(共29张PPT)
§1 生活中的变量关系
第二章 函数
情境导学·探新知
NO.1
唯一确定
函数
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 依赖关系与函数关系的辨析
类型2 变量关系的表示
当堂达标·夯基础
NO.3
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4生活中的变量关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1．了解生活中两个变量之间的依赖关系现象．(重点)2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点) 通过生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养.
怎样的依赖关系是函数关系？
1．依赖关系
一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
2．函数关系
一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
(1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
(2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
[提示] (1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
(2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
1.下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
[答案] D
2.给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(填序号)．
①③④ [由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]
类型1 依赖关系与函数关系的辨析
【例1】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
③正三角形的面积和它的边长．
[解] ①中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
②中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
③中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上可知①②③中两个变量间都存在依赖关系，其中①③是函数关系．
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．
[解] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系；
综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型2 变量关系的表示
【例2】 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
音速y(米/秒) 331 334 337 340 343
(1)根据表内数据作图；
(2)用x表示y；
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．
[解] (1)
此图反映的是变量音速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，
故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22 ℃时，音速y＝×22＋331，
故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1 655＝1 721(米)．
借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
[解] (1)画出图如下：
反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系．( )
(2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系．( )
(3)若y是x的函数，则x一定是y的函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
[答案] D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
A B C D
A [开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.]
4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．
该汽车在这段时间内的最高时速是________．
80千米/时 [由图知最高时速为80千米/时．]
5．下列关系不是函数关系的是________(填序号)．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
②③ [对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．]
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