人教新课标A版选修2-2 第二章 推理与证明 单元练习（Word含答案解析）

人教新课标A版选修2-2
第二章 推理与证明
一、单选题
1.（2020高二下·宣城期末）学校艺术节对同一类的甲、乙、丙、丁四件参赛作品，只评一个一等奖，在评奖揭晓前， 、 、 、 四位同学对这四件参赛作品预测如下：
说：“乙或丁作品获得一等奖”； 说：“丙作品获得一等奖”； 说：“甲、丁两件作品未获得一等奖”； 说：“乙作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ）
A. 甲作品 B. 乙作品 C. 丙作品 D. 丁作品
2.（2020高二下·吉林期末）甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
3.（2021·镇江模拟）甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.（2020·新高考Ⅰ）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0 ， T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天
5.（2021高二下·宾县月考）用数学归纳法明: 当 时,等式左边应在 的基础上加上（　　　　）
A. B. C. D.
6.（2019高二下·来宾期末）如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）
A. 120种 B. 240种 C. 144种 D. 288种
7.（2021高二下·河南月考）在等差数列 中，若 ，则有等式 （ 且 ）成立，类比上述性质，在等比数列 中，若 ，则有（ ）
A. （ 且 ）
B. （ 且 ）
C. （ 且 ）
D. （ 且 ）
8.（2019高二下·珠海期中）如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则 ．类比以上性质，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
9.（2019高二下·宁夏月考）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是 ，则8771用算筹可表示为（　　）
B.
C. D.
10.（2021·贵阳模拟）在平面内，已知动点P与两定点A，B的距离之比为 ，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱 中， 平面ABC， ， ， ，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且 ，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.（2021·西城模拟）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m ， 则记 ．下列命题中正确的是（ ）
A. 已知 ， ，且 ，则
B. 已知 ， ，则存在实数a ， 使得
C. 已知 ，若 ，则对任意 ，都有
D. 已知 ， ，则对任意的实数a ， 总存在实数b ， 使得
二、填空题
12.（2020·辽宁模拟）甲、乙两支足球队进行一场比赛， 三位球迷赛前在一起聊天. 说：“甲队一定获胜.”B说：“甲队不可能输.”C说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是________.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）
13.（2019·齐齐哈尔模拟）甲、乙、丙三个同学同时做标号为 、 、 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是________（填所有正确说法的编号）．
①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对.
14.（2021·葫芦岛模拟）迎春杯数学竞赛后，甲 乙 丙 丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲 乙 丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是 .
15.（2019·奉贤模拟）天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年
16.（2020高二下·河南月考）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市.
丙说：我们三个去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________
17.（2019高三上·广东月考）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士 帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” ，如图 .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图 .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式： ，其 中 是行数， .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．
18.（2019高二下·宁夏月考）已知 的周长为 ，面积为 ，则 的内切圆半径为 ．将此结论类比到空间，已知四面体 的表面积为 ，体积为 ，则四面体 的内切球的半径 ________．
19.（2021高二上·砀山月考）如图，正方体 的棱长为2，E ， F分别为 ， 的中点，则以下说法错误的是 （写序号）
①N为 上一点，则平面 与平面 所成二面角的大小与点N位置无关
② 存在上一点P ， 使得 平面
③ 三棱锥 和 体积相等
④ 上存在一点M ， 使得
20.（2019高一上·上海月考）已知有限集 . 如果A中元素 满足 ，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合 是“复活集”；
②若 ，且 是“复活集”，则 ；
③若 ，则 不可能是“复活集”；
④若 ，则“复活集”A有且只有一个，且 .
其中正确的结论是________.（填上你认为所有正确的结论序号）
三、解答题
21.（2020高二上·保定期末）已知函数 ．
（1） 恒成立，求a的取值范围；
（2）当 时，求 在区间 的最小值；
（3）证明：当 时， ．
22.（2019高二下·上海期中）平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体 中棱 两两垂直，那么称四面体 为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论 中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中 表示斜边上的高， 分别表示内切圆与外接圆的半径）
直角三角形 直角四面体
条件
结论1
结论2
结论3
结论4
结论5
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】若甲作品为一等奖，则 、 、 、 的说法均错误，故不满足题意；
若乙作品为一等奖，则 、 、 的说法正确， 的说法错误，故不满足题意；
若丙作品为一等奖，则 、 的说法均正确， 、 的说法均错误，故满足题意；
若丁作品为一等奖，则 的说法正确， 、 、 的说法均错误，故不满足题意；
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得等奖的作品是丙作品，
故答案为：C．
【分析】 根据题意由简单的合情推理即可得出若丙作品为等奖，则B、C的说法均正确，A、D的说法均错误，故丙获得一等奖满足题意．
2.【答案】 C
【解析】若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲、乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾；
若丙说了假话，则甲、乙说的话为真，甲、乙都没有申请，申请的人是丙，满足题意，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合演绎推理的方法，进而找出申请去新疆支教的学生。
3.【答案】 B
【解析】解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意；
若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意；
若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意；
若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意
故答案为：B
【分析】 分别假设第一名是甲、乙、丙、丁，分析四个人说的话，由此能求出结果．
4.【答案】 B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
5.【答案】 C
【解析】用数学归纳法证明:
当 时,则
当 ,左式= ,
当 时,等式左边应在 的基础上应该加上 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数学归纳法证明步骤，从而得出等式左边应在 的基础上应该加上 。
6.【答案】 D
【解析】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有 种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有 种；从而所求的结果为 种.
故答案为：D.
【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.
7.【答案】 A
【解析】在等差数列 中，有
所以有
在等比数列 中，若 ，则
当 时，则 ，
则
当 时，则 ，
则
所以
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合类比推理的方法，进而选出正确的答案。
8.【答案】 D
【解析】解：面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，
此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，
所以由等面积法得， ，
因为 ，
，
所以 ，
即 ，
故在平面凸四边形中，求解此结论的过程中运用了等面积法求解，
类比上述性质，在三棱锥中，则应使用等体积法求解，
三棱锥的体积为 ，
因为体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，
由等体积法有， ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故选D.
【分析】平面凸四边形中的结论是根据等面积法得到，类比以上性质，在三棱锥中根据等体积法求解 的值.
9.【答案】 C
【解析】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为 ．
故答案为：C．
【分析】由算筹含义直接求解．
10.【答案】 D
【解析】如图，在平面PAB中，作 ,交AB于点N，则 ,
又因 ，所以 ，
所以 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以 ,
所以B、N重合且 ，
所以点P落在以B为球心， 为半径的球面上.
作 于H，则 ，
因为 面ABC，所以 BH，
又因为 ，所以 面 ，
所以B到面 的距离为 ，
所以球面与面 相切，而 ，
所以球面不会与面 相交，
则 ，
,
所以 ，
所以 。
故答案为：D.
【分析】在平面PAB中，作 ,交AB于点N，则 ,又因 ，再利用两三角形相似的判断方法，所以 ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，所以 ,所以 ， 因为 ，所以 ,所以B、N重合且 ，所以点P落在以B为球心， 为半径的球面上，作 于H，则 ，因为 面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 BH，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 面 ，所以B到面 的距离为 ，所以球面与面 相切，而 ，所以球面不会与面 相交，进而求出则的值 ，再利用三棱柱的体积公式求出三棱柱的体积，再利用作差法求出 的值 ，进而求出 。
11.【答案】 D
【解析】对于A：由 ，则 ； ，则 ，解得： ，A不符合题意；
对于B：由 ，则 ；
，则 ，
①当 时， 在 上单减，所以 ，解得： ，又 ，所以a不存在；
②当 时， 在 上单减，在 上单增，且 所以 ，解得： ，又 ，所以a不存在；
③当 时， 在 上单减，在 上单增，且 所以 ，解得： ，又 ，所以a不存在；
④当 时， 在 上单增，所以 ，解得： ，又 ，所以a不存在；
综上所述：不存在实数a ， 使得 .
B不符合题意；
对于C：∵ ，而 ，则M=1,N=-1,但对任意 ，都有 ，不一定成立；
对于D：∵ ，∴ ，由 得 ，所以则对任意的实数a ， 总存在实数b ， 使得 ，D成立.
故答案为：D
【分析】根据题意对选项 A举反例判断；选项B用反证法，分类讨论判断；选项C举反例判断； 选项D对任意的实数a，求出b满足条件即可．
二、填空题
12.【答案】 甲胜
【解析】若甲队获胜，则A，B判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，故甲不可能获胜.
故答案为：甲胜
【分析】分析若甲队获胜，可得出矛盾，即得解.
13.【答案】 ③
【解析】若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则 题无人做对，所以①错误；
若甲做对 、 ， 乙做对 、 ，丙做对 、 ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.
做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.
故答案是：③.
【分析】根据题意结合所给的条件进行合理的推理，即可得出结论。
14.【答案】 甲
【解析】首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖，否则，假设丁没有获奖，那么丙也没有获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾；
其次考虑甲是否获奖，假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以推知，乙也可获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样得出4个人全都能获奖，不可能；
因此，只有甲没有获奖．
故答案为：甲
【分析】根据题意丙说的话进行分析可得丁获奖，进而分析甲的情况假设甲获奖进行推导得矛盾，即可得答案。
15.【答案】 戊戌
【解析】由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则 余 ，则2078年的天干为戊， 余 ，则2078年的天干为戌，
所以2078年为戊戌年。
【分析】首先根据题意得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，由此得出结果。
16.【答案】 A
【解析】由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A
【分析】由已知进行简单的推理，即可判断乙去过的城市为A.
17.【答案】
【解析】解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ，
而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子 ，有 ．
故答案为： ．
【分析】这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来.
18.【答案】
【解析】在平面中，设内切圆的圆心为 ，半径为 ，连结 ，则有
所以 ，类比到空间可得，设内切球的球心为 ，半径为 ，则有
所以四面体 的内切球的半径为 .
【分析】利用已知条件结合类比推理的方法，从而得出四面体 的内切球的半径。
19.【答案】 ②
【解析】解：对于①，因为N为 上一点，所以平面 与平面 所成二面角α即为平面 与平面 BCC1B1所成二面角β，显然β是固定角，故①正确；
对于②，假设BB上存在点P，使得C1P⊥平面EFB1C，则C1P⊥FB1 ， 而FB1⊥B1C1 ， 所以FB1⊥平面BB1C1C，显然错误，故②错误；
对于③， ， 又 ，
所以 ， 而 ，
连接DA1 ， 则F到平面DB1C的距离即为F到A1D的距离，所以,
所以
所以 ， 故③正确；
对于④，以D1为原点，分别以D1A1 ， D1D，D1C1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则C(0，2，2),F(2，0，1),M(x,0,0)，
则
当 ， 即 ， 即时， ，
此时 ， 故④正确
故答案为：②
【分析】根据二面角的平面角的定义可判断①，运用反证法结合直线与平面垂直的判定定理可判断②，根据棱锥的体积公式，结合点到平面的距离，运用等体积法可判断③，利用向量法结合向量数量积运算的坐标表示可判断④.
20.【答案】 ①③④
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②，不妨设 ，
则由韦达定理知 是一元二次方程 的两个根，
由 ，可得 或 ，故②错；
对于③，不妨设 中 ，
由 得 ，
当 时，即有 ，
，于是 ， 无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确；
对于④，当 时， ，故只能 ， ，求得 ，
于是“复活集” A只有一个，为 ，
当 时，由 ，
即有 ，
也就是说“复活集”A存在的必要条件是 ，
事实上 ，矛盾，
当 时不存在“复活集”A，故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.
三、解答题
21.【答案】 （1）解： ， 恒成立，即为 ，也就是 在 上恒成立．
令 ， ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
在 时， 取到极小值也是最小值， ，
所以
（2）解：当 时， ，
当 时， 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴ 时 取到极小值也是最小值，即 ，
当 时， ， ， 单调递增，
（3）证明：要证当 时， ．即证当 时， ．
由（2）知当 时，函数 在 处的最小值为 ，
令 ．∴ ，由 得 ，
所以在 得函数，在 为减函数，所以 ，
当 时， ．
即当 时，
【解析】【分析】（1） ， 恒成立，即为 恒成立，可化为. 在 上恒成立， 令 ， ， 利用导数研究其单调性极值
与最值即可得出 a的取值范围；
（2） 当 时， ， 求导，根据导数的符号可得出 的单调性，进而求得 在区间 的最小值；
（3）要证当 时， ， 即证当 时， ， 令 ， ， 由 得 ， 在 为减函数，所以 ， 进而证得 ．
22.【答案】 解：记 的面积依次为 ，
平面 与 所成角依次为 ，
点 到平面 的距离为 分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为 ，
直角三角形 直角四面体
条件
结论1
结论2
结论3
结论4
结论5
证明：设 ，
过 作 ，垂足为 ，联结 ，过 作 ，垂足为 ，
易证： ， 平面 ，则 ，
结论1： ，
在 中， ，
s
；
结论2： ，
∴ 。
同理， ，
∴ ；
结论3：∵ ，∴ ，
又 ，
∴
结论4： ，
∴ .
从而 ，即 ；
结论5：将直角四面体 补形成为以 为长、宽、高的长方体，
则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即 .