(共43张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第二章 函数
情境导学·探新知
NO.1
－x∈A
f(－x)＝－f(x)
原点
－x∈A
f(－x)＝f(x)
y轴
奇函数
偶函数
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 判断函数的奇偶性
类型2 利用函数的奇偶性求参数
类型3 利用函数的奇偶性求解析式
类型4 函数单调性与奇偶性的综合
当堂达标·夯基础
NO.3
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4函数的奇偶性
学 习 目 标 核 心 素 养
1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．(重点) 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点) 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点) 1．借助奇偶性的特征的学习，培养直观想象素养．2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养.
1．奇函数与偶函数的定义是什么？
2．奇、偶函数的定义域有什么特点？
3．奇、偶函数的图象有什么特征？
4．函数的奇偶性与单调性有什么关系？
1．奇函数
(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．
(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．
2．偶函数
(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．
(2)图象特征：图象关于y轴对称，所之亦然．
3．奇偶性
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．
(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
(2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？
[提示] (1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(2)奇、偶函数的定义域关于原点对称．
1.下列函数是偶函数的是________(填序号)．
①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0,1]．
[答案] ②
2.(一题两空)下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)．
① ② ③ ④
②④ ①③ [①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．]
3.下列说法正确的是________(填序号)．
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数；
④若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.
[答案] ④
类型1 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：
①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数．
②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数．
③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)性质法：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
1．已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f(x)·g(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．奇偶性不能确定
A [令F(x)＝f(x)·g(x)，则F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，即f(x)·g(x)是奇函数．故选A.]
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
[解] (1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
类型2 利用函数的奇偶性求参数
【例2】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝__________.
(1) 0 (2)0 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.]
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
3．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
－1 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]
4．已知函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
1 [因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1.]
类型3 利用函数的奇偶性求解析式
【例3】 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 当x＝0时，f(0)＝0.当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
1．(变设问)本例条件不变，求f(－2)的值．
[解] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.
2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
5．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[解] 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
类型4 函数单调性与奇偶性的综合
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
[解] (1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又∵f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0,1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于
解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)6．已知偶函数f在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1,3) [∵f为偶函数，∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f在[0，＋∞)上单调递减．
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围为(－1,3)．]
1．设f是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，则f等于
( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
A [∵f是奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]
2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
A B C D
B [作平行于y轴的直线，图象中y的取值是唯一的，故排除A、D；由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的对象关于y轴对称，故排除C.]
3．定义在R上的偶函数f在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
[答案] C
4．已知一个奇函数的定义域为，则a＋b等于________．
－1 [根据奇函数的定义域关于原点对称，知a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.]
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)________f(3)．(填“＞”或“＜”)
＜ [∵f(x)为偶函数，
∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]为减函数，
∴f(5)＜f(3)．
∴f(－5)＜f(3)．]
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8(共50张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
第二章 函数
情境导学·探新知
NO.1
自变量
常数
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 幂函数的概念
类型2 幂函数的图象及应用
类型3 幂函数性质的应用
数学阅读·拓视野
NO.3
当堂达标·夯基础
NO.4
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4
5
1
2
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4
5
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3
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5
1
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3
4
y
f(a)
ga
10
5
5
4
=x
2
C
C
2
C3简单幂函数的图象和性质
学 习 目 标 核 心 素 养
1．了解幂函数的概念．(重点) 2．掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象与性质．(重点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养.
1．幂函数的定义是什么？
2．幂函数的解析式有什么特点？
3．幂函数的图象有什么特点？
4．幂函数的性质有哪些？
知识点1 幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．
如何判断一个函数是幂函数？
[提示] (1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
1.在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
1 [函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．]
2.已知f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________.
2 [∵函数f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2.]
3.已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
[∵幂函数f(x)＝xα的图象过点，
∴2α＝，
∴α＝－.
即f(x)＝x，
∴f(4)＝4＝.]
知识点2 幂函数的图象与性质
(1)五种常见幂函数的图象
(2)五类幂函数的性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增
定点 (1,1)
(1)通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
(2)当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？
[提示] (1)第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
(2)图象都是从左向右逐渐上升．
4.给出下列说法：
①幂函数图象均过点(1,1)；
②幂函数的图象均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图象；
④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
① [根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误．]
5.在下列四个图形中，y＝x－的图象大致是( )
A B C D
D [函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数．]
类型1 幂函数的概念
【例1】 在函数y＝，y＝，y＝2x2，y＝x2＋x中，幂函数的个数为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [因为y＝＝x，y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数．]
函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函数．
1．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得
解得
所以m＝－3或1，n＝.
类型2 幂函数的图象及应用
【例2】 若点(，2)在幂函数f的图象上，点在幂函数g的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解] 设f(x)＝xα，则2＝α，解得α＝2，则f(x)＝x2.
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
2．当0h>g>f [如图所示为函数f，g，h在(0,1)上的图象，由此可知，h>g>f.
]
类型3 幂函数性质的应用
比较幂的大小
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；(2)－1与－1
[解] (1)∵0.3>0，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又>，
∴0.3>0.3.
(2)∵－1<0，
∴y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－<－，
∴－1>－1.
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
3．比较下列各数的大小：
(1)和；
(2)4.1，3.8和.
[解] (1)函数y＝x在(－∞，0)上为减函数，又－<－，∴>.
(2)4.1>1＝1；0<3.8<1＝1；<0，
∴<3.8<4.1.
由幂函数的大小求字母的取值范围
【例4】 已知幂函数f＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
∴<，即f(x)＝x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，且当x＜0时，f(x)＜0，当x＞0时，f(x)＞0，∴0＞a＋1＞3－2a或a＋1＞3－2a＞0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为.
幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．
4．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数图象还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f>f的实数a的取值范围．
[解] (1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f为增函数．
(2)∵ ＝ 2 ＝2，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x，
由(1)知f在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f>f等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.
故a的取值范围为.
函数y＝x＋的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
[问题探究]
1．参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
[提示] (1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图象可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,0)，(0,1)上为减函数．
2．试探究函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
[提示] (1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f(x)＝x＋(a>0)在(－∞，－)和(，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0，]上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
因为0所以x1－x2<0,0所以>1，
所以1－<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，]上为减函数．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以<1，
所以1－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在(，＋∞)上为增函数．
同理，f(x)在(－∞，－)上为增函数，在[－，0)上为减函数．
其图象如图所示．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝－是幂函数．( )
(2)当x∈(0,1)时，x2>x3.( )
(3)y＝x与y＝x定义域相同．( )
(4)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知幂函数f＝kxα的图象过点，则k＋α等于( )
A． B．1
C． D．2
C [由幂函数的定义知k＝1.
又f ＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
3．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
B [由幂函数的性质，知选B.]
4．判断大小：5.25－1________5.26－1.(填“>”或“<”)
> [∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，
又5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1.]
5．函数f＝(x＋3)－2的单调增区间是________．
(－∞，－3) [y＝x－2＝的增区间为(－∞，0)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位长度得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．]
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