
解得a≥，综上可知：a≥或a＝0.
答案：{a|a≥，或a＝0}
14．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}．已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B＝________.
解析：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，
∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
又A×B＝{x|x∈(A∪B)且x (A∩B)}，
∴A×B＝{x|x>2}＝(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，集合B＝{x|3(1)求 U(A∪B)；(2)求A∩( UB)．
解：(1)A∪B＝{x|2≤x<5}∪{x|3＝{x|2≤x＜9}．
∴ U(A∪B)＝{x|x<2，或x≥9}．
(2) UB＝{x|x≤3，或x≥9}．
∴A∩( UB)＝{x|2≤x≤3}．
16．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5a}．
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|4≤x<8}，
B＝{x|5∴A∪B＝{x|4≤x<10}．
又 RA＝{x|x<4或x≥8}，
∴( RA)∩B＝{x|8≤x<10}．
(2)将集合A、C分别标在数轴上，如图所示，
要使A∩C≠ ，需a<8.
故a的取值范围是a<8.
17．(本小题满分16分)已知集合S中的元素是正整数，且满足命题“如果x∈S，
则(10－x)∈S”时回答下列问题：
(1)试写出只有一个元素的S；
(2)试写出元素个数为2的全部S.
解：(1)∵S中只有一个元素，∴应有x＝10－x.
∴x＝5，即此时S＝{5}．
(2)∵S中有两个元素，且x∈S,10－x∈S，
∴这两个元素的和为10，
∴S可能为{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}．
18．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，
若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p、a、b的值．
解：∵A∩B＝{3}，∴3∈A.
设x2－px＋15＝0的另一根为x1，
则3x1＝15，∴x1＝5.
又∵A∪B＝{2,3,5}．
∴A＝{3,5}，B＝{2,3}．
∴p＝3＋5＝8.
a＝2＋3＝5.
－b＝2×3＝6即b＝－6.
故p＝8，a＝5，b＝－6.
19．(本小题满分16分)设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|x≤－1，或x≥4}．
(1)∵A∩B≠ ，
∴或
∴或
∴a＝2或a≤－.
故a的取值范围为a＝2或a≤－.
(2)∵A∩B＝B，∴B A，有三种情况：
①，得a≤－3；②，得a＝2；
③B＝ ，得2a>a＋2，a>2.
∴a的取值范围为a≤－3或a≥2.
20．(本小题满分16分)已知A＝{x|x2－2x－8＝0，x∈R}，{x|x2＋ax＋a2－12＝0，
x∈R}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．
解：∵A＝{x|x2－2x－8＝0}，∴A＝{－2,4}．
若B∪A＝A，则B A.
∴集合B有以下3种情况：
①当B＝ 时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，
∴或，
即a<－4或a>4.
②当B≠ 且B是单元素时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A.
③当B≠ 且B＝{－2,4}时，
－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的解，
∴∴a＝－2.
综上可知，B∪A＝A时，实数a的取值范围是a<－4或a＝－2或a≥4.
B∪A≠A时，实数a的取值范围为[－4，－2)∪(－2，4)．一、填空题
1．若幂函数过点(，8)，则其解析式为__________．
解析：设f(x)＝xα，则8＝()α.解得α＝－3.
∴f(x)＝x－3.
答案：f(x)＝x－3
2．设α∈{－2，－1，－，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数为________．
解析：∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1，，1，3.
又f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴α＝，1，3.共3个．
答案：3
3．(2011·陕西高考改编)函数y＝x的图象是________．
解析：当0＜x＜1时，x＞x，当x＞1时，x＜x.故图象是②.
答案：②
4．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝________．
解析：∵函数f(x)＝kxα是幂函数，∴k＝1，
又图象过点(，)，∴()α＝，∴α＝.
∴k＋α＝1＋＝.
答案：
5．下列六个函数①y＝x，②y＝x，③y＝x－，④y＝x，⑤y＝x－2，⑥y＝x2中，定义域为R的函数有________(填序号)．
解析：函数①④⑥的定义域为R，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x|x≠0}．
答案：①④⑥
6．已知x2>x，则x的取值范围是________．
解析：作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)．
由图象易知x<0或x>1.
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
二、解答题
7．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.1；(2)－8－1和－9－1；
(3)()，()和().
解：(1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1，
∴3<3.1.
(2)构造f(x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，
∵8<9，∴8－1>9－1，
∴－8－1<－9－1.
(3)构造函数y＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，
则()>().
构造函数y＝()x，此函数在R上是减函数，则()<()，
故()<()<().
8．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解：设f(x)＝xα，
则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
①当x>1或x<－1 时，f(x)>g(x)；
②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
③当－19．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，所以m＝1，2.
∵函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，∴m＝1.
∴(a＋1)－<(3－2a) －.
∵y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．
∴a＋1>3－2a>0或3－2a解得即a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)．