(共29张PPT)
§1 指数幂的拓展
第三章 指数运算与指数函数
情境导学·探新知
NO.1
合作探究·释疑难
NO.2
类型1 根式的化简与求值
类型2 根式与分数指数幂的互化
类型3 求指数幂a 的值
当堂达标·夯基础
NO.3
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4指数幂的拓展
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.
1．正分数指数幂的定义是什么？
2．正分数指数幂有哪些性质？
3．负分数指数幂的定义是什么？
1．正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.
②a＝.
2．负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝＝.
能否将＝－3写成(－27)＝－3
[提示] 不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．
1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；
(2)b－3＝32.
[解] (1)∵b4＝35，∴b＝3.
(2)∵b－3＝32，∴b＝32.
2.计算：
(1)8＝________；
(2)27＝________.
(1)2 (2) [(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.
(2)由负分数指数幂的定义，得27＝.
设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝.]
类型1 根式的化简与求值
【例1】 化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2).
[解] (1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上可知，＝
(2)＝＝ .
正确区分与n
(1)表示a的n次方的n次方根，而n表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．
(2)运算结果不同
①n＝a.②＝
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
B [∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.]
2．若＝，则实数a的取值范围为________．
[＝|2a－1|，＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.]
类型2 根式与分数指数幂的互化
【例2】 (1)3可化为( )
A． B．
C． D．
(2)可化为( )
A．a B．a
C．a D．－a
[思路点拨] 熟练应用＝a是解决该类问题的关键．
(1)D (2)A [(1)3＝＝.
(2) ＝＝a.]
根式与分数指数幂的互化规律
1．关于式子＝a的两点说明
(1)根指数n即分数指数的分母；
(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．
2．通常规定a中的底数a>0.
3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2).
[解] (1)＝＝a；
(2)＝.
类型3 求指数幂a的值
【例3】 求下列各式的值：
(1)64；(2)81.
[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈
N＋，a，b>0)求解．
[解] (1)设64＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，
∴64＝16.
(2)设81＝x, 则x4＝81－1＝，
又∵4＝，
∴81＝.
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
4．求下列各式的值：
(1)125；(2)128.
[解] (1)设125＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，
∴125＝5.
(2)设128＝x，则x7＝128－1＝，
又∵7＝，
∴128＝.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 2表示个2相乘．( )
(2) a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )
(3) a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.可化为( )
A．a B．a
C．a D．－a
[答案] A
3．计算243等于( )
A．9 B．3
C．±3 D．－3
B [由35＝243，得243＝3.]
4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.
[答案] 5
5．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；
(2)＝________.
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