(共39张PPT)
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
第二章 函数
情境导学·探新知
NO.1
递增
递减
增函数
减函数
单调区间
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 函数单调性的判定与证明
类型2 求函数的单调区间
类型3 函数单调性的应用
当堂达标·夯基础
NO.3
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4第1课时 函数的单调性
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解函数单调区间、单调性等概念．(重点)2．会划分函数的单调区间，判断单调性．(重点、易混点)3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 1．通过单调区间、单调性等概念的学习，培养抽象概括素养．2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养.
1．增函数、减函数的概念是什么？
2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
3．增函数、减函数的图象有什么特点？
4．所有函数都具有单调性吗？
知识点1 增函数、减函数的概念
一般地，在函数y＝f(x)定义域内的一个区间D上，如果对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间D上是减函数或递减的．
定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？
[提示] 不能．
1.下列命题中真命题的个数为( )
①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果 x1，x2∈(a，b)，当x1②如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；
③ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上为减函数；
④ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上是增函数；
⑤ x1，x2∈(a，b)，且x1A．1 B．2
C．3 D．4
C [①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
由f(x)＝，可知②是假命题；
∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或
即或
∴f(x)在(a，b)上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题．
若要说明函数f(x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x12.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是________(填序号)．
①f(x)＝x2; ②f(x)＝；
③f(x)＝|x|; ④f(x)＝2x＋1.
[答案] ②
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间A上是增函数或减函数，那么就称函数y＝f(x)在区间A上具有单调性，区间A为函数y＝f(x)的单调区间．
(1)区间A一定是函数的定义域吗？
(2)函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] (1)不一定，可能是定义域的一部分．
(2)y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
3.(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________．
(2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．
[答案] (1) (2)(－∞，－1]
类型1 函数单调性的判定与证明
【例1】 求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1有f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f (x1)－f(x2)＝.
∵0∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
1．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解] 函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
类型2 求函数的单调区间
【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解] y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
[解] 函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调减区间为(－∞，－1]，[1,3].
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是________．
[－1.5,3]和[5,6] [由图象知单调增区间为[－1.5,3]和[5,6]．]
3．求函数f(x)＝的单调减区间．
[解] 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，同理函数f(x)在(1，＋∞)上也是减函数．
综上，函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
类型3 函数单调性的应用
【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．
[解] 由题意知－a－1＝3，即a＝－4.
2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，
即a≤－3或a≥－2.
∴a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
3．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
[解] 由题意可知，
解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是
( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)D [因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)5．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解] 设1∴x1x2>1.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，
∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，
∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞).
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
[答案] C
3．函数f(x)＝x2＋2x的单调递增区间是________．
[答案] [－1，＋∞)
4．已知函数f＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．
(－∞，4] [因为函数f＝2x2－ax＋5的单调递增区间是，
所以[1，＋∞) ，
所以≤1，解得a≤4.]
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6(共33张PPT)
§3 函数的单调性和最值
第2课时 函数的最大(小)值
第二章 函数
情境导学·探新知
NO.1
≤
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纵坐标
纵坐标
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 利用函数的图象求函数的最值(值域)
类型2 利用函数的单调性求最值(值域)
类型3 利用函数的最值解决恒成立问题
当堂达标·夯基础
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4第2课时 函数的最大(小)值
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)4．通过本节内容的学习，体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点) 1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
1．从函数图象可以看出，函数最大(小)值的几何意义是什么？
2．函数最大值、最小值的定义是什么？
3．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调增函数，则它的最大值和最小值各是什么？
4．所有函数在定义域内一定有最大值或最小值吗？
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示] 不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
1.下列函数f(x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号)
①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值．
[答案] ④
2.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________.
[答案] －1 2
3.(1)函数f(x)＝，x∈[2,4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
[答案] (1)1 (2)4 [函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4.]
类型1 利用函数的图象求函数的最值(值域)
【例1】 已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解] (1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
利用图象求函数最值的方法
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；
(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
1．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
[解] 作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
类型2 利用函数的单调性求最值(值域)
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0 f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值f(4)＝＝.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
2．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
[解] 设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
类型3 利用函数的最值解决恒成立问题
【例3】 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)法一：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上为增函数，知当x＝1时，y取得最小值3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立．
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
所以a>－x2－2x在[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，
因为g(x)＝－x2－2x在[1，＋∞)上为减函数，所以g(x)max＝g(1)＝－1－2＝－3，所以a>－3，
故实数a的取值范围为(－3，＋∞)．
分离参数法
在求参数a的取值范围时，可将参数a单独分离出来求解：若对区间D上的任意x，a>f(x)恒成立，则a>f(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)成立，则a>f(x)min；若在区间D上存在x使a3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
C [记f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2，因为a<－x2＋2x恒成立，所以a1．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为( )
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
D [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.]
2．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f ，f B．f(0)，f
C．f ，f(0) D．f(0)，f(3)
B [观察函数图象，知f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f .]
3．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
D [f(x)＝画出f(x)的图象可知(图略)，f(x)既无最大值又无最小值．]
4．(一题两空)函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
[∵f(x)＝在区间[2,6]上为减函数，
∴f(6)≤f(x)≤f(2)，即≤f(x)≤.]
5．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
1 [若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]
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